אז מה הקטע עם המשפט האחרון של פרמה?

אחד מהנושאים שעד היום לא נגעתי בהם כמעט כלל בבלוג הוא המשפט האחרון של פרמה - כנראה התוצאה המתמטית המפורסמת ביותר. הבעיה העיקרית שבכתיבה עליה היא כפולה - ראשית, סיימון סינג כבר כתב עליה ספר מפורט (“המשפט האחרון של פרמה”); ושנית, אם רוצים לעשות משהו שונה ממה שסינג עשה צריך להיכנס יותר לעומק המתמטיקה של העניין, אבל המתמטיקה היא קשה, וזו תהיה בעיה מהותית עבור הקוראים, ועוד יותר מכך עבורי.

ובכל זאת אני חושב שכדאי לתת פוסט עם סקירה קצרה של הסיפור, למי שלא רוצים לקרוא את הספר של סינג או שאין להם כוח למאות עמודים שכוללים לא מעט רכילות והיסטוריה, והפוסט הזה אולי יצליח לעקור מן השורש כמה תפיסות שגויות בקשר למשפט.

המשפט הוא הטענה הבאה: לכל מספר טבעי $latex n>2$, לא קיים פתרון במספרים שלמים למשוואה $latex a^{n}+b^{n}=c^{n}$ שבו $latex a,b,c$ כולם גדולים מאפס ($latex a=b=c=0$ הוא פתרון, כמובן). הטענה הזו מעניינת שכן עבור $latex n=2$ דווקא יש המוני פתרונות - אלו הם השלשות הפיתגוריות המפורסמות שכבר דיברתי עליהן בבלוג. למשל, $latex 3^{2}+4^{2}=5^{2}$ או $latex 5^{2}+12^{2}=13^{2}$.

המשפט הזה מעניין, אבל לא ברור למה הוא עד כדי כך מעניין, ואני סבור שחלק לא מבוטל מהעניין הוא ההיסטוריה שלו. מקור המשפט בפייר דה-פרמה, מתמטיקאי צרפתי חובב בן המאה ה-17. פרמה זכה לכינוי “מלך החובבנים”, כי בתור מי שהיה במקצועו עורך דין והמתמטיקה עבורו הייתה בעיקר שעשוע, התרומות שלו לה היו בלתי מבוטלות. אהבתו הגדולה של פרמה הייתה תורת המספרים והוא נהג לגלות תוצאות שונות ומשונות, להוכיח אותן לעצמו, ואז לשלוח למתמטיקאים המקצועיים “אתגר” שבו הוא קורא להם להוכיח את הטענה בעצמו. הוא כמעט ולא פרסם את ההוכחות שלו ומכל מקום הן לא היו מדוקדקות עד הסוף. כך למשל הוא טען שמצא את הקריטריון ההכרחי לכך שמספר ראשוני $latex p$ יהיה ניתן להצגה בתור $latex a^{2}+b^{2}$, בתור $latex a^{2}+2b^{2}$ ובתור $latex a^{2}+3b^2$; הקריטריון אכן היה מדויק להפליא, אבל פרמה תיאר רק סקיצה כלשהי של הוכחה ואוילר הזיע לא מעט (40 שנים!) עד שהצליח להוכיח בשלמותן את שלוש הטענות הללו (גם על זה דיברתי בבלוג בעבר).

פרמה מעולם לא פרסם מאמר מתמטי כלשהו (יש חריג זוטר כלשהו שפורסם באנונימיות), ולאחר מותו ב-1665 חששו מעריציו הרבים שכל מה שגילה ירד לטמיון. בנו לקח על עצמו לטפל בעזבונו ולעשות סדר בבלאגן. בעזבון היה תרגום ללטינית של “אריתמטיקה” של דיופנטוס - אולי הספר שהוליד את תורת המספרים, ובוודאי שהיצירה החשובה ביותר של המתמטיקאים היווניים בנושא. בתוך הספר, ליד תרגיל שעוסק באתגר של מציאת פירוק מהצורה $latex a^{2}+b^{2}=c^{2}$ אם נתון רק $latex c^{2}$, התווספה הערת שוליים בכתב ידו של פרמה: “מצד שני, בלתי אפשרי לכתוב חזקה שלישית כסכום חזקות שלישיות, או חזקה רביעית כסכום חזקות רביעיות או, באופן כללי, כל מספר שהוא חזקה הגדולה משתיים אינו יכול להיכתב כסכום של שתי חזקות דומות. בידי הוכחה נפלאה לטענה זו ששוליים אלו צרים מלהכילה”.

אלא שאותה “הוכחה נפלאה” לא נמצאה בשום מקום בכתבי פרמה. וכך נוצר לו מיתוס מתמטי. המשפט נקרא “המשפט האחרון של פרמה” לא בגלל שהיה זה המשפט האחרון שפרמה הוכיח (סביר להניח שהוא כתב את הערת השוליים בצעירותו, כשרק קרא את הספר לראשונה) אלא בגלל שמכל הטענות הרבות של פרמה, זו הייתה היחידה שנותרה בלא הוכחה או הפרכה גם מאות שנים לאחר שנתגלתה. הקושי הרב שבהוכחת הטענה והעובדה שההוכחה הנפלאה מעולם לא נמצאה, כמו גם הגישה של פרמה באופן כללי להוכחות מובילים לקונצנזוס חד משמעי למדי בקהילה המתמטית לפיו אותה הוכחה נפלאה מעולם לא הייתה קיימת. קרוב לודאי שפרמה חשב שהוכיח את הטענה ושיש לו הוכחה נפלאה לכך; אבל סביר לשער שבהוכחה הזו הייתה טעות כלשהי (כפי שהייתה טעות כלשהי באותן אלפי “הוכחות” פשוטות למשפט של פרמה שהתגלו מאז), ושפרמה עצמו לא שם לב לטעות, או ששם לב לטעות ולא טרח לתקן את הערת השוליים. גם כיום יש כאלו שמעדיפים לשחק ב”נדמה לי” ולחפש את אותה הוכחה פשוטה שחמקה מכל גדולי המתמטיקאים במשך למעלה משלוש-מאות וחמישים שנים; אבל אני חושב שההסבר שאני מציע כאן סביר יותר.

מרגע שהתגלה המשפט, החלו מתמטיקאים סקרנים לנסות ולהוכיח אותו, בפרט בהתחשב בכך שקיימת לו “הוכחה נפלאה” שכזו. מכתבי פרמה עצמו די קל להסיק הוכחה עבור $latex n=4$; יותר מסובכת היא ההוכחה שאוילר מצא בסביבות 1753 עבור $latex n=3$; מרגע שיש את שתי ההוכחות הללו אפשר להראות שדי להוכיח את המשפט עבור $latex n$ ראשוני בלבד. הראשוני הבא הוא 5, ועבורו הוכיחו את המשפט לז’נדר ודיריכלה ב-1825 (דיריכלה הצעיר הוכיח את המשפט עבור מקרה אחד, ולז’נדר הקשיש השלים את ההוכחה עבור המקרה השני). ב-1839 פרסם לאמה הוכחה עבור $latex n=7$. ההוכחות הולכות ומסתבכות מבחינה טכנית והיה ברור למדי שזו לא הדרך; שאם רוצים להוכיח את המשפט צריך למצוא שיטות כלליות יותר שמטפלות באינסוף מקרים בו זמנית.

את הצעד הראשון בכיוון עשתה סופי ז’רמן ב-1823. את סיפורה של ז’רמן - מתמטיקאית שפעלה בתקופה שבה נמנע מנשים בכוח לעסוק במתמטיקה, והייתה הראשונה שהוכיח תוצאה כללית על משפט פרמה - כדאי לתאר בפוסט אחר. המשפט של ז’רמן לא מראה שאין פתרון עבור $latex n$-ים מסויימים; הוא כן מראה שאם יש פתרון עבור $latex n$ שמקיים תנאי מסויים, אז אחד מהמספרים בפתרון ($latex a,b$ או $latex c$) חייב להתחלק ב-$latex n$. ז’רמן גם הראתה שכל ראשוני עד 97 מקיים את התנאי (מה שמנוסח בצורה נאה כ”כל ראשוני קטן מ-100 מקיים את התנאי”).

אבל המפץ הגדול הגיע בכינוס של האקדמיה בפריז ב-1 במרץ 1847. המתמטיקאי לאמה - אותו אחד ששבר את הראש ומצא הוכחה מסובכת במיוחד למקרה של $latex n=7$, בא והצהיר כי פתר את הבעיה הכללית. הרעיון הבסיסי בהוכחה שלו היה פשוט אך מבריק; בכל ההוכחות עד אז השתמשו תמיד בפירוק כלשהו, למשל $latex x^{3}+y^{3}=\left(x+y\right)\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)$. הבעיה היא שעבור חזקות גבוהות יותר, הפירוק הוא לגורמים עם חזקות גדולות יותר ואז הניתוח קשה יותר. לאמה תהה - מדוע לא לפרק את $latex x^{n}+y^{n}$ “עד הסוף”, באמצעות שימוש במספרים מרוכבים? הוא הניח שיש פתרון למשוואה, $latex x^{n}+y^{n}=z^{n}$, לקח מספר מרוכב $latex \theta$ כך ש-$latex \theta^{n}=1$ - “שורש יחידה מסדר $latex n$” (הערה למתקדמים - זכרו ש-$latex n$ הוא ראשוני כך שכל שורש יחידה שאינו 1 הוא פרימיטיבי), ואז פירק כך:

$latex x^{n}+y^{n}=\left(x+y\right)\left(x+\theta y\right)\left(x+\theta^{2}y\right)\cdots\left(x+\theta^{n-1}y\right)$

כל הגורמים כאן הם ממעלה ראשונה (החזקות של $latex x,y$ הן 1) מה שמקל מאוד על המשך הניתוח. לאמה הנלהב סיים בתודות נרגשות לליוביל, אחד מבכירי המתמטיקאים של התקופה, שהעלה את הרעיון להוכחה בשיחה עמו.

אחרי לאמה עלה ליוביל לדבר. ראשית הוא ניער את עצמו מכל וכל מההוכחה של לאמה וטען שהרעיון להשתמש במרוכבים בתורת המספרים הוא כבר עתיק והשתמשו בו אוילר, לגראנז’, גאוס, קושי ויעקובי; ושהשיטה של לאמה היא בערך הדבר הראשון שכל מתמטיקאי שניגש לבעיה לראשונה אמור לחשוב עליו, ולסיום הוא הצביע על הבעיה המרכזית: בשלב כלשהו בהוכחה לאמה מניח שהגורמים בפירוק ($latex \left(x+y\right)$ ו-$latex \left(x+\theta y\right)$ וכדומה) הם זרים, כלומר אין להם מחלקים משותפים, ומסיק מכך שמכפלתם היא חזקה $latex n$-ית (שהרי $latex x^{n}+y^{n}=z^{n}$) שגם כל אחד מהם חייב להיות חזקה $latex n$-ית ומכאן כבר מגיעים לסתירה. ליוביל טען שאין שום סיבה לחשוב שאם הגורמים זרים ומכפלתם היא חזקה $latex n$-ית, אז גם הם עצמם חזקה $latex n$-ית.

כדאי להרחיב טיפה על זה - במספרים שלמים הטענה הזו נכונה לחלוטין. אם $latex a\cdot b=x^{n}$ ואין ל-$latex a,b$ מחלקים משותפים, אז $latex a$ הוא חזקה $latex n$-ית של מספר כלשהו וכך גם $latex b^{n}$. את זה קל לראות על ידי פירוק $latex a,b$ לגורמים הראשוניים שלהם ושימוש באבחנה שאין להם גורמים ראשוניים משותפים. גם עבור מספרים מרוכבים כמו $latex x+\theta y$ אפשר לדבר על פירוק לגורמים, אבל אז לא מובטח שהפירוק יהיה יחיד. ואכן, זה היה הכשל המרכזי בהוכחה של לאמה, שהפך אותה לחסרת ערך לחלוטין.

זמן מה חלף, לאמה המשיך לדבוק בנכונות ההוכחה שלו ובשיפורים שלה וגם קושי הצטרף אליו, והנה ב-24 במאי התכנסה האקדמיה וליוביל הקריא מכתב מעמיתו קומר. קומר אמר שבמאמר שלוש שנים קודם לכן הוא כבר הצביע על כך שבמקרים שבהם לאמה עוסק אין פירוק יחיד (ומכאן שכל המשך הטענה של לאמה שגוי). בנוסף, הוא העיר שאפשר “לתקן” את בעיית הפריקות היחידה על ידי הכנסה למשחק של סוג חדש של מספרים - מספרים מרוכבים אידאליים. בנוסף, הוא העיר שהוא עוסק מזה זמן מה בשימוש בתורה החדשה שהוא המציא כדי לפתור את המשפט האחרון של פרמה וצמצם אותו לבדיקת כמה תנאים פשוטים על $latex n$. הוא גם סייג את עצמו והעיר שכנראה עבור $latex n=37$ התנאים אינם מתקיימים.

ואכן, ההוכחה של קומר הייתה אדירה. היא הוכיחה את המשפט האחרון של פרמה עבור מספר גדול של ערכי $latex n$ האפשריים; אבל, לא עבור כולם, ובוודאי שלא עבור “כולם פרט למספר סופי”, מה שהיה מאפשר לפחות בתיאוריה בדיקה ידנית (או באמצעות מחשב) של כל היתר. עם זאת, האירוניה שבכל הסיפור היא שקומר כלל לא המציא את תורתו כדי להתמודד עם המשפט האחרון של פרמה אלא עם משפט חשוב אחר בתורת המספרים - משפט ההדדיות הריבועית (המשפט הוכח בידי גאוס, וקומר ועמיתיו עסקו בהכללות מרחיקות לכת שלו).

התוצאות והרעיונות של קומר, אף שלא הוכיחו את המשפט האחרון של פרמה בשלמותו, היו אבן דרך בתולדות המתמטיקה והיסוד לתורת המספרים האלגברית - אחד מהענפים הפורים והמעניניים ביותר במתמטיקה. אלו גם הרעיונות שניצבים בלב הכללה שפותרת באופן מלא בעיה אחרת שהמקור לה הוא אצל פרמה - עבור $latex n$, להכריע אילו ראשוניים ניתנים לייצוג כ-$latex x^{2}+ny^{2}$. אני בהחלט מקווה להקדיש לנושאים הללו פוסטים בעתיד.

מה שכדאי לשים עליו דגש כאן הוא שכל מה שנעשה עד קומר, נעשה בשיטות “אלמנטריות” - בהוכחות יש תחכום, אבל אין בהן עומק, ואפשר לתאר אותן בשלמותן בכמה עמודים ספורים (אם כי הקריאה איננה מהנה במיוחד). קומר, לעומתם, פיתח תורה שלמה שנדרש זמן מה כדי להבינה ולהפנימה לפני שאפשר לראות את היישום שלה למשפט פרמה (ההבדל הוא ההבדל שבין “כמה עמודים” ובין “כמה פרקים בספר”). בקצרה, המתמטיקה שלפני קומר עוד לא הייתה בשלה דיה כדי להתמודד עם המשפט האחרון של פרמה, ורק אחרי ההתפתחות שלה שקומר הביא לה (כאמור, בגלל מטרה שונה) היא הייתה מסוגלת לתת פייט רציני למשפט פרמה. אבל עדיין, לא פייט רציני מספיק.

למעלה ממאה וארבעים שנים חלפו מאז קומר וטרם נמצאה גישה יעילה מהותית משלו כנגד המשפט האחרון של פרמה. בינתיים המתמטיקה התקדמה בצעדי ענק, ותורת המספרים בפרט התפתחה בקצב מהיר. הצטבר אוסף אדיר של מושגים ורעיונות ותוצאות שנתווספו לארסנל הכלים של כל מתמטיקאי שינסה להתמודד עם המשפט האחרון של פרמה. המתמטיקה הבשילה, ואי אפשר לתת קרדיט לאף מתמטיקאי בודד על כך; מאות ואלפי מתמטיקאים היו מעורבים בתהליך הזה, אף שקרוב לודאי שרובם לא חשבו ספיציפית על המשפט האחרון של פרמה אלא התמודדו עם בעיות שונות לגמרי. זו נקודה שאני רוצה לחדד - בדרך כלל (לא מעט בזכות ספרו של סינג) מתקבל הרושם שהוכחת משפט פרמה הייתה בעיקר פרי מוחו של מתמטיקאי בודד, אנדרו ווילס. לווילס הייתה תרומה מכרעת ביותר להוכחת המשפט ללא צל של ספק, אבל אי אפשר לתת קרדיט לאף אדם בודד על ההוכחה - חייבים לקחת בחשבון את האופן שבו המתמטיקה כולה התפתחה עד שהפכה למתאימה להתמודדות עם המשפט. בנוסף, עד לשלב שבו ווילס יכל להוכיח את המשפט היה עוד צעד לא טריוויאלי שבו היו מעורבים כמה מתמטיקאים.

בשנת 1984 התנאים המתמטיים כבר הבשילו דיים, ובראשו של מתמטיקאי בשם גרהארד פריי עלה רעיון לגבי דרך תקיפה פוטנציאלית של משפט פרמה באמצעות הכלים החזקים של המאה ה-20. להיכנס לפרטים הטכניים אני לא יכול, לפחות לא בפוסט מבוא כמו זה, ולכן בעיקר אנפנף ידיים החל מעתה.

שני המרכיבים המרכזיים ברעיון של פריי היו עקומים אליפטיים ותבניות מודולריות. עקום אליפטי הוא משוואה מהצורה $latex y^{2}=x^{3}+ax+b$, או ליתר דיוק - אוסף הפתרונות של המשוואה מעל שדה מסויים (יש כמה מקרים שבהם צריך להשתמש במשוואה יותר מסובכת, אבל זה לא חשוב כרגע). הזכרתי עקומים אליפטיים בעבר בבלוג ומסיבה טובה - אלו אובייקטים מרתקים עם מבנה מעניין מאוד, שצצים במספר בעיות שונות בתורת המספרים. פריי התאים לפתרון $latex a^{n}+b^{n}=c^{n}$ של המשפט האחרון של פרמה את העקום $latex y^{2}=x\left(x-a^{n}\right)\left(x+b^{n}\right)$. במקרה כזה (זהירות, הנה בא נפנוף ידיים) העקום הוא בעל תכונות “יפות” במיוחד - כל כך יפות, עד שאפשר לחשוד שעקום כזה לא יכול להתקיים בכלל.

אפשר לנסות ולהוכיח שהעקום היפה לא קיים בכמה דרכים, ופריי חשב שדרך מבטיחה תהיה באמצעות שימוש בתבניות מודולריות. תבנית מודולרית היא פונקציה מרוכבת שמקיימת משוואה פונקציונלית מסויימת: ספציפית, ש-$latex f\left(\frac{ax+b}{cz+d}\right)=\left(cz+d\right)^{k}f\left(z\right)$ לכל רביעיית מספרים $latex a,b,c,d$ שעבורה $latex ad-bc=1$. בנוסף הפונקציה נדרשת לקיים עוד תנאים אנליטיים מסויימים שלא אכנס אליהם כאן. כמו עם עקומים אליפטיים, כך גם בתבניות מודולריות יש תורה יפה ועשירה שאין לי סיכוי לדבר עליה כרגע. הנקודה שחשוב לי להדגיש הוא ששני התחומים הללו - עקומים אליפטיים ותבניות מודולריות - כבר היו מפותחים למדי בזמנו של פריי.

עקומים אליפטיים ותבניות מודולריות קשורים אלו באלו באמצעות מה שכונה אז השערת המודולריות (או “השערת טניאמה-שימורה”, או “השערת טניאמה-שימורה-וויל”, תלוי אם אתם רוצים לתת קרדיט ועד כמה). ההשערה, בנפנוף ידיים פרוע ביותר, אומרת שלכל עקום אליפטי מצורפת תבנית מודולרית משל עצמו, שתכונות העקום משתקפות בה. פריי חשב שאם השערת המודולריות נכונה, אז התכונות ה”יפות” של העקום שלו יגרמו לתבנית המודולרית המתאימה להיות “יפה מדי” - משהו יהיה חייב להשתבש.

לצעד הבא בהוכחה היה אחראי ז’אן-פייר סר, שחקר תבניות מודולריות והעלה השערה כללית למדי עליהן; חלק קטן מאותה השערה זכה לשם “השערת האפסילון”. השערת האפסילון הייתה ניסוח מדוייק של תכונה “יפה מדי” של התבנית המודולרית של פריי. בשנת 1986 הוכיח קן ריבט את השערת האפסילון, ובכך הראה שאם השערת המודולריות נכונה, אז המשפט האחרון של פרמה נכון. כך בתוך כשנתיים, באמצעות עבודות של שלושה מתמטיקאים, נפרץ פתח חדש ומבטיח ביותר להוכחה של המשפט האחרון של פרמה - פתח שקובע עמוק בתוך המתמטיקה של המאה ה-20. אין זה שהשערת המודולריות לא הייתה קשה לכשעצמה, אבל היא הייתה חדשה יותר והייתה תקווה גדולה יותר שניתן יהיה להתמודד איתה ברמה שתספיק לפחות להוכיח את המשפט האחרון של פרמה. וזה אכן בדיוק מה שקרה.

בשנת 1994 פרסם אנדרו ווילס הוכחה להשערת המודולריות; לא הוכחה מלאה, אלא רק עבור עקומים אליפטיים “יציבים למחצה”. לא חשוב מה זה אומר - העיקר הוא שהעקום האליפטי של פריי, בנוסף לכל שאר התכונות היפות שלו, הוא גם יציב למחצה, מה שאומר שדי בהוכחה של ווילס כדי לסיים את הוכחת המשפט האחרון של פרמה. לרוע המזל, בהוכחה של ווילס התגלתה שגיאה; למרבה המזל, באמצעות עוד עבודה מאומצת של ווילס והסטודנט שלו ריצ’רד טיילור השגיאה תוקנה, וההוכחה של ווילס - כמו גם העובדה שהמשפט האחרון של פרמה נפתר באופן סופי ומוחלט - מקובלים כיום על הקהילה המתמטית לא עוררין (והשערת המודולריות? ריצ’רד טיילור ומתמטיקאים נוספים הוכיחו אותה בשלמותה בשנות ה-2000).

אז מה בעצם הבעיה? ובכן, כפי שאמרתי, ההוכחה הזו (כל השרשרת - פריי-סר-ריבט-ווילס וטיילור) מתבססת באופן חזק מאוד על המתמטיקה המתקדמת של המאה ה-20, מה שאומר שרק כדי להסביר באופן מדויק את הרעיונות הכלליים צריך להציג הרבה מאוד מושגים ומשפטים, וזה בלי להיכנס בכלל לרעיונות החדשים שהיו בהוכחה של ווילס עצמה. נהוג לומר על ההוכחה של ווילס ש”יש רק 10 מתמטיקאים בעולם שמבינים אותה”, ולדעתי זו הגזמה גדולה למדי; אבל מה שנכון הוא שרוב המתמטיקאים המקצועיים לא יוכלו להבין את ההוכחה מבלי להקדיש זמן לא מועט ללמידת תחום חדש ומורכב. ההוכחה היא הוכחה נפלאה, והשוליים של הספר של פרמה אכן צרים מלהכיל אותה, אבל זו איננה הוכחה שכל אדם יכול לקרוא ולהבין. כפועל יוצא מכך גם היום עוד נותרו כאלו שמחפשים אחר ההוכחה האלמנטרית של פרמה - שיהיה להם בהצלחה (מה דעתו של ווילס על העניין? כשנשאל האם ייתכן שפרמה חשב על ההוכחה שלו, ווילס ענה שזה “בלתי אפשרי. זו הוכחה של המאה ה-20”). התופעה הזו, של בעיות עתיקות שנפתרות רק עם הכנסה לתמונה של מתמטיקה חדשה לגמרי, היא כמובן לא נחלתו של המשפט האחרון של פרמה בלבד (דוגמה אהובה עלי היא זו של בניות בסרגל ומחוגה - בעיה שהייתה קיימת עוד מתקופת היוונים ונפתרה רק בכלים המודרניים-יחסית-ליוונים של תורת השדות). אמרתי פעם בבלוג שככל הנראה המתמטיקה הנוכחית שלנו אינה מספיקה כדי להתמודד עם שאלת $latex \mbox{P}\ne\mbox{NP}$; בדיוק לזה התכוונתי אז.

לסיום, בקשה קטנה מסטודנטים למתמטיקה בעתיד: יש משפט פשוט בתורת המספרים שנקרא “המשפט הקטן של פרמה” (ואומר שלכל ראשוני $latex p$ ומספר טבעי $latex a$ שאינו מתחלק בו, אז $latex a^{p-1}-1$ מתחלק ב-$latex p$). את המשפט הזה קל להוכיח. אנא, סטודנטים יקרים, למדו היטב את ההוכחה למבחן שבו יש סיכוי שיבקשו אותה - לכתוב “יש לי הוכחה נפלאה למשפט הזה אבל שולי הטופס צרים מלהכילה” כבר לא מצחיק כשאתם האדם העשירי שעושה את זה!


נהניתם? התעניינתם? אם תרצו, אתם מוזמנים לתת טיפ:

Buy Me a Coffee at ko-fi.com