תורת המספרים האלגברית על קצה המזלג, חלק א' - מה זה חוג שלמים?

בפוסט הקודם על המשפט האחרון של פרמה הזכרתי קצת את התרומה של קומר; קומר הוכיח את המשפט עבור מחלקה גדולה למדי של מקרים (פורמלית, עבור ראשוניים שמקיימים תכונה מסויימת; לא ידוע אם יש אינסוף ראשוניים שמקיימים אותה אך מאמינים שיותר מחצי מהראשוניים אכן מקיימים אותה) תוך שהוא מתבסס על מושג מוזר של “מספרים אידאליים” שבא לפתור את הבעיה הבסיסית שעמדה בפני מי שניסו לפתור את המשפט האחרון של פרמה (ובראשם לאמה, עם ההוכחה שלו שנמחצה לחלוטין שתי דקות לאחר שהציג אותה) - העובדה שאין פריקות יחידה בחוגי מספרים מסויימים. בפוסט הזה והבאים אחריו אני רוצה להרחיב הרבה יותר על העניין והזה ועל הרקע, ולתת מושג כלשהו על מה מדובר כשמדברים על תורת המספרים האלגברית.

אני לא הולך לתאר (כרגע) את מה שקומר עשה אלא לתאר את הניסוח המודרני והמקובל יותר של דדקינד, ואני מזהיר מראש שאני עומד להיות שטחי להחריד - לצורך טיפול רציני בנושא צריך לתאר קודם רקע לא טריוויאלי מאלגברה קומוטטיבית. למרות הנסיון להיות רדוד אני בטוח שבחלקים לא מעטים של הפוסטים יאבדו אותי אנשים שעוד לא מכירים חוגים בצורה כלשהי - אנסה להציג את כל המושגים בפוסטים עצמו, ואכשל.

התמונה הבסיסית שצריכה להיות לכם בראש היא של שני אובייקטים: \( \mathbb{Z} \), המספרים השלמים (\( 0,1,-1,2,-2 \) וכדומה) ו-\( \mathbb{Q} \), המספרים הרציונליים (שברים מהצורה \( \frac{a}{b} \) כש-\( a,b \) שלמים ו-\( b\ne0 \)). תורת המספרים, בבסיסה, היא נסיון להבין את מה שהולך בתוך \( \mathbb{Z} \); בפרט המשפט האחרון של פרמה הוא דוגמה לשאלה שעוסקת ב-\( \mathbb{Z} \).

\( \mathbb{Q} \) הוא מה שנקרא שדה (תיארתי זאת לא מזמן). זו קבוצה שבה אפשר להשתמש בחופשיות בארבעת כללי החשבון הרגילים (פרט לחלוקה באפס), זאת להבדיל מ-\( \mathbb{Z} \) שהוא חוג ובו פעולת החילוק היא בעייתית כי כמעט כל מספר יוצר את ה”סכנה” שאם נחלק בו נקבל שבר ובכך נצא מ-\( \mathbb{Z} \) (למשל 2: אם נחלק את 4 ב-2 הכל יהיה טוב ויפה, אבל מה יקרה אם נחלק את 5 ב-2?). כדי להבין מהיכן זה מגיע כדאי לחשוב על חילוק בתור פעולה של “כפל בהופכי” - חלוקה ב-3 פירושה בעצם כפל בשליש, והבעייתיות כאן נובעת מכך שההופכי של 3 לא נמצא ב-\( \mathbb{Z} \) בעצמו. זה מלמד אותנו שבחוגים (להבדיל משדות) יש מעמד מיוחד למספרים שההופכי שלהם גם כן נמצא בחוג. מספרים כאלו נקראים “הפיכים” ובעברית Units. בשלמים יש מעט מאוד כאלו - רק \( 1 \) ו-\( -1 \), אבל בחוגים מורכבים יותר (שעליהם נדבר בהמשך) הקבוצה הזו יכולה להיות גדולה משמעותית ואי אפשר להתעלם ממנה.

העובדה שב-\( \mathbb{Z} \) אי אפשר תמיד לחלק לא אומרת שהוא מעניין פחות - ההפך, יש מספר מושגים שהם בעלי משמעות רק בהקשר של קבוצה “מוגבלת” כמו \( \mathbb{Z} \). העובדה שלא תמיד אפשר לחלק מספרים שלמים אלו באלו ולקבל מספר שלם פותחת לנו פתח דווקא להגדרה חדשה: אומרים ש-\( a|b \) (\( a \) מחלק את \( b \)) אם קיים \( c \) כך ש-\( a\cdot c=b \). ברציונליים כל מספר שאינו אפס מחלק כל מספר אחר באופן טריוויאלי למדי (בהינתן \( a \) ו-\( b \), נבחר \( c=\frac{b}{a} \)). בשלמים, לעומת זאת, חלוקה היא תכונה לא טריוויאלית. על בסיס המושג של חלוקה צץ המושג של “ראשוניות”. אתם ודאי מכיר ראשוני בתור מספר שמתחלק רק בעצמו וב-1 (ולמעשה, גם במינוס עצמו ובמינוס 1 - זכרו שאנחנו בשלמים, לא בטבעיים), מה שאפשר לתאר פורמלית בתור הטענה שאם \( p=ab \) אז \( a \) הפיך או ש-\( b \) הפיך; אבל יש הגדרה אחרת לראשוניות: \( p \) הוא ראשוני אם מכך ש-\( p|ab \) עולה ש-\( p|a \) או \( p|b \). במילים, אם \( p \) מחלק מכפלה, הוא מחלק את אחד הגורמים.

עכשיו אני אהיה טיפה טכני ואוכיח משפט בסיסי למדי. חשוב מאוד שתעקבו אחרי ההוכחה ולא תדלגו, כי כאן אנחנו נוגעים בלב לבה של המוטביציה לקיום תורת המספרים האלגברית.

מה הקשר בין שתי ההגדרות לראשוניות שהצגתי כאן? ובכן, אם \( p \) הוא ראשוני על פי ההגדרה השניה, נובע מייד שהוא ראשוני על פי ההגדרה הראשונה, כי אם \( p=ab \) אז בפרט \( p|ab \), ומההגדרה השניה עולה ש-\( p|a \) או \( p|b \). נניח ש-\( p|a \), אז \( p\cdot c=a \), אבל הנחנו ש-\( p=ab \) ולכן \( abc=a \), ועל ידי צמצום משני האגפים נקבל ש-\( bc=1 \), כלומר \( b \) הפיך. הראינו שאם מספר הוא ראשוני על פי ההגדרה השניה, הוא ראשוני גם על פי ההגדרה הראשונה.

אם \( p \) הוא ראשוני על פי ההגדרה הראשונה, אז ההוכחה לכך שהוא ראשוני על פי ההגדרה השניה מסובכת טיפה יותר. נניח ש-\( p \) הוא ראשוני על פי ההגדרה הראשונה וש-\( p|ab \). כעת נשלוף תותח כבד - המשפט היסודי של האריתמטיקה, שאומר שכל מספר שלם ניתן לכתיבה באופן יחיד בתור מכפלת ראשוניים (ראשוניים על פי ההגדרה הראשונה). ה”באופן יחיד” דורש קצת תשומת לב: את \( 15 \) ניתן לכתוב בתור \( 3\cdot5 \) אבל גם בתור \( 5\cdot3 \), וגם בתור \( 3\cdot1\cdot5 \), וגם בתור \( 3\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot5 \) וכן הלאה. אז כדי למנוע את האנומליות הללו דורשים שני דברים: ראשית, שאיברים הפיכים כמו 1 ומינוס 1 לא ייחשבו ראשוניים - פשוט כי הם נדחפים למסיבה של הילדים הגדולים ומקלקלים, עם זה שאפשר לכפול בהם עוד ועוד; ושנית, שהפירוק לראשוניים יהיה יחיד עד כדי סדר האיברים בפירוק. כלומר, \( 3\cdot5 \) ו-\( 5\cdot3 \) זה אותו דבר כי בפירוק ישנם אותם מספרים, פשוט בסדר שונה (למעשה, העניין מסובך טיפה יותר - יכולים להיות פירוקים עם גורמים ראשוניים שונים, אבל שזהים עד כדי כפל בהפיך - למשל, “מינוס 3 כפול מינוס 5” הוא פירוק שאנו רואים כזהה ל”3 כפול 5”).

בעזרת התותח הזה המשך ההוכחה הוא מיידי: ל-\( a \) יש פירוק יחיד לראשוניים, \( a=p_{1}p_{2}\dots p_{k} \), וגם ל-\( b \) יש פירוק יחיד לראשוניים, \( b=q_{1}q_{2}\dots q_{t} \), ולכן הפירוק היחיד לראשוניים של \( ab \) הוא \( ab=p_{1}\dots p_{k}q_{1}\dots q_{t} \). כעת, \( p|ab \) ולכן \( p\cdot c=ab \); ובגלל שהפירוק לראשוניים של \( ab \) הוא יחיד אז \( p \) הוא אחד מאותם ראשוניים \( p_{1},\dots,p_{k},q_{1},\dots,q_{t} \), ולכן הוא מחלק את \( a \) או את \( b \) וסיימנו.

למספר שמקיים את התכונה הראשונה, לפיה אם הוא מכפלה של מספרים אחד מהמספרים במכפלה הפיך, קוראים אי פריק. למספר שמקיים את התכונה השניה, לפיה אם הוא מחלק מכפלה הוא מחלק את אחד הגורמים בה, קוראים ראשוני. מה שהוכחתי למעלה הוא שמספר שלם הוא ראשוני אם ורק אם הוא אי פריק, מה שמתאים עם האופן שבו אנחנו חושבים על ראשוניים ביום יום (על פי ההגדרה ה”יבשה” הם אי פריקים), ובאופן כללי ראשוני הוא תמיד אי פריק, אבל אי פריק הוא לא בהכרח ראשוני; אנחנו חייבים פריקות יחידה לשם כך. תורת המספרים האלגברית מתעסקת בקבוצות מספרים שהן “דומות למספרים השלמים” במובן זה שאפשר להגדיר בהם חלוקה, ואי פריקות, וראשוניות - אבל הם לא בהכרח מקיימים פריקות יחידה. ותכף אציג דוגמאות ואסביר למה מדברים על מספרים שכאלו בכלל.

ראשית אני רוצה לתת עוד תחושה לגבי הקריטיות של פריקות יחידה בהוכחה שלעיל. אתם עשוים לשאול את עצמכם (ואפילו רצוי שתעשו את זה, כמו שתמיד כדאי לעשות כשקוראים הוכחה מתמטית) איך עניין הפריקות היחידה נכנס לתמונה והאם הוא הכרחי. מכיוון שבשלמים יש פריקות יחידה ואני עוד לא רוצה להיכנס לדוגמאות מחוכמות יותר מהשלמים, אני “ארמה” טיפה: התבוננו במספר \( 60 \). מצד אחד, \( 60=5\cdot12 \), ומצד שני \( 60=3\cdot20 \). יש ל-\( 60 \) לפחות שני פירוקים שונים מהותית - אין שם כפל בהפיכים, וברור ששינוי סדר המוכפלים לא יהפוך את שני הפירוקים הללו לזהים. אז מה השתבש כאן? הפירוק איננו לאי פריקים - \( 20 \) הוא פריק, וגם \( 12 \) הוא פריק. אם נפרק אותם “עד הסוף” נגלה ש-\( 60=3\cdot5\cdot2\cdot2 \) - אותו \( 2\cdot2 \) הסתתר בשני הפירוקים, אבל במקומות אחרים - פעם בתוך ה-\( 20 \) ופעם בתוך ה-\( 12 \).

כעת שימו לב מה קורה אם אני מנסה להוכיח את הטענה השגויה “אם \( 6 \) מחלק את \( a\cdot b \) אז הוא מחלק את \( a \) או את \( b \)”. כדוגמה נגדית אני אתן את \( a=3,b=20 \). המכפלה שלהם היא \( 60 \) שאותו 6 מחלק ללא ספק, אבל 6 בוודאי לא מחלק את 3 או את 20. איפה ההוכחה שהצגתי למעלה “נשברת”? בדיוק בפריקות היחידה. אני טוען שם ש-\( 6\cdot10=60=3\cdot20 \), ואנחנו רואים שלמרות ש-\( 6 \) מופיע כגורם של 60 באגף שמאל, הוא לא מופיע בשום צורה באגף ימין; אפשר לפרק את 60 בדרך ש”תעקוף” את 6. בשלמים כל הדבר הזה נראה קצת לא טבעי כי אנחנו יודעים ש-6 לא אי פריק בעצמו, ולכן עוד מעט אציג דוגמה טובה יותר.

עכשיו בואו ונעבור לדבר לרגע על התמונה הגדולה. “שדה המשחק” שלנו עד היה היה שדה המספרים הרציונליים \( \mathbb{Q} \), ובתוכו היה את \( \mathbb{Z} \). \( \mathbb{Z} \) נקרא חוג השלמים של \( \mathbb{Q} \), ואילו \( \mathbb{Q} \) בתורו נקרא שדה השברים של \( \mathbb{Z} \). כל אחד מהם יכול להתקבל מחברו על ידי תהליך שאתאר בקרוב. לעת עתה, הבה ונכניס אובייקט חדש למשחק - \( \mathbb{C} \), שדה המספרים המרוכבים, האבא הגדול של \( \mathbb{Q} \) שמכיל אותו וגם מכיל הרבה יצורים שאינם ב-\( \mathbb{Q} \), לדוגמה \( \sqrt{2} \) או \( i \). כבר תיארתי בעבר בבלוג את התהליך שבו לוקחים את \( \mathbb{Q} \) (אפשר גם שדות אחרים אבל לא נזדקק לכך), מוסיפים לו איבר של \( \mathbb{C} \) ו”סוגרים” אותו ביחס לפעולות החשבון. למשל, \( \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) \) היא הקבוצה \( \left\{ a+b\sqrt{2}|a,b\in\mathbb{Q}\right\} \) ולא קשה לראות שזה השדה הקטן ביותר שמכיל גם את \( \mathbb{Q} \) וגם את \( \sqrt{2} \).

להוסיף את \( \sqrt{2} \) ל-\( \mathbb{Q} \) זה קל יחסית, כי \( \left(\sqrt{2}\right)^{2}=2\in\mathbb{Q} \). מה קורה כשמנסים להוסיף יצור מורכב יותר, כמו \( \pi \)? במקרה הזה מתברר ש-\( \mathbb{Q}\left(\pi\right) \) הוא יצור מורכב יותר: \( \mathbb{Q}\left(\pi\right)=\left\{ \sum_{i=0}^{n}a_{i}\pi^{i}|n\in\mathbb{N},a_{i}\in\mathbb{Q}\right\} \). כלומר, איברים של \( \mathbb{Q}\left(\pi\right) \) הם סכומים של חזקות כלשהן של \( \pi \), שיכולות להיות גדולות ככל שרק נרצה. יש כאן הבדל מהותי ביחס ל-\( \sqrt{2} \) והוא בא לידי פורמלי באבחנה ש-\( \sqrt{2} \) הוא פתרון של משוואה פולינומית עם מקדמים רציונליים (המשוואה \( x^{2}-2=0 \)) ואילו \( \pi \) איננו (יש לכך הוכחה, שאיננה קלה). מספר שהוא פתרון של משוואה פולינומית במקדמים רציונליים נקרא אלגברי, ומספר שאיננו פתרון של משוואה כזו נקרא טרנסנדנטי. מרגע זה ואילך אנחנו שוכחים מקיום מספרים טרנסנדנטיים - לא נתעסק איתם יותר בכלל.

אם \( \mathbb{Q}\subseteq F \) ו-\( F \) מכיל רק מספרים אלגבריים, \( F \) נקרא הרחבה אלגברית של \( \mathbb{Q} \). אם בנוסף \( F \) אינו “גדול מדי” (פורמלית - הרחבה סופית; המימד של \( F \) כמימד וקטורי מעל \( \mathbb{Q} \) הוא סופי), אז \( F \) נקרא “שדה מספרים אלגברי”, או בקצרה - “שדה מספרים”. בדוגמאות שאני אתן \( F \) יהיה פשוט ולא יהיה לנו צורך להטריד את עצמנו בתכונת ה”גדול מדי”. דוגמה אחת כבר ראינו - \( \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) \). דוגמה אחרת היא \( \mathbb{Q}\left(i\right) \) (\( i \) הוא אלגברי שכן הוא פתרון המשוואה \( x^{2}+1=0 \)), ועוד דוגמה היא \( \mathbb{Q}\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right) \) (שבו כל האיברים הם מהצורה \( a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6} \) - שימו לב כיצד ה-\( \sqrt{6} \) הזה צץ פתאום).

עכשיו משהגדרנו שדות מספרים, שהם “כמו \( \mathbb{Q} \) רק קצת יותר מתוחכם”, אנחנו תוהים איך להגדיר את חוגי השלמים שלהם, שהם “כמו \( \mathbb{Z} \) רק יותר מתוחכם”. בואו נתחיל שוב מדוגמה שגם תצביע על המוטיבציה לכל המהומה הזו - המשפט של פרמה על סכום ריבועים. פרמה טען שראשוני \( p \) מקיים \( p=a^{2}+b^{2} \), כאשר \( a,b \) שלמים “רגילים” (איברים של \( \mathbb{Z} \)) אם ורק אם \( p\equiv1\left(\mbox{mod 4}\right) \) (אם מחלקים את \( p \) ב-4 מקבלים שארית 1). אחת הדרכים הסטנדרטיות להוכחת המשפט הזה היא האבחנה שאפשר לפרק את \( a^{2}+b^{2} \) לגורמים ובכך להיפטר מהצורך לדבר על ריבועים. איך מפרקים דבר כזה לגורמים? ובכן, אנחנו מכירים את נוסחאות הכפל המקוצר ובפרט את \( \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2} \), אבל כאן המצב שונה כי יש לנו פלוס במקום מינוס. אל חשש! עם קצת יותר אלימות, אפשר בכל זאת לפרק את מה שנראה בלתי ניתן לפירוק: \( a^{2}+b^{2}=\left(a+bi\right)\left(a-bi\right) \). הצלחנו לפרק את הביטוי במחיר זה שיצאנו מתחומי \( \mathbb{Z} \) והרשינו גם ל-\( i \) להצטרף למשחק.

אני חייב להודות שדרך ההצגה שלי היא קצת שקרית כי האופן שבו מוכיחים את המשפט של פרמה הוא קצת שונה (אציג אותו בפוסט נפרד - למעשה, כבר הוכחתי את המשפט בפוסט קודם אבל אז זה היה בשיטה אחרת, “קלאסית” יותר, שבה אוילר השתמש) אבל העקרון זהה - אנחנו “נדחפים” להשתמש ב-\( i \), ואז אנחנו מתחילים לשאול את עצמנו שאלות בסגנון - האם \( p \) הוא ראשוני או פריק אם אנחנו משתפים במשחק מספרים כמו \( a+bi \)? מי מחלק את מי? איך? לשם כך אנחנו רוצים להבין את הקבוצה של כל המספרים מהצורה \( a+bi \) כאשר \( a,b \) הם ב-\( \mathbb{Z} \). הקבוצה הזו מכונה “השלמים הגאוסיים” (על שם גאוס שהשתמש בהם לראשונה בהכללה שלו למשפט ההדדיות הריבועית) והיא מסומנת כ-\( \mathbb{Z}\left[i\right] \) (דומה ל-\( \mathbb{Q}\left(i\right) \), אבל יש משמעות לכך שהסוגריים מרובעים ולא עגולים - זה אומר שאנחנו לא דורשים סגירות ביחס לחילוק, אלא רק לכפל, חיבור וחיסור).

אקפוץ קצת קדימה ואספיילר לכם: ראשית, מתברר ש-\( \mathbb{Z}\left[i\right] \) היא קבוצה מאוד נחמדה: יש בה פריקות יחידה (למעשה, יש בה יותר מכך - יש מושג של חילוק עם שארית, שבין היתר גורר שבהכרח יש פריקות יחידה) ולכן מספר הוא ראשוני אם ורק אם הוא אי פריק. כמו כן מתברר שבקבוצה \( \mathbb{Z}\left[i\right] \) ישנם ארבעה איברים הפיכים - \( 1,-1,i,-i \). בנוסף, יש בה שלושה סוגים שונים של מספרים ראשוניים; ראשית, כל מספר ראשוני שלם אי זוגי המקיים \( p\equiv3\left(\mbox{mod 4}\right) \) הוא ראשוני גם ב-\( \mathbb{Z}\left[i\right] \); שנית, כל ראשוני שלם אי זוגי המקיים \( p\equiv1\left(\mbox{mod 4}\right) \) איננו ראשוני ב-\( \mathbb{Z}\left[i\right] \); אבל אפשר להראות ש-\( p=\pi\cdot\overline{\pi} \) כאשר \( \pi=a+bi \) הוא איבר של \( \mathbb{Z}\left[i\right] \) ו-\( \overline{\pi} \) הוא מה שנקרא הצמוד המרוכב שלו - \( a-bi \) (ההבדל היחיד הוא מינוס על המקדם של \( i \)) וגם הוא איבר של \( \mathbb{Z}\left[i\right] \) ושניהם כן ראשוניים; ושלישית \( 1+i \) הוא ראשוני. כמו כן, כפל של כל אחד מהראשוניים שתיארתי כאן במספר הפיך נותן ראשוני (הדבר דומה לאופן שבו בשלמים גם מינוס של מספר ראשוני הוא ראשוני) ואין יותר ראשוניים ב-\( \mathbb{Z}\left[i\right] \).

שימו לב למשל לכך ש-\( 2=\left(1+i\right)\left(1-i\right) \) ושני המספרים הללו אינם הפיכים ולכן 2 אינו אי פריק ולכן גם אינו ראשוני ב-\( \mathbb{Z}\left[i\right] \) (בפרט, הוא מחלק את \( \left(1+i\right)\left(1-i\right) \) אבל איננו מחלק אף אחד משני הגורמים הללו). אותו דבר קורה למשל ל-\( 5=\left(1+2i\right)\left(1-2i\right) \). חשוב להבין שזה לא אומר שכללי המשחק נשברו - עדיין אפשר להמשיך לדבר על ראשוניים ואי פריקים ולעשות חישובים כמו קודם; פשוט צריך להבין קודם מי הראשוניים ה”חדשים” שלנו. המשחק השתדרג, לא נשבר.

כל עוד אנחנו בשוונג של דוגמאות בואו נעבור לדבר על חוגים קצת יותר מופרעים, כי חשוב לי להעביר כמה שיותר טוב את התחושה שאנחנו נכנסים פה לעולם חדש מופלא. משוואת פל היא משוואה מהצורה \( x^{2}-dy^{2}=1 \), כאשר \( x,y \) משתנים שאמורים לקבל מספרים טבעיים ו-\( d \) הוא מספר שלם קבוע שמאפיין את המשוואה (לרוב מניחים שהוא לא מתחלק על ידי ריבוע). למשל, \( x^{2}-2y^{2}=1 \) היא משוואת פל עבור \( d=2 \). ברור ש-\( x=1,y=0 \) הוא פתרון אבל זה לא פתרון מעניין. כמו כן לא קשה מדי לראות ש-\( x=3,y=2 \) הוא פתרון של המשוואה. האם יש פתרונות נוספים?

בואו שוב נהיה אלימים ונקרע לגזרים את אגף שמאל של המשוואה: \( x^{2}-2y^{2}=\left(x+\sqrt{2}y\right)\left(x-\sqrt{2}y\right) \). מה שעשינו פה הוא לעבור לדבר על החוג \( \mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right] \). יותר מכך - העובדה ש-\( x=3,y=2 \) היא פתרון ניתן לניסוח בתור האבחנה ש-\( \left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)=1 \), ובעצם אנחנו רואים כאן ש-\( \left(3+2\sqrt{2}\right) \) הוא הפיך. פתאום יש לנו איבר שנראה לא טריוויאלי כלל בתור הפיך בחוג, אחרי שבשלמים ההפיכים היו רק \( 1,-1 \) וב-\( \mathbb{Z}\left[i\right] \) המצב לא היה שונה בהרבה והיה לנו את \( 1,-1,i,-i \).

אבל עוד לא גמרנו: אם \( k \) הוא מספר טבעי כלשהו, אז אחרי שנעלה את שני אגפי המשוואה ב-\( k \) נקבל \( \left(3+2\sqrt{2}\right)^{k}\left(3-2\sqrt{2}\right)^{k}=1 \). מכאן ש-\( \left(3+2\sqrt{2}\right)^{k} \) הוא הפיך לכל \( k \); עם עוד תעלול נוסף (שמשתמשים בו גם עבור המשפט של פרמה ואני מעדיף לא לתאר כרגע אבל אגלה שמדובר על לקיחת הנורמה של האיבר) רואים שכל חזקה כזו מניבה פתרון למשוואת פל המקורית. למשל, עבור \( k=2 \) נקבל \( \left(3+2\sqrt{2}\right)^{2}=9+2\cdot3\cdot2\sqrt{2}+4\cdot2=17+12\sqrt{2} \) ואכן \( x=17,y=12 \) הוא פתרון של המשוואה.

בניסוח אחר, כל איבר הפיך ב-\( \mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right] \) הוא פתרון של משוואת פל, ולכן פתרון משוואת פל (בעיה קלאסית בתורת המספרים האלמנטרית) הוא בעצם פתרון של הבעיה “מצא מהם ההפיכים בחוג \( \mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right] \)” (בעיה בתורת המספרים האלגברית). התעלול עם ההעלאה בחזקה הוא לא תעלול מקרי - הוא מקרה פרטי של משפט בתורת המספרים האלגברית - “משפט היחידה של דיריכלה”, שכאשר הוא מופעל לחוגים הרלוונטיים למשוואת פל (חוגים מהצורה \( \mathbb{Z}\left[\sqrt{d}\right] \)) מצביע על כך שכל ההפיכים הלא טריוויאליים בחוג הם חזקה של הפיך “בסיסי” אחד (במקרה שלנו, \( 3+2\sqrt{2} \)) ובכך בעצם נותן תיאור שלם לכל הפתרונות של משוואת פל.

ועכשיו בואו נראה סוף סוף דוגמה לחוג בלי פריקות יחידה. החוג יהיה \( \mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right] \) (זו דרך אחרת לרשום \( \mathbb{Z}\left[i\sqrt{5}\right] \)), ולמספר 6 יש בו שני פירוקים שונים לאי פריקים: \( 6=2\cdot3=\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right) \). ברשותכם, לא אוכיח כרגע שהמספרים בפירוק הם אי פריקים. התוצאה הזו מפתיעה במיוחד בהתחשב בכך שכל החוגים \( \mathbb{Z}\left[\sqrt{-1}\right],\mathbb{Z}\left[\sqrt{-2}\right],\mathbb{Z}\left[\sqrt{-3}\right],\mathbb{Z}\left[\sqrt{-7}\right],\mathbb{Z}\left[\sqrt{-11}\right] \) הם כן בעלי פריקות יחידה ואפילו התכונה החזקה יותר של חלוקה עם שארית. זה אמור לתת מושג כלשהו על עומק הג’ונגל שנכנסים כאן אליו - החוגים שאנחנו מקבלים לא בהכרח מתנהגים בצורה שנראית לנו הגיונית ממבט ראשון.

לסיום אני רוצה לחזור ולדבר על אופי הקשר בין \( \mathbb{Q} \) ו-\( \mathbb{Z} \). אמרתי ש-\( \mathbb{Q} \) הוא שדה שברים של \( \mathbb{Z} \); זו בניה סטנדרטית בתורת החוגים שבה מחוג \( R \) כלשהו בונים שדה \( K=\left\{ \frac{a}{b}|a,b\in R,b\ne0\right\} \) עם כללי החשבון ה”צפויים” (כלומר \( \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} \)) ועוד טוויסט טכני לא קריטי כרגע (יחס שקילות שבו \( \frac{a}{b}\sim\frac{c}{d} \) אם \( ad=bc \)). הכיוון ההפוך קצת יותר מעניין - איך אנחנו מסיקים את \( \mathbb{Z} \) מ-\( \mathbb{Q} \)? התשובה ההגיונית היא ש-\( \mathbb{Z} \) יהיה אוסף כל האיברים ב-\( \mathbb{Q} \) מהצורה \( \frac{a}{1} \), וזה טוב ויפה אבל כשמתחילים להכליל זה עושה בעיות. מבלי להיכנס עכשיו לפרטים, אציג פשוט את ההגדרה ה”נכונה” שמבצעת את ההכללה בצורה טובה. זכרו שאמרנו קודם שמספר אלגברי הוא מספר שהוא פתרון של משוואה מהצורה \( a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}=0 \). כל המקדמים הם רציונליים ולכן אפשר לחלק ב-\( a_{n} \) (אנו מניחים שהמקדם המוביל הוא לא אפס, אחרת למה בכלל טרחנו לכתוב את האיבר הזה?) ומקבלים שכל מספר אלגברי הוא פתרון של המשוואה \( x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_{1}x+b_{0}=0 \), או במילים אחרות - המספר הוא שורש של פולינום מתוקן (פולינום מתוקן הוא פולינום שבו המקדם המוביל הוא 1) במקדמים רציונליים. אם בנוסף לכך המקדמים הם שלמים ממש ולא סתם רציונליים, קוראים למספר שלם אלגברי. כך למשל \( \frac{1}{2} \) הוא כמובן אלגברי, כי הוא שורש של \( 2x-1 \) אבל הוא אינו שלם אלגברי; המקדם המוביל במשוואה שנתתי הוא 2 ואם תנסו קצת בעצמכם תגלו שהמקדם המוביל חייב להיות שונה מ-1 אם אנחנו רוצים שכל המקדמים במשוואה יהיו שלמים (בפרט, “לעשות מכונה משותף” לפולינום עם מקדמים רציונליים כדי שכל המקדמים יהיו שלמים לא תמיד יעבוד כי אז המקדם המוביל לא יהיה 1).

לעומת זאת, \( \sqrt{2} \) הוא כן שלם אלגברי כי הוא שורש של \( x^{2}-2 \). ויחס הזהב המפורסם \( \phi \) הוא שלם אלגברי כי הוא שורש של \( x^{2}-x-1 \); וגם \( \frac{5+\sqrt{5}}{2} \) הוא שלם אלגברי כי הוא שורש של \( x^{2}-5x+5 \). אני מקווה שזה גורם לכם להרים גבה - \( \frac{5+\sqrt{5}}{2} \) נראה כמו שבר לכל דבר, ועם זאת מבחינת התכונה המהותית של תורת המספרים האלגברית הוא אכן נחשב שלם אלגברי לכל דבר, מה שאומר שהחוג \( \mathbb{Z}\left[\sqrt{5}\right] \) (שמופיע, למשל, בחקר משוואת פל) צריך לכלול גם אותו (אני מקווה בעתיד להראות מה לא עובד אם לא כוללים אותו).

עכשיו אפשר לגשת סוף סוף להגדרה שהיא “הגביע הקדוש” של הפוסט הזה. אם \( K \) הוא שדה מספרים (הרחבה אלגברית סופית של \( \mathbb{Q} \)), אז אוסף השלמים האלגבריים ב-\( K \), שמסומן ב-\( \mathcal{O}_{K} \), נקרא חוג השלמים של \( K \). כך למשל \( \mathbb{Z}\left[i\right] \) הוא חוג השלמים של \( \mathbb{Q}\left(i\right) \) תורת המספרים האלגברית עוסקת בשאלה מה לכל הרוחות הולך באותם חוגי שלמים \( \mathcal{O}_{K} \) (לרוב תוך שימוש באלגברה שהיא קצת יותר כללית מאשר רק חוגי שלמים של שדות מספרים; אבל לחוגי השלמים הללו יש כמה תכונות חשובות שמבדילות אותם מחוגים דומים אחרים). בגלל שיש המוני שדות מספרים \( K \), יש גם המוני חוגי שלמים \( \mathcal{O}_{K} \) ויש המון מה לומר עליהם; בפוסט הבא אני רוצה להציג את האופן שבו מתמודדים עם העובדה שבחוגי שלמים רבים אין פריקות יחידה.