מהו גבול? (של סדרה)

בשעה טובה הגענו לשלב בסדרת הפוסטים על חדו”א שבו אפשר להתחיל לדבר על מושג הגבול - מושג שלא מתואר באופן מדויק בתיכון, ואני רוצה כן לתאר אותו כאן באופן מדויק עד הסוף. מכיוון שזהו מושג קשה יחסית לעיכול, אתחיל מתיאור מקרה פרטי (חשוב מאוד לכשעצמו) - גבול של סדרה. אם כן, נתחיל מלדבר על מהי סדרה בכלל. בהקשר שלנו, סדרה היא אוסף סדור של מספרים - אפשר לדבר על “המספר הראשון בסדרה”, “המספר השני בסדרה” וכן הלאה. למשל, $latex a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ היא סדרה שהאיבר הראשון שלה הוא המספר $latex a_{1}$, האיבר השני הוא המספר $latex a_{2}$ וכן הלאה. משתמשים ב-$latex a_{n}$ כדי לסמן את “האיבר הכללי” של הסדרה - לרוב נותנים תיאור של $latex a_{n}$ כפונקציה כלשהי של המספר הטבעי $latex n$ (למעשה, אפשר לחשוב על סדרות באופן כללי בתור פונקציות שהתחום שלהן הוא הטבעיים). שימו לב שיש לסדרה אינסוף איברים - לכל מספר טבעי (ויש אינסוף כאלו) יש איבר בסדרה. החדו”א מטבעה עוסקת ביצורים אינסופיים כאלו - עבור סדרות סופיות אין משמעות למושג הגבול.

סדרה פשוטה אחת היא $latex a_{n}=n$, כלומר הסדרה $latex 1,2,3,\dots$ של כל הטבעיים. סדרה פשוטה אחרת היא $latex 1,0,1,0,\dots$, כלומר הסדרה ש”מזפזפת” בין 0 ו-1. אפשר לתאר אותה באמצעות נוסחה עם $latex a_{n}=\frac{1+\left(-1\right)^{n+1}}{2}$ - נכון שהתיאור של $latex 1,0,1,0,\dots$ פשוט יותר? וסדרה שלישית היא $latex 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots$ שניתן לתאר על ידי $latex a_{n}=\frac{1}{n}$. מושג הגבול של סדרה בא לתאר את ההתנהגות “לטווח ארוך” של הסדרות הללו. בואו נגיד זאת במפורש: גבול של סדרה הוא מספר שאברי הסדרה מתקרבים אליו עוד ועוד, עד אין קץ. ההגדרה המילולית הזו מיועדת לתת אינטואיציה ותו לא; כהגדרה פורמלית היא מלאה חורים וחסרת טעם. מה זה “מתקרבים”? מה זה “עוד ועוד”? מה פשר “עד אין קץ”? למה בכלל קיים מספר כזה? האם יכולים להיות כמה מספרים כאלו? אלו שאלות מצויינות שהגדרה פורמלית ומדוייקת של הגבול אמורה לאפשר לנו לענות עליהן.

בואו נתמקד לעת עתה בסדרה $latex a_{n}=\frac{1}{n}$. אנחנו רואים שככל ש-$latex n$ גדול יותר, כך $latex a_{n}$ קטן יותר. מצד שני, כל אברי הסדרה חיוביים - גדולים ממש מ-0. אם כן, יש לנו סדרה שאבריה הולכים וקטנים עוד ועוד, אבל כולם חיוביים. התחושה האינטואיטיבית שלנו היא שאיברי הסדרה הזו “הולכים לאפס”, או, אם להשתמש במילה יותר גסה, “שואפים לאפס”. מצד שני, איך אפשר לבטא תכונה כזו בצורה פורמלית? והאם האינטואיציה הזו בכלל נכונה? הרי הסדרה לא מגיעה לאפס. אף פעם! אף איבר בסדרה הוא לא אפס. אם כן, מאחר ואפס לא מופיע בכלל בסדרה, האם נכון לטעון בכל זאת שגבול הסדרה הוא אפס?

לעומת זאת, בסדרה $latex 1,0,1,0,\dots$ אנחנו מקבלים את הרושם שהסדרה לא “מתקרבת” לשום מקום. היא לפעמים קרובה ל-1 ולפעמים קרובה ל-0, אבל היא כל הזמן מזפזפת בין שני הערכים הללו וקשה להגיד שהיא קרובה לאחד מהם באופן מיוחד. אינטואיטיבית אולי נרצה לומר שיש לסדרה שני גבולות. אמנם, אמירה זו אינה חסרת טעם ובחדו”א אכן מתייחסים אליה באופן מסויים, אבל לא נכון לקרוא ל-1 “גבול” במקרה הזה, פשוט כי מחצית מאברי הסדרה לא מגלים שום נטייה מיוחדת להתקרב אליו יותר מאשר הם מגלים נטייה להתקרב אל $latex -1$, למשל. באותו אופן גם 0 לא ראוי לכינוי “גבול” ואכן, כשאציג את ההגדרה הפורמלית נראה שזוהי דוגמה לסדרה שאין לה גבול.

ומה עם הסדרה $latex 1,2,3,\dots$? גם במקרה שלה, לא נראה שהיא מתקרבת למספר מסויים. אם ננסה לטעון שהיא מתקרבת, למשל, ל-137, הרי שנשים לב שמהאיבר ה-137 והלאה בסדרה, כל האיברים גדולים מ-137, והם ממשיכים לגדול עוד ועוד - הסדרה מתרחקת מ-137. לכן לא סביר ש-137 הוא גבול של הסדרה; ומכיוון ש-137 היה שרירותי לגמרי, אין לסדרה גבול. מצד שני, במובן מסויים אפשר לומר שהסדרה שואפת לאינסוף - אמירה שבאה לציין את ההתנהגות של “גדלים עוד ועוד מעבר לכל מספר ממשי”.

מה שצריך להיות ברור בשלב הזה הוא שאנחנו רוצים לדבר בצורה פורמלית כלשהי על המושג של מרחק כדי שאפשר יהיה לדבר על גבולות. עבור מספרים ממשיים ההגדרה אינה מסובכת. מהו, למשל, המרחק שבין 1 ו-3? אינטואיטיבית אנחנו אומרים 2, ואפשר לתת לזה משמעות קצת יותר פורמלית - זהו אורך הקטע שמחבר את הנקודה 1 עם הנקודה 3 על גבי ציר המספרים. הדרך לתאר את זה באופן פורמלי היא זו: אם $latex a,b$ הם שני מספרים ממשיים, אז המרחק ביניהם הוא $latex \left|a-b\right|$, כלומר הערך המוחלט של ההפרש שלהם. הערך המוחלט בא להבטיח שהמרחק יהיה תמיד מספר חיובי (כי אורך של קטע הוא תמיד חיובי) ושנוכל לדבר על המרחק בין $latex a$ ו-$latex b$ בלי לטרוח לחשוב מי הגדול מבין שניהם.

שימו לב לשלוש תכונות שהמרחק מקיים: הראשונה היא שאם $latex a=b$ אז המרחק ביניהם הוא $latex 0$, מה שהגיוני כמובן - המרחק שלי מעצמי הוא תמיד אפס. מצד שני, אם $latex a\ne b$ המרחק ביניהם תמיד יהיה גדול מאפס. בנוסף, המרחק הוא סימטרי; המרחק מ-$latex a$ אל $latex b$ הוא כמו המרחק מ-$latex b$ אל $latex a$ (פורמלית: $latex \left|a-b\right|=\left|b-a\right|$). לבסוף, ואת זה לא קל לראות או להוכיח, מושג המרחק שלנו מקיים את מה שנקרא “אי שוויון המשולש”, שמשמעותו הפורמלית היא שאורך הקו הישר מ-$latex a$ אל $latex b$ תמיד קצר יותר מאורך המסלול שבו קודם כל עוברים מ-$latex a$ לאיזו נקודה אחרת $latex c$, ואז הולכים מ-$latex c$ אל $latex b$. פורמלית, $latex \left|a-b\right|\le\left|a-c\right|+\left|c-b\right|$.

שלוש התכונות הללו מאפיינות בצורה חזקה למדי את הרעיון האינטואיטיבי של “מרחק” - בצורה כל כך חזקה, שאפשר להגדיר מרחקים גם על קבוצות שאינן של מספרים ממשיים דווקא באמצעות פונקציות שרירותיות, שכל מה שדורשים מהן הוא שיקיימו את שלוש התכונות הנ”ל. פונקציות כאלו נקראות מטריקות, ואני לא הולך לפרט עליהן כאן, כי מדובר בחומר מתקדם מדי עבור תיכון; אני רק רוצה לציין את עובדת קיומן , וכפועל יוצא מכך את העובדה שאת כל מה שאני הולך להציג כעת אפשר להכליל בצורה פרועה ביותר וזה בדיוק גם מה שעושים. במילים אחרות, החדו”א של מספרים ממשיים הוא רק תחילתו של קצה הקרחון.

עכשיו משאנחנו מצויידים בהגדרת המרחק, אפשר לגשת להגדרת הגבול עצמה. לפני כן, למען בניית המתח, אני רוצה להגיד מילה או שתיים על למה לדעתי ההגדרה הזו כל כך קשה לעיכול במבט ראשון עבור מי שאינו מנוסה במתמטיקה. הסיבה היא, לדעתי, רמת הכימות של ההגדרה. “כימות” כאן הוא שימוש בכמתים לוגיים - באמירות “לכל” ו”קיים”. לדוגמה, ההגדרה של מספר מושלם היא “מספר ששווה לסכום מחלקיו הקטנים ממנו”. כאן אין כימות בכלל. ההגדרה של מספר פריק הוא “מספר שקיים לו מחלק הקטן ממנו וגדול מ-1”. את השערת גולדבך ניתן לנסח בתור “לכל מספר זוגי גדול מ-4, קיים פירוק שלו לסכום שני מספרים ראשוניים”. כאן כבר יש שני כמתים שבאים האחד אחרי השני. ומכיוון שאחד הוא “לכל” והשני הוא “קיים”, לא ניתן לאחד אותם (כלומר, להפוך טענה בסגנון “לכל $latex x$ ולכל $latex y$ מתקיים בלה בלה” ל”לכל זוג $latex x,y$ מתקיים בלה בלה”). ההתעסקות בכמות הכמתים נראית מטופשת לגמרי במבט ראשון, אך יש בה הגיון רב; בלוגיקה ובמדעי המחשב ניתן להשתמש ברמת כימות כדי לסווג “קושי” או “כוח” של דברים מסויימים, אך לא ארחיב על כך כעת. הפאנץ’ הוא שהגדרת הגבול כוללת שלושה כמתים (שכל אחד מהם אומר משהו לא פשוט) ולכן היא אולי מהווה קפיצה ברמת הקושי-לעיכול-בסיסי מאשר דברים כמו השערת גולדבך.

הנה הגדרה שמחביאה בתוכה את מרבית הכמתים אבל שומרת על המשמעות האינטואיטיבית: $latex L$ הוא גבול הסדרה $latex a_{n}$ (ומסמנים זאת $latex \lim_{n\to\infty}a_{n}=L$ או בקיצור $latex a_{n}\to L$) אם כמעט כל אברי $latex a_{n}$ קרובים ככל שנרצה ל-$latex L$.

נתחיל בלהבין למה הכוונה ב”קרובים ככל שנרצה”. כבר ראינו עם הסדרה $latex a_{n}=\frac{1}{n}$ שהסדרה לא בהכרח חייבת “לגעת” בגבול שלה. אם כן, אנחנו לא יכולים לדרוש שאברי הסדרה יהיו במרחק 0 מהגבול. אנחנו כן דורשים שלכל מרחק גדול מאפס, כמעט כל אברי הסדרה לא יהיו מרוחקים יותר מהגבול מאשר המרחק הזה. כלומר - כמעט כל איברי הסדרה נמצאים במרחק $latex 1$ מהגבול; כמעט כולם נמצאים במרחק $latex \frac{1}{2}$; כמעט כולם נמצאים במרחק $latex \frac{1}{5432}$ וכן הלאה וכן הלאה. פורמלית כותבים זאת בתור “לכל $latex \varepsilon>0$, כמעט כל איברי הסדרה $latex a_{n}$ מקיימים $latex \left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$“(האות היוונית נקראת אפסילון).

טוב ויפה, אז הבנו מה זה “קרוב ככל שנרצה”. אבל מה זה “כמעט כל”? הכוונה היא - כל אברי הסדרה, חוץ אולי ממספר סופי שלהם. בפועל זה אומר שהחל ממקום מסויים בסדרה, כל האיברים מקיימים את מה שאנחנו רוצים. הנקודה החשובה, המרכזית, המהותית פה היא שהמקום המסויים הזה תלוי ב-$latex \varepsilon$! כלומר, ייתכן שהחל ממקום 3 בסדרה כל האיברים בה קרובים ל-$latex L$ עד כדי $latex \frac{1}{2}$, אבל רק ממקום 3,000,000 בסדרה כל האיברים קרובים ל-$latex L$ עד כדי $latex \frac{1}{4}$. זה מוביל אותנו לתיאור המדויק הבא: עבור $latex \varepsilon>0$ נתון, אומרים שכמעט כל אברי הסדרה קרובים ל-$latex L$ עד כדי $latex \varepsilon$ אם קיים $latex N$ טבעי כך שלכל $latex n>N$ מתקיים $latex \left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$. לעתים נהוג לכתוב $latex N_{\varepsilon}$ כדי להדגיש את התלות של $latex N$ ב-$latex \varepsilon$.

בואו נחבר את החלקים ונצטט במפורש פעם אחת ולתמיד את הגדרת הגבול הפורמלית. הסדרה $latex a_{n}$ שואפת לגבול $latex L$ אם לכל $latex \varepsilon>0$ קיים $latex N_{\varepsilon}$ טבעי כך שלכל $latex n>N_{\varepsilon}$ מתקיים $latex \left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$. זו ההגדרה כולה. זו הגדרה קצרה למדי; הקושי, כאמור, טמון כנראה בשלושת הכמתים.

פרט לקושי של הבנת ההגדרה, יש גם את הקושי של עבודה איתה. אז יופי, הבנו איך מגדירים גבול, אבל איך מוכיחים ככה דברים בתכל’ס? התשובה היא שלעתים זה לא פשוט, ושיש כאן טכניקה שצריך להשתלט עליה. בואו נטפל בסדרה הפשוטה $latex a_{n}=\frac{1}{n}$ ונראה איך על פי הגדרת הגבול מתקיים $latex a_{n}\to0$. הוכחות על פי הגדרה הן מעין “משחק” שאני משחק עם יריב ערמומי כלשהו. היריב נותן לי “אתגר” בדמות $latex \varepsilon>0$, אני משיב לאתגר הזה במענה משלי, $latex N_{\varepsilon}$, שמבוסס על האתגר שקיבלתי; וכעת מטרת היריב שלי היא לתת $latex n>N$ ש”מקלקל”, כלומר שעבורו מתקיים $latex \left|a_{n}-L\right|\ge\varepsilon$. אם הוא מצא כזה, הפסדתי; ואחרת ניצחתי. המטרה שלי היא להראות שאני תמיד יכול לנצח במשחק הזה.

אם כן, יהא $latex \varepsilon>0$ כלשהו. אנו רוצים למצוא $latex N$ כך שלכל $latex n>N$ מתקיים $latex \left|a_{n}-0\right|<\varepsilon$, ובמילים אחרות, שמתקיים $latex \left|\frac{1}{n}\right|<\varepsilon$, ובמילים אחרות, שמתקיים $latex n>\frac{1}{\varepsilon}$. אם כן, נבחר $latex N=\left\lceil \frac{1}{\varepsilon}\right\rceil $ - הסימון הזה מתאר את הערך השלם העליון של $latex \frac{1}{\varepsilon}$ - המספר השלם הקטן ביותר שגדול מ-$latex \frac{1}{\varepsilon}$. זה בבירור מספר טבעי כי $latex \varepsilon$ חיובי. כעת אם $latex n>N$ אז בפרט $latex n>\frac{1}{\varepsilon}$ ולכן נקבל $latex \left|a_{n}-0\right|<\varepsilon$ כנדרש. זה הסגנון של כל הוכחות הגבולות בחדו”א; רק שכאן היה טריוויאלי למצוא את $latex N$ הדרוש ולהראות שהוא מקיים את התכונה המבוקשת, ואילו בדרך כלל זה קשה בהרבה.

בואו נדגים עכשיו שימוש תיאורטי יותר של ההגדרה - נוכיח שלא ייתכן שלסדרה יהיה יותר מגבול אחד. האינטואיציה לא קשה - אם יש לסדרה שני גבולות, בואו נעשה “זום” על שניהם, ונתבע שאברי הסדרה יהיו קרובים אליהם עד כדי $latex \varepsilon$ זעום ביחס למרחק שבין שני הגבולות. התוצאה תהיה שכמעט כל אברי הסדרה יהיו חייבים להיות גם קרובים מאוד לגבול הראשון וגם קרובים מאוד לגבול השני למרות ששני הגבולות הללו מרוחקים, וזו תהיה סתירה.

פורמלית ההוכחה הולכת כך: אם $latex a_{n}\to L_{1}$ וגם $latex a_{n}\to L_{2}$, נגדיר $latex \varepsilon=\left|\frac{L_{1}-L_{2}}{2}\right|$. על פי הגדרת הגבול קיימים קבועים $latex N_{1},N_{2}$ כך שאם $latex n>N_{1}$ אז $latex \left|a_{n}-L_{1}\right|<\varepsilon$, ובאופן דומה עבור $latex N_{2}$. נגדיר $latex N=\max\left\{ N_{1},N_{2}\right\} $, וכעת אם $latex n>N$ מובטח שמתקיים גם $latex \left|a_{n}-L_{1}\right|<\varepsilon$ וגם $latex \left|a_{n}-L_{2}\right|<\varepsilon$. כלומר, הנקודה $latex a_{n}$ קרובה מאוד הן ל-$latex L_{1}$ והן ל-$latex L_{2}$, ומזה אני יכול להסיק את המסקנה ש-$latex L_{1},L_{2}$ לא יכולים להיות מרוחקים מדי! זהו בדיוק שימוש של אי שוויון המשולש שהזכרתי לעיל: $latex \left|L_{1}-L_{2}\right|\le\left|a_{n}-L_{1}\right|+\left|a_{n}-L_{2}\right|<\varepsilon+\varepsilon=\left|L_{1}-L_{2}\right|$. מכאן קיבלתי סתירה: $latex \left|L_{1}-L_{2}\right|<\left|L_{1}-L_{2}\right|$, והרי מספר לא יכול להיות קטן מעצמו.

שימו לב שהמשפט הזה מוכיח שלסדרה $latex 1,0,1,0,\dots$ אין גבול, אם אתם מוכנים להיות קצת פיזיקאים ולהגיד ששיקולי סימטריה מראים שאם 0 היה גבול של הסדרה, גם 1 היה גבול שלה (הוכחה על פי הגדרה שאין לסדרה הזו גבול היא פשוטה ביותר גם היא אבל אלגנטית פחות).

בואו נעבור עכשיו למשהו שמשלב את התיאורטי עם המעשי - נניח ש-$latex a_{n},b_{n}$ הן שתי סדרות, וש-$latex a_{n}\to A$ ו-$latex b_{n}\to B$. בואו נגדיר עכשיו סדרה חדשה על ידי חיבור “איבר איבר” שלהן: $latex c_{n}=a_{n}+b_{n}$. טבעי לחשוב שיתקיים $latex c_{n}\to A+B$ וזה גם נכון. ההוכחה? ניקח $latex \varepsilon>0$. אז יש $latex N_{1},N_{2}$ כך שאם $latex n>N_{1}$ אז $latex \left|a_{n}-A\right|<\frac{\varepsilon}{2}$, ואם $latex n>N_{2}$ אז $latex \left|b_{n}-B\right|<\frac{\varepsilon}{2}$. ניקח כעת $latex N=\max\left\{ N_{1},N_{2}\right\} $ (האם אתם מזהים תבנית בהוכחות שלי?) ולכל $latex n>N$ יתקיים $latex \left|a_{n}+b_{n}-\left(A+B\right)\right|\le\left|a_{n}-A\right|+\left|b_{n}-B\right|<\left|a_{n}-A\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\left|a_{n}-A\right|<\frac{\varepsilon}{2}=\left|a_{n}-A\right|<\varepsilon$.

כמו שאפשר לנחשב, באופן דומה (מסובך קצת יותר) מוכיחים ש-$latex a_{n}b_{n}\to AB$, ש-$latex a_{n}-b_{n}\to A-B$ וש-$latex \frac{a_{n}}{b_{n}}\to\frac{A}{B}$, כשהאחרון נכון רק אם $latex B\ne0$. התכונות הללו מכונות אריתמטיקה של גבולות, והן מאוד יעילות ככלי לחישוב גבולות; במקום שיהיה צורך לחשב גבול של סדרה מסובכת, אפשר לחשוב עליה כבנויה מסדרות פשוטות יותר ולטפל בכל אחת בנפרד. למשל, הסדרה $latex a_{n}=\frac{2n+2}{n+2}$ אולי נראית בעייתית ממבט ראשון, אבל אפשר לנקוט עבורה בתעלול הבא: ראשית, $latex 2n+2=2\left(n+1\right)$ ולכן די אם נמצא את הגבול של $latex \frac{n+1}{n+2}$ ונכפול את התוצאה ב-2 (כי אפשר לחשוב על $latex \frac{2n+2}{n+2}$ כאילו הוא $latex \frac{n+1}{n+2}$ כפול הסדרה הקבועה $latex b_{n}=2$, שגבולה הוא כמובן 2). נשים לב ש-$latex \frac{1}{n+2}\to0$ (ההוכחה דומה להוכחה עבור $latex \frac{1}{n}\to0$) ולכן $latex \lim\frac{n+1}{n+2}=\lim\frac{n}{n+2}+0$. לסיום ניתן לכפול מונה ומכנה ב-$latex \frac{1}{n}$ ולקבל את הסדרה $latex \frac{1}{1+\frac{2}{n}}$. מכיוון ש-$latex \frac{2}{n}\to0$ נקבל ש-$latex \frac{1}{1+\frac{2}{n}}\to\frac{1}{1+0}=1$, ולכן קיבלנו סך הכל ש-$latex \frac{2n+2}{n+2}\to2$.

אם כן, סיימנו לדבר על גבול של סדרות. עם זאת, אני לא יכול להתאפק ורגע לפני שאעבור לדבר על פונקציות אני רוצה להכניס עוד מושג לתמונה - טורים אינסופיים. טור אינסופי הוא פשוט סדרה אינסופית של מחוברים, למשל $latex \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$. אנחנו רוצים לתת משמעות לסכום של אינסוף איברים שכאלו, ומושג הגבול של סדרה נותן לנו משמעות שכזו במתנה. אם יש לנו טור מהצורה $latex a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots$ אז מגדירים סכום חלקי בתור $latex S_{n}=a_{1}+\dots+a_{n}$ - הסכום החלקי ה-$latex n$-י הוא הסכום (הסופי) של $latex n$ האיברים הראשונים בטור. כעת נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים $latex S_{n}$; אם יש לה גבול, אז מגדירים את סכום הטור $latex a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots$ בתור גבול זה. כך למשל לא קשה מדי להראות ש-$latex \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots=1$ על פי הגדרה זו. אולי תשאלו איך זה קשור לפוסט במתמטיקה תיכונית; ובכן, בתיכון לומדים על יצור שנקרא סדרה הנדסית - סדרה שכל איבר בה גדול פי $latex q$ מקודמו, עבור $latex q$ קבוע כלשהו. כלומר, אבריה הם מהצורה $latex a_{1},qa_{1},q^{2}a_{1},\dots$ וכן הלאה. אפשר להראות (בצורה פשוטה למדי, אבל לא אעשה זאת כעת) כי סכום $latex n$ האיברים הראשונים בסדרה שכזו הוא $latex a_{1}\cdot\frac{q^{n-1}-1}{q-1}$. כעת, לא הוכחתי זאת אבל אם $latex q$ הוא מספר קטן קטן מ-1 בערכו המוחלט, כלומר $latex \left|q\right|<1$, אז מתקיים $latex q^{n}\to0$ (שימו לב: כאן $latex q$ הוא קבוע ואילו $latex n$ מופיע בכלל בחזקה). שימוש בנוסחה זו מראה לנו ש-$latex a_{1}\cdot\frac{q^{n-1}-1}{q-1}\to\frac{a_{1}}{1-q}$ וערך זה, $latex \frac{a_{1}}{1-q}$, נלמד בתיכון בתור “הסכום של סדרה הנדסית אינסופית”, לרוב ללא הוכחה או הסבר. ובכן, כעת יש לכם הסבר; הוכחה מדויקת (כלומר, הוכחה ש-$latex q^{n}\to0$) תחכה לפעם אחרת.


נהניתם? התעניינתם? אם תרצו, אתם מוזמנים לתת טיפ:

Buy Me a Coffee at ko-fi.com