ובתפקיד היפה והחנון - פולינומים ומרוכבים

אפשר להגיד הרבה דברים רעים על “היפה והחנון”, אבל יש לה יתרון אחד - איפה עוד יש סיכוי להיתקל במושגים מתמטיים אמיתיים בפריים-טיים הישראלי? אז כן, הם מוזכרים שם רק בשביל הבדיחה, אבל זה עדיין תירוץ מצויין לכתוב עליהם (ולו בשביל אותם אנשים שאחרי צפייה בתוכנית ירצו לגגל את המושגים בשביל השעשוע שבדבר וינפחו את מונה אגו הכניסות שלי). מכיוון שאני לא צופה בתוכנית (באמת!) אשמח אם יודיעו לי על כל מושג מתמטי תועה שמגיע אליה.

המושג הראשון שהוזכר שם ועליו שמעתי היה חבורת התמורות הזוגיות ב-\( S_{5} \), שיוצגה בידי כדור באקי (Buckyball). לא כתבתי על זה בשעתו למרות שמדובר על נושא נחמד; אולי בעתיד. אבל עכשיו הפנו לתשומת לבי סצינה אחרת (בפרק 3 של העונה השניה; אני משער שהלינק לא יחזיק מעמד לנצח, אבל זה לא באמת חשוב), שבה אחד מהחנונים משתתף במשימת דוגמנות וכדי להירגע חושב על “פולינומים במקדמים ממשיים מעל האידאל שנוצר על ידי איקס בריבוע פלוס אחד”, ובראיון לאחר מכן (שבו הוא מתואר כ”חוקר הסתברויות ונוסחאות מתמטיות”, אבוי לבושה) מסביר שהוא “ניסה למצוא איזומורפיזם” בין החוג שהוא דיבר עליו ובין שדה המרוכבים (ובכתוביות נטען - “המורכבים”). ובכן, כאן מדובר על נושא יפה מאוד לטעמי ובהחלט אשמח לנסות ולהסביר על מה הוא מדבר (וגם - למה מאוד מוזר שמישהו שכבר מדבר על זה “ינסה למצוא איזומורפיזם” שכזה; בפשטות, מי שמכיר את הנושא גם יודע בדיוק מהו האיזומורפיזם ולא צריך לחפש אותו).

אני מניח כאן שכולם זוכרים משהו מבית הספר - מספרים ממשיים. לא מזמן כתבתי פוסט שהתעסק בהם ולכן לא אחזור על ההסברים כאן, וממילא זה לא ממש חשוב. המספרים המרוכבים הם עניין אחר; בבית הספר מציגים אותם בתור מה שמתקבל אחרי ש”ממציאים” מספר חדש שמסומן בתור \( i \) ומקיים \( i^{2}=-1 \) (וזאת למרות שכל מספר ממשי שמועלה בריבוע מחזיר משהו אי שלילי, כך שאין דרך לקבל מינוס 1 כריבוע של מספר ממשי, ולכן \( i \) אינו יכול להיות ממשי), ואז מספר מרוכב “כללי” הוא מספר מהצורה \( a+bi \) כאשר \( a,b \) הם מספרים ממשיים.

בתיכון כל הבניה הזו היא מרגיזה למדי - מאיפה פתאום צץ לו אותו \( i \)? למה הוא בכלל קיים? למה אפשר להוסיף אותו למערכת המספרים שלנו? מה זה השקרים הללו? זה אף הוביל “מהנדס” לכתוב בשעתו במאמר ב”הארץ” ש”\( i \) הוא יצור מוזר בתכלית, פרי דמיון מתמטי פרוע”. גם על זה דיברתי בשעתו. אם כן, המתמטיקאים מעוניינים להציג בניה קונקרטית של המספרים המרוכבים שלא תדרוש “המצאה” יש מאין של \( i \). אם נצליח לבנות קבוצה של אובייקטים מתמטיים לגיטימיים, שתוגדר עליהם פעולה של חיבור ושל כפל וההתנהגות שלהם “תיראה בדיוק כמו” ההתנהגות של המרוכבים, אז במובן מסויים בנינו כך את המרוכבים. המילה שאנו רוצים להשתמש בה היא אכן איזומורפיזם - זהות צורה. אנחנו רוצים לומר “האובייקטים שבנינו פה והמספרים המרוכבים הם בעצם אותו דבר בסימונים שונים”. אני אוהב להביא את הציטוט שאומר שהמתמטיקה היא האמנות של קריאה בשמות שונים לאותו הדבר ובאותו השם לדברים שונים - כאן זו דוגמה קלאסית לכך.

ה”קבוצה של אובייקטים מתמטיים לגיטימיים” שאני הולך לבנות היא אותו אוסף “הפולינומים במקדמים ממשיים מעל האידאל שנוצר על ידי איקס בריבוע ועוד אחד” המדובר. אז צריך להתחיל בלהסביר מה זה פולינומים. פולינום (“רב-איבר”) הוא משהו שנראה בערך ככה: \( 5x^{2}+3x+2 \). כלומר, יש לנו את המשתנה (“הנעלם”) \( x \), חזקות שלו, כל חזקה מוכפלת במספר ממשי כלשהו (מכאן “פולינום במקדמים ממשיים” דווקא; אפשר לדבר על מקדמים שאינם בהכרח ממשיים אבל לא נצטרך את זה כאן), וסכום של כל הדבר הזה. אז \( \sin x \), למי שמכיר, אינו פולינום, כי הוא כולל משהו שהוא יותר מסובך מסתם חזקות של \( x \); וגם \( \frac{1}{1+x^{2}} \) אינו פולינום כי יש פה חילוק. באופן הכללי ביותר, פולינום נראה ככה: \( a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0} \) כאשר כל ה-\( a \)-ים הללו הם מספרים ממשיים.

איך זה קשור למרוכבים? כאן נכנס לתמונה אותו “אידאל” שנוצר על ידי הפולינום \( x^{2}+1 \). אסביר למה הכוונה המדויקת בהמשך, אך לעת עתה בואו רק נדבר על המשמעות. ראשית, אפשר להגדיר חיבור וכפל על פולינומים בצורה “טבעית” יחסית. למשל, \( x^{2}+2x+1 \) ועוד \( 3x^{2}+4 \) יהיה \( 4x^{2}+2x+5 \) (פורמלית, לכל חזקה של \( x \), מחברים את המקדמים שלה בשני הפולינומים שאותם מחברים). כפל מוגדר בעזרת כללי פתיחת הסוגריים הרגילים, למשל \( \left(2x+3\right)\cdot\left(x+4\right)=2x^{2}+8x+3x+12=2x^{2}+11x+12 \).

הדבר הזה עדיין לא דומה למרוכבים, אבל הוא יהפוך להיות מאוד דומה אם נשנה את פעולת הכפל באופן הבא: אחרי שמבצעים את הכפל, מחלקים את התוצאה בפולינום \( x^{2}+1 \) ולוקחים רק את השארית. כאן זה כבר פחות ברור - מה זה אומר “לחלק בפולינום עם שארית”?

ובכן, זה לא שונה בהרבה מאשר חלוקה עם שארית במספרים שלמים שכולנו למדנו לעשות בבית הספר היסודי (אני מקווה). למשל, אם מחלקים את 13 ב-4 ולוקחים שארית, מה שקורה הוא שמגלים כי אפשר לכתוב את 13 גם כך: \( 13=4\cdot3+1 \). ה-\( 3 \) הוא מספר הפעמים שבהן \( 4 \) נכנס ב-\( 13 \) בשלמותו (המספר הזה מכונה המנה) וה-1 הוא מה שנשאר כשכבר אי אפשר להכניס את 4 שוב בשלמותו לתוך המחולק. באופן כללי, אם \( a,b \) הם שני מספרים שלמים, אז תמיד יש מספרים \( q,r \) כך ש-\( a=bq+r \), כך שבנוסף \( r \) הוא אי שלילי קטן ממש מ-\( b \) (מהמספר שבו מחלקים) - ואז \( r \) הוא השארית.

אותו הדבר בדיוק קורה גם בפולינומים: אם \( a\left(x\right),b\left(x\right) \) הם שני פולינומים, אז יש פולינומים \( q\left(x\right),r\left(x\right) \) כך ש-\( a\left(x\right)=b\left(x\right)q\left(x\right)+r\left(x\right) \), כך שהחזקה הגבוהה ביותר של \( x \) שמופיעה ב-\( r\left(x\right) \) קטנה מזו שמופיעה ב-\( b\left(x\right) \) (המספר הזה נקרא הדרגה של הפולינום; למשל, הדרגה של \( x^{3}+1 \) היא 3, ושל הפולינום \( 5 \) היא 0, כי אפשר לחשוב עליו בתור \( 5x^{0} \)). הדמיון הזה בין מספרים שלמים ופולינומים לא נגמר כאן; זהו רק קצה הקרחון של שלל תופעות ומושגים דומים שלא אכנס אליהם כאן (אבל רק אעיר שמתמטית, הן השלמים והן הפולינומים והן הרבה אובייקטים קרובים אליהם מהווים את מה שנקרא חוגים אוקלידיים).

כמובן שנשאלת השאלה איך, אם נתנו לי את \( a\left(x\right) \) ו-\( b\left(x\right) \), אני מסוגל לבצע את החלוקה ולמצוא את \( r\left(x\right) \) המדובר. זה לא קשה במיוחד לביצוע אבל מכיוון שזה סתם טכני לא אכנס לכך כאן. במקום זה, בואו נסתכל על דוגמה שהכינותי מבעוד מועד. כבר ראינו קודם שמכפלת הפולינומים \( 2x+3 \) ו-\( x+4 \) היא \( 2x^{2}+11x+12 \); מה מקבלים כאשר מחלקים בפולינום \( x^{2}+1 \)?

ובכן, ניתן לכתוב \( 2x^{2}+11x+12=2\cdot\left(x^{2}+1\right)+\left(11x+10\right) \), כך שהשארית במקרה הזה היא \( 11x+10 \). אם כן, במבנה שדיברתי עליו - פולינומים במקדמים ממשיים מעל האידאל שנוצר על ידי \( x^{2}+1 \) - המכפלה של \( 2x+3 \) ושל \( x+4 \) יוצאת \( 11x+10 \).

באופן כללי, המכפלה של שני פולינומים תצא, לאחר החלוקה ב-\( x^{2}+1 \), פולינום כלשהו ממעלה קטנה מ-2 (כי זו המשמעות של שארית - המעלה שלה צריכה להיות קטנה ממעלת \( x^{2}+1 \), שהיא 2). אם כן, הבה ונצטמצמם: מראש נדבר רק על פולינומים כאלו. כלומר, הקבוצה שלנו היא קבוצת כל הפולינומים מהצורה \( a+bx \), כך שחיבור מוגדר באופן הרגיל, וכפל מוגדר על ידי כפל רגיל, שמייד אחריו מחלקים ב-\( x^{2}+1 \) ולוקחים את השארית.

ברשותכם אנסה למצוא נוסחה “כללית” לכפל שתפשט לנו את החיים. נניח שאנו כופלים שני פולינומים כלליים ממעלה 2, \( \left(a+bx\right)\left(c+dx\right) \). מה נקבל? נקבל \( ac+\left(bc+ad\right)x+bdx^{2} \). לא קשה לראות שאחרי חלוקה ב-\( x^{2}+1 \) נקבל את השארית \( \left(ac-bd\right)+\left(bc+ad\right)x \) (לא מאמינים? תרגיל!). אם כן, יש לנו נוסחה כללית לחיבור וכפל באובייקט המתמטי שבנינו.

מה שאני רוצה להדגיש כאן הוא שהבניה הזו הייתה לגיטימית לחלוטין. אין שום דבר לא הגיוני או מפתיע בפולינומים עם מקדמים ממשיים, ומותר להגדיר פעולות של כפל-ואז-חלוקה-ולקיחת-שארית. אבל מה קיבלנו? בואו ניזכר רגע בכפל של שני מספרים מרוכבים כלליים: \( \left(a+bi\right)\left(c+di\right)=ac+\left(bc+ad\right)i+bdi^{2}=\left(ac-bd\right)+\left(bc+ad\right)i \). נראה מוכר? זה בדיוק אותו הדבר כמו בפולינומים, רק שבפולינומים השתמשו בסימן \( x \), וכאן אנו משתמשים בסימן \( i \).

אם כן, להגיד ששני היצורים הללו איזומורפיים פירושו להגיד שהם בעצם אותו הדבר, עד כדי הסימון; בפולינומים אנו משתמשים ב-\( x \), ובמרוכבים אנו משתמשים ב-\( i \), אבל האובייקט הוא אותו האובייקט - הוא מקיים בדיוק את אותן התכונות ביחס לפעולות החיבור והכפל. זו, אם כן, הבניה ה”פורמלית” של המרוכבים, ולכן גם ברור לחלוטין מהו אותו איזומורפיזם חמקמק שאחריו חיפש החנון - פשוט להעביר את \( x \) ל-\( i \) ואת המספרים הממשיים לעצמם.

איך נכנס המושג של “אידאל” לתמונה? להסביר מדוע בכלל בוחרים כזו מילה משונה לדיבור על הסיטואציה הזו ייקח אותי רחוק מדי (מקור המילה במושג שהמציא קומר, של “מספרים אידאליים”, ומאז הוכלל בצורה חזקה אבל שמר על שמו; בהקשר המקורי יש מובן הגיוני ל”אידאליות” שלהם). בהקשר הנוכחי המושג של “מעל האידאל” בא לידי ביטוי באותה חלוקה-ולקיחת-שארית. האידאל שנוצר על ידי \( x^{2}+1 \) הוא קבוצת כל האיברים שמקבלים כשמכפילים את \( x^{2}+1 \) בפולינום כלשהו. נסמן את הקבוצה הזו בתור \( \left\langle x^{2}+1\right\rangle \). כעת, במקום לדבר על “חלוקה ב-\( x^{2}+1 \) ולקיחת שארית” אפשר לדבר על “בהינתן פולינום, נתאר אותו כסכום של איבר מתוך \( \left\langle x^{2}+1\right\rangle \) ופולינום נוסף”. כשמבקשים שאותו “פולינום נוסף” יהיה מהמעלה הקטנה ביותר האפשרית מקבלים בדיוק את מה שתיארנו קודם - אם \( a\left(x\right)=\left(x^{2}+1\right)q\left(x\right)+r\left(x\right) \) אז אותו \( \left(x^{2}+1\right)q\left(x\right) \) הוא איבר של אותו אידאל \( \left\langle x^{2}+1\right\rangle \) המדובר. למעשה, במתמטיקה בדרך כלל נהוג לומר שמה שאנו עושים בסיטואציה הזו הוא לחלק את חוג הפולינומים במקדמים ממשים באידאל שנוצר על ידי \( x^{2}+1 \) - ממש משתמשים בסימון של חלוקה, \( \mathbb{R}\left[x\right]/\left\langle x^{2}+1\right\rangle \). החנון בתוכנית לא השתמש בטרמינולוגיה הזו.

הסיבה שבכלל מדברים על אידאלים ולא על חלוקה-ולקיחת-שארית וזהו היא שאפשר לבצע חלוקה של חוגים כלליים בהרבה באידאלים כלליים בהרבה, ולכן הפעולה המעניינת היא הפעולה הכללית של חלוקה באידאל; אבל זה באמת עניין לפוסט אחר ואי אפשר להסביר זאת כאן עד הסוף. מה שאני כן רוצה לומר בזה הוא שאותה בנייה של המרוכבים מתוך הפולינומים הממשיים היא רק קצה הקרחון של הבניות שניתן לבצע באמצעות תעלולים כאלו, ושמדובר בתחום מתמטי מקסים באמת. אז למרות ש”היפה והחנון” עשה לו יחסי ציבור עקומים למדי, אני מקווה שלפחות במקרה הזה תהיה נכונה הססמא שאומרת שאין דבר כזה, פרסום רע.