אז מה זה מרחב וקטורי?

בשעה טובה ומוצלחת הגענו לפוסט שיתאר במדויק את האובייקט המרכזי של האלגברה הלינארית - מרחב וקטורי. אפשר פשוט לתת את ההגדרה שהיא בעיקר רשימת מכולת של כל מני תכונות אלגבריות, אבל אני מעדיף להתחיל מלהיזכר מה ראינו עד כה.

בפוסט הקודם התעסקתי באוספי פתרונות של מערכות משוואות הומוגניות. מערכת משוואות שכזו הייתה מהצורה \( Ax=0 \) כאשר \( A \) מטריצה כלשהי והערכים שאנחנו מציבים במקום \( x \) הם וקטורים: כל וקטור היה סדרה של מספרים (או, אם תרצו, מטריצה בעלת עמודה אחת). בפוסט הקודם שמנו לב לכך שסכום של שני פתרונות של אותה המשוואה גם הוא פתרון של אותה המשוואה, ושכפל של פתרון בסקלר (כלומר, במספר) נותן גם הוא פתרון של המשוואה. כלומר, אוסף הפתרונות היה סגור לחיבור וכפל בסקלר. אמרתי כבר אז שאלו התכונות המהותיות שמגדירות מרחב וקטורי: מרחב וקטורי מכיל איברים, “וקטורים”, שניתן לחבר, וניתן לכפול בסקלר.

הבה ונראה עוד דוגמה: מטריצות. גם שתי מטריצות מאותם ממדים אנחנו יודעים לחבר (כל כניסה במטריצה שמתקבלת מהחיבור היא סכום האיברים בכניסות המתאימות במטריצות שמחברים) ואנחנו יודעים לכפול בסקלר (פשוט כופלים את כל הכניסות במטריצה באותו סקלר). זה הופך את המטריצות מסדר \( n\times m \) למרחב וקטורי (לכל \( n,m \)), ומאפשר לנו להצביע כבר עכשיו על בלבול טרמינולוגי שעשוי להיווצר: מצד אחד, אמרתי שוקטור הוא פשוט מטריצה חד ממדית; מצד שני, הנה ראינו שכל מטריצה היא איבר של מרחב וקטורי מתאים. כדי למנוע את הבלבול הזה נזכור שלמטריצות חד-ממדיות קראתי “וקטור עמודה” ו”וקטור שורה” ואת המילה “וקטור” נייחד לדיבור על איבר של מרחב וקטורי כלשהו, כשברור על איזה מרחב וקטורי מדובר.

עבור מטריצות גם ראינו פעולת כפל בין זוגות של מטריצות - משהו שונה מהותית מכפל בסקלר. מרחבים וקטוריים לא מתעניינים בשאלה אם יש או אין כפל בין הוקטורים עצמם, אבל במתמטיקה עוסקים רבות גם במרחבים וקטוריים שבהם אכן קיימת פעולת כפל כזו. מרחב וקטורי שיש כפל בין איבריו נקרא אלגברה, אך בשלב הזה אין טעם לדבר עליו. כמו כן, יש סוג אחר של פעולת כפל בין וקטורים - “מכפלה פנימית” - שמחזיר סקלר ולא וקטור; זה מושג חשוב מאוד באלגברה לינארית אך גם עליו לא נדבר עדיין. בינתיים אנחנו חושבים רק על פעולות החיבור והכפל בסקלר.

לפני שנתקדם עוד, אני רוצה לדבר קצת יותר על מהו סקלר, בעצם. עד כה השתמשתי בהגדרה המעורפלת של “סקלר הוא מספר” ותמיד חשבנו על הסקלרים שלנו בתור מספרים ממשיים. המספרים הממשיים הם קבוצה “נחמדה” במובן זה שהיא סגורה ביחס לארבע פעולות החשבון הבסיסיות - חיבור, חיסור, כפל וחילוק (רק חילוק ב-0 הוא פעולה בלתי אפשרית; כל יתר הפעולות הן חוקיות). בנוסף, בממשיים יש את המספר 0 שהוא נחמד במובן זה שהוא נייטרלי לחיבור (\( 0+x=x \) לכל איקס) ואת 1 שהוא נחמד במובן זה שהוא נייטרלי לכפל (\( 1\times x=x \) לכל \( x \)). לבסוף, החיבור והכפל מקיימים את חוקי החילוף, הקיבוץ והפילוג. כל התכונות הללו הופכות את הממשיים לקבוצה שמאוד נחמד לעשות בה חשבון, ולקבוצות כאלו יש שם מיוחד: שדה. כתבתי על שדות פוסט לא מזמן, אבל בואו נזכיר את ההגדרה לכל מקרה: שדה \( \mathbb{F} \) הוא קבוצה שקיימים בה איברים שמסומנים ב-\( 0,1 \) ומוגדרות עליה פעולות חיבור וכפל כך שמתקיים:

1. חוק החילוף: \( a+b=b+a \) ו-\( ab=ba \).
2. חוק הקיבוץ: \( \left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right) \) ו-\( \left(ab\right)c=a\left(bc\right) \).
3. חוק הפילוג: \( a\left(b+c\right)=ab+ac \).
4. נייטרליות ביחס לחיבור וכפל של 0 ו-1: \( x+0=x \) ו-\( x\cdot1=x \) לכל \( x\in\mathbb{F} \).
5. קיום נגדי חיבורי: אם \( x\in\mathbb{F} \) אז קיים ב-\( \mathbb{F} \) איבר שמסומן כ-\( -x \) כך ש-\( x+\left(-x\right)=0 \).
6. קיום הופכי כפלי: אם \( x\in\mathbb{F} \) ו-\( x\ne0 \) אז קיים איבר שמסומן כ-\( x^{-1} \) כך ש-\( xx^{-1}=1 \).

שתי הדרישות האחרונות מאפשרות לנו להגדיר חיסור וחילוק בעזרת חיבור וכפל: לחסר ממישהו מספר זה בעצם לחבר לו את הנגדי של אותו המספר, ולחלק אותו במספר זה בעצם לכפול אותו בהופכי של אותו המספר.

יפה, אז זו ההגדרה לשדה. \( \mathbb{R} \) הוא שדה, וגם \( \mathbb{C} \) (המרוכבים) הוא שדה, וגם \( \mathbb{Q} \) (הרציונליים) הוא שדה ויש עוד ועוד. את רוב מה שנעשה בעתיד הקרוב אפשר לתאר מעל כל שדה ולכן נשתמש ב-\( \mathbb{F} \) כדי לתאר שדה כלשהו.

כעת, כשנעסוק במרחב וקטורי תמיד יהיה שדה כלשהו ברקע, וכשנגיד “סקלר” נתכוון תמיד לאיבר של אותו השדה.

עכשיו, כדי לא למתוח אתכם יותר, בואו נביא את ההגדרה הפורמלית למרחב וקטורי ואז נדבר קצת. קבוצה \( V \) היא מרחב וקטורי מעל השדה \( \mathbb{F} \) אם קיימת פעולת חיבור בין איברי \( V \) ופעולת “כפל בסקלר” בין איבר של \( \mathbb{F} \) ואיבר של \( V \) (נהוג לכתוב את האיבר של \( \mathbb{F} \) מצד שמאל ואת האיבר של \( V \) מימין) שמחזירה איבר של \( V \) כך שפעולת החיבור של \( V \) מקיימת את חוקי החילוף והקיבוץ, יש ב-\( V \) איבר נייטרלי לחיבור 0 ולכל איבר קיים איבר נגדי חיבורי - את כל אלו אנחנו כבר מכירים מההגדרה של שדה, אבל ב-\( V \) אין כפל של איברים ולכן הוא אינו שדה.

גם פעולת הכפל בסקלר צריכה “להתנהג יפה”, וזה בא לידי ביטוי בכך שהיא מקיימת גרסה מתאימה של חוק הקיבוץ וחוק הפילוג. אני אסמן ב-\( \lambda,\tau \) איברים של \( \mathbb{F} \) (סקלרים) וב-\( v,u \) איברים של \( V \) (וקטורים), ועכשיו אפשר לכתוב פורמלית את הדרישות הללו. חוק הקיבוץ נראה כך:

\( \left(a\times b\right)\cdot v=a\cdot\left(b\cdot v\right) \)

כאן אני מסמן בנקודה את פעולת הכפל בסקלר, וב-\( \times \) את פעולת הכפל של השדה \( \mathbb{F} \). כך קצת יותר ברור למה דרישת האסוציאטיביות איננה טריוויאלית; אני בעצם דורש שפעולת הכפל בסקלר תכבד במובן חזק למדי את פעולת הכפל בתוך השדה \( \mathbb{F} \). זה מקשה עלינו מאוד להמציא מרחבים וקטוריים מטורללים עם פעולות כפל בסקלר מוזרות (ולכן אחראי במידה רבה לכך שהאלגברה הלינארית היא “פשוטה” שכזו).

מכיוון שיש לנו חיבור הן ב-\( \mathbb{F} \) והן ב-\( V \) ואלו שתי פעולות שונות, יש לנו גם שני חוקי פילוג:

\( \left(a+b\right)v=av+bv \)

\( a\left(v+u\right)=av+au \)

לבסוף, צריך לדרוש במפורש שתתקיים התכונה הטבעית למדי לפיה אם כופלים את איבר היחידה של \( \mathbb{F} \) בוקטור כלשהו הוא אינו משתנה: \( 1\cdot v=v \).

זו כל ההגדרה. אל תחשבו עליה בתור “מישהו ישב והמציא רשימת תכונות מוזרה ועכשיו הוא משחק איתן ורואה מה יוצא”. מה שקורה פה הוא שזיהינו את התכונות המהותיות שהופיעו באוסף הפתרונות של משוואות הומוגניות, ובמטריצות, ובדוגמאות שעוד רגע אביא, ועכשיו אנחנו מנסים להבין עד כמה התכונות הספציפיות הללו אחראיות למבנה ה”יפה” של המבנים המתמטיים הללו. כל דבר שנוכיח עבור מרחב וקטורי כללי יהיה נכון אוטומטית גם עבור כל הדוגמאות שנצליח לחשוב עליהן - וזה בדיוק מקור הכוח של הגישה האבסטרקטית שאנחנו נוקטים בה כאן.

בואו נעבור לדוגמה אחרת למרחב וקטורי שגם אותה הזכרתי כבר - המישור האוקלידי. במישור הזה כל נקודה היא וקטור, שמתואר על ידי זוג מספרים ממשיים בסוגריים: \( \left(3,2\right) \) הוא וקטור שמתאים לנקודה שקואורדינטת ה-\( x \) שלה היא 3 וקואורדינטת ה-\( y \) שלה היא 2. לרוב כשמדברים על נקודה כזו בתור “וקטור” נהוג לצייר חץ מראשית הצירים אליה ולחשוב על החץ הזה בתור הוקטור. יש לגישה הזו יתרון בכך שלפעמים נוח לחשוב על הוקטור לא במונחים של קואורדינטות \( x \) ו-\( y \) אלא של גודל (אורך החץ) וכיוון (הזווית של החץ עם ציר \( x \)) אבל לא נזדקק לגישה הזו.

חיבור וקטורים מתבצע על ידי כך שלוקחים את אחד החצים ומדביקים אותו כך שהזנב שלו נמצא על הראש של השני. כעת מציירים חץ חדש מראשית הצירים אל הנקודה שאליה הראש של החץ הראשון הגיע. מבחינה גאומטרית זה נראה מתוסבך, אבל מבחינה מעשית זה פשוט לחבר את הקואורדינטות של שני הוקטורים: \( \left(3,2\right)+\left(1,1\right)=\left(4,3\right) \).

כפל בסקלר של וקטור מתבצע על ידי כפל בסקלר של הקואורדינטות, כלומר \( \frac{1}{2}\left(3,2\right)=\left(\frac{3}{2},1\right) \). המשמעות הגאומטרית של פעולה כזו היא “מתיחה” או “כיווץ” של הוקטור - שינוי הגודל שלו תוך שמירה על הזווית. עם שתי הפעולות הללו, המישור האוקלידי הוא מרחב וקטורי מעל \( \mathbb{R} \).

באופן דומה גם המרחב האוקלידי הוא מרחב וקטורי, רק שהפעם כל וקטור הוא שלשה של קואורדינטות, אבל חוקי החיבור והכפל בסקלר זהים. מכאן מייד עולה השאלה - אם עשינו את זה עבור 2 ו-3, למה לא לעשות את זה באופן כללי? ואכן, המרחב האוקלידי ה-\( n \) ממדי הוא אוסף \( n \)-יות של מספרים ממשיים, כש-\( n \)-יה של מספרים ממשיים זו פשוט דרך מפוצצת להגיד “סדרה של \( n \) מספרים ממשיים”, עם פעולות חיבור וכפל בסקלר על פי קואורדינטות. את המרחב הזה מסמנים ב-\( \mathbb{R}^{n} \), ולכן המישור האוקלידי מסומן בפרט כ-\( \mathbb{R}^{2} \) והמרחב האוקלידי התלת ממדי ב-\( \mathbb{R}^{3} \).

לבסוף אפשר לבצע עוד אבסטרקציה אחת: אם \( \mathbb{F} \) הוא שדה כלשהו, אז \( \mathbb{F}^{n} \), אוסף ה-\( n \)-יות עם איברים מתוך \( \mathbb{F} \), הוא מרחב וקטורי מעל \( \mathbb{F} \) עם אותן הגדרות לחיבור וכפל בסקלר. אותו \( \mathbb{F}^{n} \) הוא אולי הדוגמה החשובה ביותר למרחב וקטורי - בהמשך נראה שאפשר לחשוב על כל מרחב וקטורי סוף-ממדי בתור \( \mathbb{F}^{n} \) (“סוף-ממדי” הוא מושג שיובהר בהמשך) עם \( \mathbb{F} \)ו-\( n \) מסויימים, וזו אולי הדרך הפשוטה ביותר שאני מכיר לחשוב על מרחבים וקטוריים.

בואו נראה תכף ומייד איך זה קורה על ידי דוגמא אחרת למרחבים וקטוריים - פולינומים. פולינום הוא ביטוי מהצורה \( a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0} \) כאשר \( a_{0},a_{1},.\dots,a_{n} \) נקראים “מקדמים” ו-\( x \) הוא “משתנה”. בנוסף, אנחנו מניחים ש-\( a_{n}\ne0 \) (אחרת לא היה טעם לכתוב את \( a_{n}x^{n} \) מלכתחילה) ו-\( n \) נקרא מעלת הפולינום. למשל, \( x^{2}+1 \) הוא פולינום ממעלה שניה ו-\( x^{5}+x^{4}+18x \) הוא פולינום ממעלה חמישית.

בהקשר שלנו, המקדמים תמיד נלקחים מעל שדה נתון מסויים; ב-\( \mathbb{F}\left[x\right] \) מסומן אוסף הפולינומים עם מקדמים מתוך \( \mathbb{F} \). החיבור והכפל בסקלר מוגדרים בצורה הטבעית, “מקדם-מקדם”. למשל, \( \left(a_{1}x+a_{0}\right)+\left(b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}\right)=b_{2}x^{2}+\left(a_{1}+b_{1}\right)x+\left(a_{0}+b_{0}\right) \). קיבלנו מרחב וקטורי שאגלה כבר עכשיו שאיננו סוף-ממדי. מה שכן, אפשר לדבר גם על “תת-מרחבים” (מושג שעוד יחזור לו בהמשך) של “כל הפולינומים ממעלה קטנה מ-\( n \)”. מרחב כזה מסומן ב-\( \mathbb{F}_{n}\left[x\right] \). למשל, \( \mathbb{R}_{2}\left[x\right] \) הוא מרחב כל הפולינומים ממעלה קטנה מ-2 במקדמים ממשיים, כלומר כל הפולינומים מהצורה \( a_{1}x+a_{0} \) כאשר הפעם \( a_{1} \) יכול להיות אפס. הסימון הזה טיפה מבלבל כי היינו מצפים ש-\( \mathbb{R}_{2}\left[x\right] \) יהיה מרחב כל הפולינום ממעלה שניה, אבל במחשבה שניה הוא דווקא הגיוני כי כל פולינום ב-\( \mathbb{R}_{2}\left[x\right] \) מתואר על ידי זוג של מספרים: \( a_{1},a_{0} \). אם היינו מרשים פולינומים ממעלה שניה, כבר היינו מדברים על שלשות של מספרים.

כעת, שימו לב שבמקום לכתוב \( a_{1}x+a_{0} \) הייתי יכול לכתוב \( \left(a_{0},a_{1}\right) \), וזה בעצם איבר של \( \mathbb{R}^{2} \). כלומר, אפשר לחשוב על איבר של \( \mathbb{R}_{2}\left[x\right] \) גם בתור איבר של \( \mathbb{R}^{2} \). יותר מכך: \( \left(a_{1}x+a_{0}\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)=\left(a_{1}+b_{1}\right)x+\left(a_{0}+b_{0}\right) \), ומצד שני \( \left(a_{0},a_{1}\right)+\left(b_{0},b_{1}\right)=\left(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1}\right) \), מה שאומר שאברי \( \mathbb{R}_{2}\left[x\right] \) ואברי \( \mathbb{R}^{2} \) נראים אותו דבר גם אחרי הפעלת פעולת חיבור, ובאופן דומה גם אחרי כפל בסקלר. כל זה מוביל אותנו למסקנה ש-\( \mathbb{R}_{2}\left[x\right] \) ו-\( \mathbb{R}^{2} \) הם אותו מרחב וקטורי עד כדי הבדל בשיטת הסימון שלנו לאברי המרחב הוקטורי הזה. בלשון מתמטית אומרים ש-\( \mathbb{R}^{2} \) ו-\( \mathbb{R}_{2}\left[x\right] \) הם מרחבים איזומורפיים.

אמרנו כבר שמטריצות הן דוגמה למרחב וקטורי, אבל אני רוצה לחדד את זה - גם קבוצה של חלק מהמטריצות יכולה להוות מרחב וקטורי. למשל, הבה ונתבונן על מטריצות מסדר \( 2\times2 \) שבהן האיברים שאינם על האלכסון הראשי הם אפס: למטריצה כזו יש צורה כללית \( \left[\begin{array}{cc}a_{0} & 0\\0 & a_{1}\end{array}\right] \). כעת מתגלה - הפתעה הפתעה! - שאוסף המטריצות הזה הוא מרחב וקטורי, וכזה שאיזומורפי ל-\( \mathbb{R}^{2} \) ול-\( \mathbb{R}_{2}\left[x\right] \). זו גם הזדמנות מצויינת לחדד נקודה עדינה: למרות שמרחב המטריצות הנ”ל ו-\( \mathbb{R}_{2}\left[x\right] \) הם איזומורפיים כמרחבים וקטוריים, זה לא אומר שהם זהים באופן מוחלט; זה אומר שהם זהים רק ביחס למה שמהווה מרחב וקטורי, כלומר פעולות החיבור והכפל בסקלר. ביחס לפעולות אחרות המרחבים הללו עשויים להיות שונים לגמרי. למשל, הכרנו פעולה של כפל מטריצות; במקרה שלנו מתקיים \( \left[\begin{array}{cc}a_{0} & 0\\0 & a_{1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}b_{0} & 0\\0 & b_{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a_{0}b_{0} & 0\\0 & a_{1}b_{1}\end{array}\right] \). לעומת זאת, אם נכפול את הפולינומים \( a_{1}x+a_{0} \) ו-\( b_{1}x+b_{0} \) נקבל בכלל \( a_{1}b_{1}x^{2}+\left(a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1}\right)x+a_{1}a_{0} \) שלא ממש מזכיר את המטריצה שהתקבלה מהכפל (וחמור מכך, הוא בכלל פולינום ממעלה שניה, כלומר לא איבר של \( \mathbb{R}_{2}\left[x\right] \)). כלומר, מרחב המטריצות ומרחב הפולינומים לא מתנהגים אותו דבר ביחס לפעולת כפל בין איברים, אלא רק ביחס לפעולת כפל בסקלר.

מרחב המטריצות הזה הוא מה שנקרא תת מרחב וקטורי. באופן כללי, אם \( V \) הוא מרחב וקטורי ו-\( U \) היא תת-קבוצה של \( V \) שהיא עצמה מהווה מרחב וקטורי אם שוכחים מ-\( V \), אז \( U \) מכונה תת-מרחב של \( V \). בהינתן \( V \) שאנו יודעים שהוא מרחב וקטורי ותת קבוצה \( U \) שלו, די קל לבדוק אם \( U \) מהווה מרחב וקטורי - לא צריך לבדוק אם כל חוקי הפילוג/קיבוץ/חילוף מתקיימים כי אנחנו יודעים שהם מתקיימים עבור כל אברי \( V \) ואברי \( U \) הם בפרט איברים של \( V \); מה שכן צריך לבדוק הוא ש-\( U \) סגור לחיבור וכפל בסקלר ומזה ינבע כל היתר. במקרה של המטריצות, למשל, צריך לוודא שאחרי שמחברים אותן או כופלים אותן בסקלר עדיין מתקבלת מטריצה עם אפסים בכניסות שאינן על האלכסון הראשי, מה שאכן קורה; אבל “קבוצת כל המטריצות \( 2\times2 \) שיש בהן 1 איפה שהוא” בוודאי אינה סגורה לכפל בסקלר (למעשה, יש לכל היותר 4 סקלרים שבהם ניתן לכפול מטריצה מהמרחב ועדיין להישאר בתוכו; מהם?) ולכן איננה תת-מרחב.

עכשיו אפשר לעבור לדוגמה נוספת. הבה ונתבונן על \( \mathbb{C} \) - שדה המרוכבים. נשכח לרגע מכך שיש פעולת כפל בין אברי \( \mathbb{C} \) ונחשוב רק על פעולת החיבור, וכעת הבה ונגדיר פעולה של “כפל בסקלר” עם איבר של \( \mathbb{R} \), הממשיים. מה תהיה הפעולה הזו? בדיוק פעולת הכפל הרגילה של \( \mathbb{C} \), רק ש”צמצמנו” אותה ואנחנו מרשים כפל רק בין איבר של \( \mathbb{R} \) ואיבר של \( \mathbb{C} \). עם פעולות החיבור והכפל בסקלר הללו \( \mathbb{C} \) מהווה מרחב וקטורי מעל \( \mathbb{R} \).

את הרעיון הזה אפשר להכליל בקלות: נניח ש-\( F \) הוא שדה ו-\( E \) הוא שדה שמכיל את \( F \). אז יש פעולת כפל שמוגדרת באופן טבעי בין איברי \( F \) ואברי \( E \) - פעולת הכפל הרגילה של \( E \). כאשר מצמצמים את הפעולה הזו רק לאברי \( F \), מקבלים ש-\( E \) הוא מרחב וקטורי מעל \( F \), לכל זוג שדות \( E\supseteq F \). האבחנה הזו היא הבסיס לתחום המתמטי המרתק של תורת השדות. שימו לב ש-\( F \) הוא בפרט מרחב וקטורי מעל \( F \), ולכן \( F \) הוא גם תת-מרחב וקטורי של \( E \) במקרה הזה.

והנה עוד דוגמה למרחב וקטורי: פונקציות ממשיות, \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \). “חיבור” של שתי פונקציות \( f,g \) יניב פונקציה \( f+g \) שמוגדרת כך: \( \left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right) \), וכפל בסקלר של \( f \) יניב פונקציה \( \lambda f \) שמוגדרת כך: \( \left(\lambda f\right)\left(x\right)=\lambda\cdot f\left(x\right) \). תחת ההגדרות הללו קיבלנו מרחב וקטורי, וכמובן שאפשר להכליל את ההגדרה לסוגים רבים ושונים של פונקציות. כך למשל פונקציות ממשיות רציפות הן תת-מרחב וקטורי של מרחב הפונקציות שתיארתי כרגע.

והנה עוד דוגמה: הבה ונסתכל על נוסחת הנסיגה \( x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2} \). “פתרון” של הנוסחה הזו הוא סדרת אינסופית של מספרים \( a_{0},a_{1},a_{2},\dots \) שמקיימים את הנוסחה, כלומר \( a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2} \) (עבור \( n\ge2 \)). כעת, אם ניקח שתי סדרות כאלו ונחבר אותן, או ניקח סדרה ונכפול אותה בסקלר, עדיין נקבל פתרון של נוסחת הנסיגה - זה מראה שאוסף כל הפתרונות של נוסחת הנסיגה \( x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2} \) הוא תת-מרחב וקטורי של מרחב שאסמן ב-\( \mathbb{R}^{\omega} \) - מרחב כל הסדרות האינסופיות של ממשיים עם חיבור וכפל על פי קואורדינטות. לאבחנה שמרחב הפתרונות הזה הוא מרחב וקטורי יש חשיבות לא קטנה כאשר פותרים נוסחאות נסיגה מעין אלה.

אפשר להמשיך ולתת עוד דוגמאות, אבל אני מקווה שהרעיון הבסיסי הובן. בפוסט הבא נעבור לדבר על המושג המרכזי שמתקשר למרחבים וקטוריים - בסיס.