על טרחני-קנטור וטרחני-טרחני-קנטור

הבלוג המתמטי Good Math, Bad Math עושה עבודה מצויינת בכתיבה הן על מתמטיקה אמיתית ומעניינת, והן על טרחנים מתמטיים ושימושים שגויים של המתמטיקה. אלא שלעתים נכתב בו פוסט אנטי-טרחני שנראה לי טרחני בפני עצמו, כמו הפוסט שעליו אני רוצה לדבר הפעם. העניין שלי הוא גם בטרחן שנגדו הבלוג יוצא, שתוקף את האלכסון של קנטור בדרך שלדעתי היא מעניינת - בכך שהיא מעוררת מעט מחשבה על שיטת האלכסון והדרכים שבהן ניתן לנסות ולתקוף אותה (ומדוע הן נכשלות כשלון צורב).

ובכן, הפוסט ב-GMBM עוסק במאמר שזמין לכל כאן. אין לי מושג מיהו הכותב - לכאורה הוא פרופסור למתמטיקה במכללה כלשהי, אך לא הצלחתי למצוא עליו פרטים נוספים פרט לקישור שהוא מספק במאמר עצמו למה שנראה כמו אתר בית טרחני סטנדרטי. המאמר תוקף את שיטת האלכסון של קנטור, ולכן זו הזדמנות טובה להזכיר מהי, בעצם, מעבר לקישור לפוסט שלי בנושא.

קנטור הוכיח שלא ניתן למנות את כל המספרים הממשיים. “מספר ממשי” לצורך העניין הוא ביטוי מהצורה \( 0.a_{1}a_{2}a_{3}\dots \) כשה-\( a_{i} \)-ים הם ספרות בין 0 ל-9, וסדרת הספרות נמשכת עוד ועוד עד אין קץ (למשל \( 0.3 \) ניתן לכתיבה כ-\( 0.3000\dots \)). כמובן שיש עוד מספרים ממשיים פרט למספרים הללו (כאלו שבהם משמאל לנקודה העשרונית יש משהו שאיננו אפס) אך אם נראה כי כבר את המספרים שהצגתי לא ניתן למנות, בוודאי שלא ניתן למנות את כולם. “למנות” פירושו להתאים מספר טבעי ייחודי לכל אחד מהמספרים בתחום (כלומר, לשני מספרים שונים בתחום יותאמו שני מספרים טבעיים שונים).

הדרך שבה קנטור מוכיח זאת היא גאונית בפשטותה. קנטור מניח בשלילה שקיימת מניה לכל המספרים הממשיים מהצורה הזו ואז בונה מספר ממשי “חדש” שניתן להוכיח שהמניה לא מצליחה לתפוס. כדי לראות איך בונים את המספר הזה, נסמן את המספר הראשון במניה של קנטור בתור \( 0.a_{1}^{1}a_{2}^{1}a_{3}^{1}\dots \), את המספר השני בתור \( 0.a_{1}^{2}a_{2}^{2}a_{3}^{2}\dots \) וכן הלאה - כלומר, \( a_{i}^{k} \) פירושו “הספרה ה-\( i \)-ית במספר ה-\( k \)-י במניה”. קצת מבלבל, אך הכרחי לתעלול של קנטור. כעת נגדיר ספרה \( b_{i} \) באופן הבא: אם \( a_{i}^{i}=1 \), אז \( b_{i}=0 \); ואם \( a_{i}^{i}\ne1 \) אז \( b_{i}=1 \). במילים אחרות, בנינו את \( b_{i} \) כדי להיות שונה מהספרה ה-\( i \) של המספר ה-\( i \) במניה של הממשיים. כעת המספר של קנטור הוא \( 0.b_{1}b_{2}b_{3}\dots \). במילים אחרות, קנטור בנה את המספר כך שהספרה ה-\( i \) שלו תהיה שונה מהספרה ה-\( i \) של המספר ה-\( i \) במניה, ולכן הוא אינו יכול להיות המספר ה-\( i \) במניה - לאף \( i \)! מכאן שהמספר החדש אינו במניה, וסוף הסיפור (אני מרמה כאן באופן קל למדי - יכולה להיווצר בעיה מכך שמספר שנגמר בסדרה אינסופית של \( 9 \) שקול למספר שנגמר ב-1 ואחריו אינסוף אפסים - אבל אפשר לעקוף את הבעיה הזו בקלות וזה לא פרט שאני רוצה להיכנס אליו כאן). הסיבה שלשיטה הזו קוראים “שיטת האלכסון” היא שאפשר לחשוב על המספרים כאילו הם מסודרים בטבלה, שבה האיבר בשורה ה-\( i \) והעמודה ה-\( j \) הוא \( a_{j}^{i} \), ואז המספר שנבנה, נבנה באופן כזה שהוא יהיה “הפוך” לאלכסון של הטבלה.

אז מה מנסה הטרחן לעשות? ברשותכם, לא אכנס לציטוטים מדוייקים אלא אתאר את הטיעון שלו כפי שאני מבין אותו - ואם אני טועה, אתם מוזמנים לתקן אותי. מה שהטרחן מנסה לעשות הוא ללכת עד הסוף עם השאלה הבסיסית שאני משער שרבים מאיתנו שואלים את עצמם מייד אחרי שהם רואים את ההוכחה של קנטור - “למה זה לא עובד גם עבור רציונליים?”

כי גם רציונליים אפשר לכתוב כפיתוח עשרוני, כמו הממשיים; אבל לעומת הממשיים, קיימת הוכחה (של קנטור עצמו) שהרציונליים כן בני מניה. אם כן, איך ההוכחה של קנטור מתפרקת? ובכן, המספר של קנטור, אותו \( 0.b_{1}b_{2}b_{3}\dots \), לא בהכרח יהיה רציונלי בעצמו, כך שלא נגיע לשום סתירה (הסתירה נובעת מכך שבנינו מספר חדש שהיה אמור להשתתף במניה אך בשל אופן בנייתו ברור כי אינו משתתף בה). זה מעלה את השאלה - מה מבדיל מספר רציונלי מאי-רציונלי, בכל הנוגע לפיתוח העשרוני? והתשובה פשוטה - מספר הוא רציונלי אם ורק אם הפיתוח שלו הופך למחזורי החל משלב מסויים - כלומר, צצה איזו סדרת ספרות סופית כך שאת כל המספר מכאן ואילך ניתן לתאר כחזרה אינסוף פעמים על אותו רצף ספרות (למשל, \( 0.43223325000\dots \) הוא רציונלי כי הוא מסתיים בסדרת אפסים אינסופית. וגם \( 0.12345678901234567890\dots \) הוא רציונלי כי הוא מורכב מאינסוף חזרות על רצף הספרות \( 1234567890 \)). אין שום סיבה להניח שהמספר \( 0.b_{1}b_{2}b_{3}\dots \) שבנינו אכן יקיים את תכונת המחזוריות הזו.

יפה, אומר הטרחן - אם כן, הבה ונהנדס את הבניה של קנטור כך שמספר קנטור כן יקיים את תכונת המחזוריות. ליתר דיוק, נגרום לכך שבאלכסון יצוץ מספר רציונלי, ואז גם כשניקח את “ההפך” ממנו (שזה מה שעושים כשבונים את \( 0.b_{1}b_{2}b_{3}\dots \)) נקבל מספר רציונלי (קל למדי להוכיח זאת - נסו!)

בפרט, הטרחן רוצה ליצור באלכסון בדיוק את המספר שתיארתי לעיל - \( 0.1234567890\dots \). הדרך שלו לעשות זאת היא על ידי סידור מחדש של השורות. כלומר, אם למשל השורה הראשונה לא מסתדרת עם יצירת המספר הזה, הוא פשוט יחליף אותה עם השורה השניה, וכן הלאה.

איך זה עובד פורמלית? הוא מגדיר “מספר \( n \)-מודולרי”, לכל \( n \) טבעי, בתור מספר \( 0.a_{1}a_{2}a_{3}\dots \) שהספרה במקום ה-\( n \)-י שלו (כלומר \( a_{n} \)) היא בדיוק \( n\mbox{ mod 10} \) (כלומר, הספרה הימנית ביותר של \( n \) - למשל, אם \( n=123 \) אז הספרה היא \( 3 \)). מספר \( 1 \)-מודולרי לדוגמה הוא \( 0.14345\dots \). מספר \( 2 \)-מודולרי לדוגמה הוא \( 0.3241\dots \) וכן הלאה. העיקרון ברור. עכשיו, אם לכל \( n \), בשורה ה-\( n \)-ית יהיה מספר \( n \)-מודולרי, זה יסיים את ההוכחה של הטרחן: המספר שיווצר באלכסון אכן יהיה רציונלי, וזו תהיה הוכחה לכך שהרציונליים אינם בני מניה (כי אנו מניחים שכל הרציונליים מהצורה \( 0.a_{1}a_{2}a_{3}\dots \) משתתפים במניה).

אז איך הטרחן מבטיח שבשורה ה-\( n \)-ית יהיה מספר \( n \)-מודולרי? פשוט מאוד - כאמור, הוא אומר שנסדר את הטבלה מחדש. כאן העניינים מסתבכים. בסעיף 2-9 במאמר שלו, הוא מציע את ה”פרמוטציה” הבאה של הטבלה, שמוגדרת באופן אלגוריתמי כך: מתחילים מטבלת קנטור כלשהי עבור הרציונליים. כעת, עבור השורה ה-\( i \) (החל מ-\( i=1 \) וכן הלאה), אם המספר בשורה \( i \) הוא \( i \)-מודולרי עוזבים אותו בשקט. אחרת, מחליפים אותו עם אחת מהשורות שנמצאות אחרי \( i \), שהיא כן \( i \) מודולרית. בפסקה הבאה, 2-10, הטרחן טוען ש”זה מיידי להוכיח שכל שורה של הטבלה הופכת להיות מודולרית כתוצאה מהפרמוטציה”, ואני מסכים איתו לחלוטין: התוצר של האלגוריתם הוא טבלה שבה לכל \( n \), השורה ה-\( n \) היא \( n \)-מודולרית. אם כן, איפה נפלה הטעות? זה תרגיל חביב (אם כי לא קשה במיוחד) ואני ממליץ לכם לחשוב עליו קצת בעצמכם לפני שניגש לעניין.

ובכן, אינטואיציה אחת היא שאולי לא תמיד ניתן להחליף שורה שאינה \( i \) מודולרית בשורה שהיא כן \( i \) מודולרית מתוך המשך הטבלה. אלא שהטרחן טרח לדון במפורש בנקודה הזו ולהוכיח שזה אפשרי. בקצרה, הנימוק הוא פשוט: לכל \( i \), יש אינסוף שורות שהן \( i \) מודולריות (כי כל מה שחשוב הוא הספרה במקום ה-\( i \); כל שאר אינסוף הספרות יכולות להיות מה שבא לנו) אבל בכל שלב של סידור הטבלה, סידרנו רק מספר סופי של שורות - לכן יש אינסוף שורות \( i \) מודולריות שעוד לא הגענו אליהן ולכן ניתן לבחור אחת מהן. כמובן, הטרחן מציג זאת בצורה יותר ארוכה ומסובכת, ובפרט מנסה להעניק לה גוון פילוסופי היסטרי משהו: כשהוא מדבר על כך שעבור שורה בטבלה, יש אינסוף שורות שבאות אחריה אבל רק מספר סופי שבאות לפניה, הוא אומר ש-

We will see now a conflictive consequence of this immense and suspicious asymmetry.

קצת מוזר, בהתחשב בכך שאותה א-סימטריה חשודה קיימת גם במספרים הטבעיים (לכל מספר טבעי יש מספר סופי של מספרים טבעיים שבאים לפניו, אבל מספר אינסופי של טבעיים שבאים אחריו).

ובכן, מהי הבעיה עם הבניה? כבר רמזתי על כך קודם: הטרחן טוען שהוא הגדיר “פרמוטציה”, אבל התוצר של הבניה שלו איננו פרמוטציה, אלא טבלה “מסוננת”, שחסרות בה שורות. דרך פשוטה לראות זאת היא כך: מצד אחד, הטרחן טוען שאחרי שהבניה שלו מסתיימת, כל שורה בטבלה היא \( n \)-מודולרית. אלא שקל מאוד לבנות מספרים שאינם \( n \)-מודולריים, לאף \( n \)! למשל, \( 0.0123\dots \) הוא כזה (הספרה במקום מס’ 1 היא 0; הספרה במקום מס’ 2 היא 1 וכן הלאה). אם כן, לאן המספרים הללו “הולכים” כשמסדרים מחדש את הטבלה? הם פשוט נעלמים ויוצאים ממנה.

זו דוגמה למוזרויות שמתרחשות כשמתעסקים עם האינסוף - דוגמה שלא שונה בהרבה מסיפור המלון של הילברט. לשם המחשה, הנה ה”פרמוטציה” הבאה של המספרים הטבעיים. נתחיל עם קבוצת המספרים הטבעיים כשהיא מעורבבת. כעת נעבור על המספרים בקבוצה לפי סדר הערבוב. אם המספר במקום ה-\( i \) איננו 1, נותיר אותו במקום; אם הוא כן 1, נחליף אותו עם המספר הקטן ביותר מבין כל המספרים שטרם סידרנו. זו בניה שאינה שונה מהותית ממה שהטרחן הציע, וברור שבסיומה 1 לא יהיה בשום מקום בסידור, כי בכל פעם שבה נתקלנו ב-1, העברנו אותו “עוד קצת קדימה”. איפה הכשל? השימוש במונח “בסיומה של הבניה” מטעה, כי הבניה נמשכת עד אין קץ, ולכן אם מספר כל הזמן מוזז “קדימה” במהלך הבניה, הוא אף פעם לא יהיה חלק מהפלט של הבניה.

צריך להבהיר שהעובדה שהבניה היא אינסופית לא מונעת מאיתנו לדבר על האובייקט שהוא התוצר ה”סופי” של הבניה, אפילו מבחינה חישובית: בכל פעם שבה אנו רוצים לדעת מה קורה בשורה ה-\( i \) של התוצר הסופי, אנחנו פשוט “מריצים את הבניה” מספיק זמן עד שהיא מסיימת את העבודה על השורה ה-\( i \), ואז מובטח לנו שהשורה ה-\( i \) הזו לעולם לא תשתנה שוב - ומכאן שאנחנו יכולים לקרוא את השורה ה-\( i \) מתוך הטבלה החצי-מוגמרת, וזה יהיה זהה לחלוטין לסיטואציה שבה אנו קוראים את השורה ה-\( i \) מתוך התוצר המוגמר של הבניה. זו דוגמה אחת מני רבות לאובייקטים שנוצרים על ידי תהליך אינסופי, ומוגדרים בתור “גבול” של התהליך הזה - הדוגמאות המפורסמות ביותר הן של פרקטלים, דוגמת קבוצת קנטור, ועקומת פאנו, הראויים לפוסטים בפני עצמם. מה שחשוב לי להדגיש כאן הוא שמדובר בבניה מתמטית לגיטימית - “מותר” לטרחן להגדיר את התהליך שהוא הגדיר ולדבר על התוצרים שלו; הוא פשוט לא יכול להעמיד פנים שהתוצר הוא פרמוטציה. הוא לא, בלי קשר לקנטור או מספרים אי רציונליים או לכל דבר אחר - מספיקה ההבחנה שכל מספר שאיננו \( n \)-מודולרי לאף \( n \) לא מופיע בתוצר, למרות שהוא יכל להופיע במקור. לכן אין זה מפתיע שאחרי ה”סידור מחדש” הזה של הטבלה יהיו מספרים רציונליים שאינם מופיעים בה. למעשה, הטענה של הטרחן הופכת לטריוויאלית - ה-\( 0.b_{1}b_{2}b_{3}\dots \) (“היפוך” האלכסון) שנבנה מהטבלה אחרי הסידור מחדש שלה הוא מספר שבבירור איננו \( n \) מודולרי לאף \( n \) (למה?) ולכן מן הסתם הוא לא יופיע בטבלה, שהרי “סיננו” מהטבלה את כל המספרים שאינם \( n \)-מודולריים לאף \( n \)!

ועכשיו אהיה טיפה חריף ואצהיר במפורש שלדעתי, מי שאיננו מסוגל להבין את הטיעון שכתבתי לעיל ואיננו מסוגל לחשוב עליו בעצמו, אסור שיעבוד בהוראת מתמטיקה או יעסוק בה בשום צורה שהיא. לכן אני לא מהסס לקרוא לטרחן “טרחן”. ואתן ציטוט נוסף של הטרחן כדי להבהיר עד כמה המאמר הזה מחוצף בעיני, מפסקה 2-5 שלו - הציטוט הזה הוא “המסקנה” שהטרחן מנסה לגזור מהמאמר שלו:

Cantor's diagonal argument and all its formal consequences should be suspended until it is proved the impossibility of defining a rational antidiagonal in all possible reorderings of T's rows.

לא פחות - יש “להשעות” את האלכסון של קנטור עד שיוכיחו לטרחן שאי אפשר לעשות את מה שהוא מנסה לעשות. בדומה יש להשעות את הטענה ש-\( 0.999\dots=1 \) ואת כל המסקנות ממנה עד שיוכח שאין דרך לחשב את הגבול שמגדיר את \( 0.999\dots \) באופן שבו לא יצא 1, ויש להשעות את המשפט היסודי של האריתמטיקה עד שלא יוכח שאין דרך לכתוב מספר כשתי מכפלות שונות מהותית של ראשוניים, וכו’ וכו’. יומרנות כזו היא סימן היכר מובהק של טרחנים, שמנסים לבטל בהבל פיהם את כל המתמטיקה כי משהו לא מסתדר להם בראש.

טוב, סיימנו עם הטרחן. אבל למה GMBM כל כך הרגיז אותי? בגלל הצורה שבה הוא עונה לטרחן. גם הוא טוען, כמובן, שהבעיה היא עם הסידור-מחדש של הטבלה. אבל אז הוא מפרט:

Why not? Because the construction of the re-ordering is invalid... The re-ordering is, itself, self-contradictory.

Here's the problem: you're constructing a chosen rational number. That is, you know what rational number you're re-ordering the rows to create. Since it's a rational, it's got to be in the table. And since you know what rational it is, you've got to know what row in the table it's going to be. So go look at that row.

By the definition of the diagonalization, the value of the diagonal must be different from the value of any of the rows by at least one digit. So the rational number that you're forming must be different from itself by at least one digit.

Bzzt. No good. The re-ordered rational diagonalization is self-contradictory. In fact, it's a classic self-referential foulup.

אין כאן שום התייחסות לכשל שהצבעתי עליו. שום דיבור על כך שהפרמוטציה אינה פרמוטציה. שום הסבר לגבי זה שהסידור מחדש זורק שורות לפח. מה שהוא טוען, בפשטות, הוא שהבניה לא עובדת, בגלל… שהיא סותרת את קנטור.

אבל זה בדיוק מה שהטרחן ניסה להוכיח!

מה ש-GMBM אומר הוא שבהינתן המספר הרציונלי של האלכסון (שוב - לא המספר שעל האלכסון בפועל אלא מה שמתקבל ממנו אחרי שמשנים את הספרות בהתאם) יופיע גם בטבלה איפה שהוא; ולכן אם נלך לשורה המתאימה לו בטבלה, נגלה שיש סתירה בשורה הזו (אם זו השורה ה-\( n \)-ית, הסתירה תהיה בספרה ה-\( n \), כרגיל). כל זה טוב ויפה ובדיוק מה שקנטור אומר, אבל זה לא מתייחס לטיעון של הטרחן. אם הבניה של הטרחן הייתה חוקית מכל מבחינה אחרת, אז בשלב הזה היינו מבינים שיש בעיה עמוקה, יסודית, פרדוקסלית בתורת הקבוצות ובטיעון של קנטור. מה ש-GMBM עושה שקול למישהו שמנפנף את הפרדוקס של ראסל בכך ש”הקבוצה שבנית לא הגיונית אז אתה טועה”. אי אפשר לפסול כך טיעונים. אפשר להגיד שהם מאוד לא סבירים אם הם סותרים הוכחה פשוטה כמו של קנטור; ואפשר להגיד שאנחנו עצלנים מכדי לטרוח ולחפור במאמר ולחפש את הטעות שבו, כי אין לנו שום סיבה עקרונית להניח שהוא נכון; אבל אי אפשר להגיד שהמאמר לא נכון על בסיס הסתירה הזו - צריך להתייחס לתוכן הדברים.

אני רוצה להבהיר את הנקודה הזו - אף אחד לא חייב לקרוא את הטרחנים. לרוב זו מלאכה סיזיפית וחסרת טעם. בפרט, אם הטרחן כותב מאמר של מאות עמודים, או שהוא משתמש בטרמינולוגיה מקושקשת ולא ברורה, אין סיבה להתאמץ, ואפשר פשוט להתעלם - אבל אם כבר בוחרים לתקוף ולא להתעלם, צריך להתייחס לגוף הטענות של הטרחן (ובמקרה הנוכחי זה קל למדי - המאמר קצר, כתוב בצורה פחות או יותר בהירה, והשגיאה המרכזית בו זועקת לשמיים).

כל זה לא היה מרגיז כל כך, אלמלא עיקר ההתקפה של GMBM על טרחני-קנטור הייתה שהם לא טורחים להתייחס לגופה של ההוכחה של קנטור:

You see, 99 times out of 100, Cantor cranks claim to have some construction that generates a perfect one-to-one mapping between the natural numbers and the reals, and that therefore, Cantor must have been wrong. But they never address Cantors proof. Cantors proof shows how, given any purported mapping from the natural numbers to the real, you can construct at example of a real number which isn't in the map. By ignoring that, the cranks' arguments fail: Cantor's method still generates a counterexample to their mappings. You can't defeat Cantor's proof without actually addressing it.

ולכן השאלה היא - אם לא ניתן להביס את קנטור מבלי להתייחס אליו, האם ניתן להביס טרחנים מבלי להתייחס אליהם? זה מצביע אולי על הבעיה הגדולה ביותר עם טרחנים - הם שוברים את כללי המשחק. אם אני, בתור מישהו שמסכים שקנטור צודק, הייתי מוכיח משפט שסותר את קנטור, הדבר היה מרים אצלי גבה והייתי מחפש את השגיאה אצלי. לעומת זאת, טרחנים מנסים מראש להראות שהשגיאה היא אצל קנטור, ולכן לא ניתן לפטור אותם ב”אבל קנטור צודק”. מכיוון שלרוב לפשפש בהוכחה שלהם ולמצוא את השגיאה/ההגדרה הלא נכונה זה עניין מייגע ומתיש, הדרך הנכונה לטפל בטרחנים היא פשוט להתעלם. כל זה תקף כמובן למתמטיקאים “רגילים” - מי שכותב בלוג מתמטי וכולל בו פוסט על טרחן, אבל לא טורח לקרוא את הטרחן, מתקרב בצורה מסוכנת לאיזור הטרחנות בעצמו.