מוסיפים בסיס לדיון על אלגברה לינארית

בפוסט הקודם הצגתי את המושגים של מרחב וקטורי ותת-מרחב וקטורי, וכעת אני רוצה לגשת ישר ולעניין. בפוסט על משוואות הומוגניות ראינו שיש קבוצה קטנה מאוד של פתרונות שכל פתרון אחר ניתן לתיאור כצירוף לינארי שלהם; בפוסט הזה אני רוצה להרחיב על הנקודה הזו בצורה כללית קצת יותר.

אז בואו נאמר ש-\( V \) הוא מרחב וקטורי מעל איזה שהוא שדה \( \mathbb{F} \). צירוף לינארי של קבוצת וקטורים סופית \( v_{1},\dots,v_{n}\in V \) הוא פשוט סכום של הוקטורים הללו כשכל אחד מוכפל בסקלר מתוך \( \mathbb{F} \), כלומר משהו מהצורה \( \lambda_{1}v_{1}+\dots+\lambda_{n}v_{n} \) כאשר \( \lambda_{1},\dots,\lambda_{n}\in\mathbb{F} \) או כפי שאני כותב בקיצור, \( \sum\lambda_{i}v_{i} \) (אני לא אטרח לכתוב את האינדקסים של הסכימה כשברור שהם מ-1 ועד \( n \) כמו שיקרה בערך תמיד).

בגלל ש-\( V \) הוא מרחב וקטורי, כל צירוף לינארי של אברי \( V \) הוא בעצמו איבר של \( V \). לכן, אם \( v_{1},\dots,v_{n} \) הם וקטורים, קבוצת כל הצירופים הלינאריים שלהם עם מקדמים מ-\( \mathbb{F} \) היא תת-קבוצה של \( V \); והפאנץ’ הראשון הוא שהקבוצה הזו היא תת-מרחב לינארי, כלומר סגורה לכפל בסקלר ולחיבור. ההוכחה לכך פשוטה: אם \( \sum\lambda_{i}v_{i} \) הוא צירוף לינארי ו-\( \tau\in\mathbb{F} \) הוא סקלר אחר כלשהו, אז גם \( \tau\left(\sum\lambda_{i}v_{i}\right)=\sum\left(\tau\lambda_{i}\right)v_{i} \) הוא צירוף לינארי, פשוט עם סקלרים אחרים (\( \tau\lambda_{i} \) במקום \( \lambda_{i} \)) ולכן יש סגירות לכפל בסקלר (למי שבאמת רוצה להרגיש את העסק בידיים ולהבין אותו יותר טוב מומלץ לנסות ולהוכיח את השוויון \( \tau\left(\sum\lambda_{i}v_{i}\right)=\sum\left(\tau\lambda_{i}\right)v_{i} \) בהתבסס על התכונות של מרחב וקטורי; זו הדרך היחידה להבין למה רשימת האקסיומות ההיא כל כך חשובה והדברים שמופיעים בה הכרחיים כדי שהחשבונות יתנהגו נחמד כפי שאנחנו רוצים).

באופן דומה, אם \( \sum\lambda_{i}v_{i} \) ו-\( \sum\tau_{i}v_{i} \) הם שני צירופים לינאריים של אותה קבוצת וקטורים, אז \( \sum\lambda_{i}v_{i}+\sum\tau_{i}v_{i}==\sum\left(\lambda_{i}+\tau_{i}\right)v_{i} \) גם הוא צירוף לינארי של אותה קבוצת וקטורים ולכן יש לנו סגירות לחיבור. מסקנה: אוסף הצירופים הלינאריים של קבוצת וקטורים סופית ב-\( V \) הוא תת-מרחב של \( V \), והוא נקרא המרחב הנפרש על ידי קבוצת הוקטורים. לרוב מסמנים זאת בתור \( \mbox{span}\left\{ v_{1},\dots,v_{n}\right\} \).

מה קורה אם אנחנו רוצים להסתכל על המרחב שנפרש על ידי קבוצה אינסופית של וקטורים? כאן הסיפור יותר מורכב, כי צירוף לינארי הוא תמיד סופי; אין לנו משמעות עבור סכומים אינסופיים של איברים (לפעמים ניתן לתת משמעות כזו, וכתוצאה מכך מתקבלת תורה מעניינת וחשובה בפני עצמה, אך לא תמיד). עם זאת, אפשר עדיין לקחת קבוצה אינסופית של וקטורים ולדבר על קבוצת כל הצירופים הלינאריים הסופיים של איברים מתוכה. לפעמים מגדילים לעשות וכותבים \( \sum\lambda_{i}v_{i} \) גם כאשר יש אינסוף וקטורים בקבוצה ומוסיפים שהסכום הוא תמיד כזה שבו כל ה-\( \lambda_{i} \) למעט מספר סופי הם אפס. מכיוון שרוב הזמן נדבר רק על פרישה על ידי קבוצות סופיות של וקטורים, מי שלא מבין עד הסוף על מה דיברתי כרגע - לא נורא.

כשעסקנו במשוואות לינאריות, מלמלתי משהו על כך שמה שבאמת מעניין אותנו הוא קבוצה פורשת מינימלית, כלומר כזו שאין בה וקטורים מיותרים. הבה ונראה דוגמה. המרחב יהיה \( \mathbb{R}^{2} \) וניקח בו את הקבוצה \( \left\{ \left(1,0\right),\left(0,1\right),\left(1,1\right)\right\} \). לא כל כך קשה לראות שאפשר לכתוב כל איבר ב-\( \mathbb{R}^{2} \) בתור צירוף לינארי של אברי הקבוצה הזו, אבל מצד שני, גם הקבוצה \( \left\{ \left(0,1\right),\left(1,1\right)\right\} \) מספיקה (ולמעשה - כל תת-קבוצה של שניים משלושת הוקטורים הללו מספיקה). לכן \( \left\{ \left(1,0\right),\left(0,1\right),\left(1,1\right)\right\} \) איננה מינימלית. מה השתבש? ובכן, את \( \left(1,1\right) \) אפשר לכתוב בתור \( \left(0,1\right)+\left(1,0\right) \), כך שאין בו באמת צורך: בכל צירוף לינארי של אברי הקבוצה שמשתמש ב-\( \left(1,1\right) \) אפשר להעיף אותו ופשוט לעדכן את המקדמים של \( \left(0,1\right),\left(1,0\right) \) בהתאם. למשל, נביט על \( 2\left(1,0\right)+3\left(0,1\right)-4\left(1,1\right)=\left(-2,-1\right) \). מכיוון ש-\( \left(1,1\right)=\left(0,1\right)+\left(1,0\right) \), אפשר לעשות את התרגיל החשבוני הבא:

\( \left(-2,-1\right)=2\left(1,0\right)+3\left(0,1\right)-4\left[\left(1,0\right)+\left(0,1\right)\right] \)

\( =2\left(1,0\right)-4\left(1,0\right)+3\left(0,1\right)-4\left(0,1\right) \)

\( =\left(2-4\right)\cdot\left(1,0\right)+\left(3-4\right)\cdot\left(0,1\right) \)

\( =-2\left(1,0\right)-\left(0,1\right) \)

בקיצור, אם יש לנו קבוצת וקטורים שבה אחד הוקטורים ניתן לכתיבה כצירוף לינארי של היתר הוא תמיד מיותר ותמיד אפשר להעיף אותו ועדיין לקבל קבוצה שפורשת את אותו תת מרחב בדיוק. קבוצה כזו, שבה וקטור אחד לפחות ניתן להצגה כצירוף לינארי של שאר הוקטורים, נקראת קבוצה תלויה לינארית, ובאופן בלתי מפתיע קבוצה שבה לא ניתן להציג אף וקטור מהקבוצה כצירוף לינארי של האחרים היא קבוצה בלתי תלויה לינארית.

למרבה השמחה, קיים קריטריון פשוט ויפה לבדוק מתי קבוצה היא בלתי תלויה לינארית: \( \left\{ v_{1},\dots,v_{n}\right\} \) היא בלתי תלויה לינארית אם השוויון \( \sum\lambda_{i}v_{i}=0 \) גורר ש-\( \lambda_{i}=0 \) לכל \( i \). במילים: קבוצה היא בלתי תלויה לינארית אם הדרך היחידה להציג את 0 כצירוף לינארי של איבריה היא הדרך הטריוויאלית שבה כל המקדמים הם 0 (ההגדרה עובדת גם עבור קבוצות אינסופיות, אם שוב מסכימים ש”צירוף לינארי” הוא כזה שבו תמיד רק מספר סופי של מקדמים שונה מאפס). בואו נראה למה הקריטריון הזה נכון:

אם \( \sum\lambda_{i}v_{i}=0 \) אבל לא כל המקדמים הם אפס, למשל \( \lambda_{1}\ne0 \), אז אפשר להעביר אגפים ולקבל \( -\lambda_{1}v_{1}=\lambda_{2}v_{2}+\dots+\lambda_{n}v_{n} \), ומכיוון ש-\( \lambda_{1}\ne0 \) אפשר לחלק בו ולקבל \( v_{1}=-\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}v_{2}-\dots-\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{1}}v_{n} \), כלומר קיבלנו שאחד הוקטורים בקבוצה הוא צירוף לינארי של האחרים ולכן הקבוצה תלויה לינארית (שימו לב איך השתמשנו כאן בעובדה שהסקלרים הם מתוך שדה ולכן תמיד אפשר לחלק ב-\( \lambda_{1} \); אם היכולת הפעוטה הזו לבצע חילוק נלקחת מאיתנו, זה פותח פתח לעולם מתמטי שלם ומרתק שלא כאן המקום להיכנס אליו).

מצד שני, \( \left\{ v_{1},\dots,v_{n}\right\} \) היא תלויה לינארית זה אומר שאחד הוקטורים, למשל \( v_{1} \), הוא צירוף לינארי של האחרים: \( v_{1}=\lambda_{2}v_{2}+\dots+\lambda_{n}v_{n} \). נעביר אותו אגף ונקבל \( -v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\dots+\lambda_{n}v_{n}=0 \), והרי לנו צירוף לינארי לא טריוויאלי (כי המקדם של \( v_{1} \) אינו אפס) ששווה אפס.

אם כן, קבוצת וקטורים היא תלויה לינארית אם ורק אם קיים צירוף לינארי לא טריוויאלי שלה ששווה אפס, ולכן היא בלתי תלויה לינארית אם ורק אם הצירוף הלינארי היחיד שלה ששווה אפס הוא הטריוויאלי. זו דוגמה נאה לאופי ה”פשוט” של הוכחות באלגברה לינארית; אני מאוד אוהב את ההוכחות הללו, שפשוט מוכיחות את עצמן ואני יכול לכתוב מהראש יותר מעשר שנים אחרי שלמדתי את החומר הזה לראשונה.

ועכשיו להגדרה החשובה ביותר בפוסט: אם \( V \) הוא מרחב וקטורי ו-\( B \) היא קבוצת וקטורים שהיא בלתי תלויה לינארית וגם פורשת את \( V \), אז הקבוצה נקראת בסיס ל-\( V \). השאלה הראשונה שעולה בדרך כלל אחרי הגדרה של אובייקט מתמטי כלשהו היא - האם האובייקט בכלל קיים? ובאילו תנאים הוא קיים? במקרה של בסיס התשובה פשוטה - לכל מרחב וקטורי קיים בסיס. זה המשפט ה”כבד” הראשון שאני רוצה להוכיח כאן (למעשה, כבר הוכחתי אותה בעבר אבל נעשה את זה שוב). לרוע המזל, במקרה הכללי ההוכחה אינה כה פשוטה, ולכן לפני שאגש אליה אציג כמה תכונות מעניינות על בסיסים שיקלו עלינו בהמשך. בשורה התחתונה נגיע לכך שההוכחה תהיה פשוטה למדי עבור מרחבים שיש להם קבוצה פורשת סופית, אך עבור מרחבים שאין להם קבוצה כזו היא תהיה מסובכת משמעותית יותר ותזדקק לכלי מתמטי לא טריוויאלי.

אם כן, בואו נניח של-\( V \) יש קבוצה פורשת \( \left\{ u_{1},u_{2},\dots,u_{m}\right\} \). הקבוצה הזו יכולה להיות תלויה לינארית; אני לא מניח עליה שום דבר מלבד זה שהיא פורשת וכוללת \( n \) איברים. הטענה שלי כעת היא שכל קבוצה בלתי תלויה לינארית ב-\( V \) מכילה לכל היותר \( n \) איברים; כלומר, שקיום קבוצה פורשת מגודל \( n \) משרה חסם על הגודל המקסימלי של קבוצה בלתי תלויה לינארית.

למה זה נכון? ובכן, בזכות מה שראינו על משוואות לינאריות! נניח ש-\( \left\{ v_{1},\dots,v_{n}\right\} \) היא קבוצת וקטורים ב-\( V \) ו-\( n>m \). מטרתנו היא להראות שקיים צירוף לינארי \( \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}v_{i}=0 \) שבו לא כל המקדמים הם אפס. כדי לחדד את העובדה שאנחנו מחפשים פה את המקדמים הללו נכתוב אותם כמשתנים: אנו רוצים למצוא פתרון לא טריוויאלי למשוואה \( \sum_{i=1}^{n}x_{i}v_{i}=0 \).

נראה שאפשר לתרגם את הבעיה הזו לבעיה של פתרון מערכת משוואות לינארית. איך? ובכן, מכיוון ש-\( \left\{ u_{1},\dots,u_{n}\right\} \) היא קבוצה פורשת, כל \( v_{i} \) ניתן לכתיבה כצירוף לינארי של איברים ממנה. כלומר, \( v_{i}=\sum_{j=1}^{m}a_{ij}u_{j} \). אם נציב את המשוואה הזו בקודמת נקבל \( \sum_{i=1}^{n}x_{i}\left(\sum_{j=1}^{m}a_{ij}u_{j}\right)=0 \). כעת אפשר לעשות תעלול של שינוי סדר סכימה ולקבל שהמשוואה הזו זהה למשוואה \( \sum_{j=1}^{m}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_{i}\right)u_{j}=0 \).

עכשיו הפאנץ’: בואו נביט לרגע במערכת המשוואות ההומוגנית שמוגדרת על ידי \( \sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_{i}=0 \). זו מערכת עם \( n \) משתנים ו-\( m \) משוואות, כאשר \( n>m \). למערכת כזו בהכרח יש פתרונות לא טריוויאליים, כי אחרי דירוג המטריצה המתאימה נקבל לכל היותר \( m \) משתנים תלויים, ועדיין יישארו לנו \( n-m \) משתנים בלתי תלויים שאפשר להציב בהם כל ערך שנרצה ועדיין לקבל פתרון. לכן אם ניקח בתור המקדמים \( \lambda_{1},\dots,\lambda_{n} \) פתרון לא טריוויאלי של המשוואה ההומוגנית, המשוואה \( \sum_{j=1}^{m}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\lambda_{i}\right)u_{j}=0 \) תתקיים מייד כי היא בעצם המשוואה \( \sum_{j=1}^{m}0\cdot u_{j}=0 \). זה מסיים את המשפט.

ההוכחה הזו ממחישה במובן מסויים למה היה חשוב להתחיל את הדיון באלגברה לינארית ממשוואות לינאריות דווקא; אני מוכיח פה טענה כללית על מרחבים וקטוריים, אבל נזקק לצורך כך לידע שיש לי על פתרון משוואות לינאריות. זו רק ההתחלה - במקרים רבים הוכחות באלגברה לינארית מגיעות בסופו של דבר לפתרון משוואות לינאריות.

כעת בואו נשים לב לאפיון מקסים של בסיסים שמראה שהם על קו התפר הדק שבין קבוצות בלתי תלויות לינארית, וקבוצות פורשות. אם קבוצה \( B \) היא בסיס ל-\( V \) אז היא מקסימלית ביחס לתכונה “להיות בלתי תלויה לינארית”, ומינימלית ביחס לתכונה “לפרוש את \( V \)”. למה הכוונה? במקסימליות כוונתי לכך שאם נוסיף ל-\( B \) וקטור כלשהו, אז \( B \) תחדל מלהיות בלתי תלויה לינארית, וזה ברור מכיוון ש-\( B \) פורשת את כל \( V \) ולכן כל וקטור שנוסיף ל-\( B \) יהיה וקטור שכבר ניתן להצגה כצירוף לינארי של אברי \( B \). במינימליות כוונתי לכך שאם נוריד מ-\( B \) וקטור כלשהו ששייך לה, אז \( B \) תחדל מלהיות פורשת, וזה נכון מכיוון שאם הסרנו וקטור \( v \) מתוך \( B \), אז \( v \) הזה כבר לא ניתן להצגה כצירוף לינארי של הוקטורים שנשארו (אחרת \( B \) לא הייתה בלתי תלויה לינארית).

מה שבאמת יפה כאן הוא שגם ההפך נכון: אם יש לנו קבוצה \( A \) כלשהי שהיא מינימלית ביחס לפרישת \( V \), היא בהכרח בלתי תלויה ולכן בסיס, ואם יש לנו קבוצה \( A \) כלשהי שהיא מקסימלית ביחס ללהיות בלתי תלויה אז היא בהכרח פורשת את \( V \) ולכן בסיס. נסו להוכיח זאת בעצמכם - זה לא קשה. אם לסכם את מה שאמרתי במשפט קולע וקומפקטי אפשר לומר כי שלוש התכונות הבאות שקולות, עבור קבוצה \( B \) במרחב \( V \):

1. \( B \) היא בסיס.
2. \( B \) בלתי תלויה והוספת כל וקטור של \( V \) תהפוך אותה לתלויה.
3. \( B \) פורשת את \( V \) והסרת כל וקטור מ-\( B \) תגרום לכך שהיא כבר אינה פורשת את \( V \).

סוף סוף אפשר להוכיח שלמרחב וקטורי שבו יש קבוצה פורשת סופית (נאמר, מגודל \( m \)), יש בסיס, אבל למעשה אוכיח משהו חזק יותר: שכל קבוצה בלתי תלויה \( A \) (כולל הקבוצה הריקה) ניתן להשלים לבסיס של \( V \). כלומר, לא משנה אילו איברים כבר יש ב-\( A \), כל עוד היא בלתי תלויה אפשר לבנות בסיס שמכיל את כל אברי \( A \) ואולי עוד איברים.

ההוכחה היא פשוטה להפליא: \( A \) היא בלתי תלויה לינארית. אם היא פורשת את כל \( V \), סיימנו; היא בסיס. אחרת, אם היא לא פורשת את כל \( V \), קיים וקטור ב-\( v \) שאינו נפרש על ידה ולכן הוספתו ל-\( A \) תותיר את \( A \) בלתי תלויה. אז נוסיף אותו ונבדוק שוב האם קיבלנו קבוצה פורשת או לא. מובטח לנו שהתהליך יסתיים ברגע שנקבל קבוצה בת \( m \) איברים - זו עדיין תהיה קבוצה בלתי תלויה, אבל יהיה לנו מובטח שהוספת כל וקטור אליה תהפוך אותה לתלויה שזה בדיוק תנאי 2 לעיל (שימו לב ש-\( A \) מלכתחילה חייבת להיות בת לכל היותר \( m \) איברים אחרת מובטח לנו שהיא תהיה תלויה).

אפשר להוכיח גם בכיוון השני: נניח ש-\( A \) היא עצמה קבוצה פורשת של \( V \), אז בואו נתחיל להסיר ממנה וקטורים שניתן להציג אותם כצירוף לינארי של שאר הוקטורים בקבוצה (אם אין כאלו, הקבוצה בלתי תלויה לינארית ולכן בסיס). בסופו של דבר נגיע לכך שלא נוכל להסיר עוד איברים ואז תכונה 3 תבטיח שהגענו לבסיס.

שתי הגישות הללו הן פשוטות להחריד: זה מראה כמה קל למצוא בסיסים עבור מרחבים וקטוריים - הגישה החמדנית הפשוטה, של “יש וקטור כלשהו שעוד לא פרשת? קח אותו לבסיס!” עובדת.

עכשיו, בואו נשים לב לעוד תכונה חשובה של בסיסים. אמרנו שאם יש ב-\( V \) קבוצה פורשת עם \( m \) איברים, אז כל קבוצה עם \( n>m \) איברים היא תלויה לינארית; כעת, בואו נניח שיש לנו שני בסיסים \( B_{1},B_{2} \), כך שב-\( B_{1} \) יש \( m \) איברים וב-\( B_{2} \) יש \( n \) איברים ו-\( m\le n \). מכיוון ש-\( B_{1} \) היא קבוצה פורשת, אז אם \( n>m \) נקבל ש-\( B_{2} \) היא קבוצה תלויה; אבל \( B_{2} \) היא בסיס ולכן קבוצה בלתי תלויה, ולכן בהכרח \( n=m \). כלומר, אם יש לנו בסיס מגודל סופי עבור \( V \), אז כל בסיס של \( V \) הוא מאותו הגודל בדיוק. זה מוביל אותנו להגדרה החשובה השניה של הפוסט: אם \( B \) בסיס סופי למרחב וקטורי \( V \), אז הגודל של \( B \) נקרא המימד של \( V \). כך למשל \( \mathbb{R}^{2} \) הוא ממימד 2 כי יש לו את הבסיס \( \left\{ \left(0,1\right),\left(1,0\right)\right\} \). לרוב מסמנים מימד של מרחב באופן הבא: \( \dim V \). כלומר, \( \dim\mathbb{R}^{2}=2 \).

\( \dim V \)הוא קו הגבול שלנו בין קבוצות בלתי תלויות לינארית וקבוצות פורשות. אם בקבוצה יש יותר מ-\( \dim V \) איברים, היא בהכרח תלויה לינארית כפי שכבר ראינו; ואם בקבוצה יש פחות מ-\( \dim V \) איברים היא בהכרח לא פורשת את \( V \) (כי אם היא הייתה פורשת אז קבוצה בעלת \( \dim V \) איברים הייתה תלויה לינארית ולכן לא בסיס). זה אחד המאפיינים החשובים ביותר של מרחבים וקטוריים ועוד ניתקל בו בהמשך.

בואו נראה עכשיו דוגמה למרחבים ולבסיס שלהם. המרחב יהיה \( \mathbb{F}^{n} \) - זה, כזכור, מרחב כל ה-\( n \)-יות של איברים מ-\( \mathbb{F} \). הבסיס הוא פשוט מאוד: \( n \)-יות שיש בהן 0 בכל מקום חוץ מבכניסה אחת שבה יש 1. למשל, עבור \( \mathbb{F}^{3} \) הבסיס יהיה מורכב מהוקטורים \( e_{1}=\left(1,0,0\right) \), \( e_{2}=\left(0,1,0\right) \) ו-\( e_{3}=\left(0,0,1\right) \). באופן כללי בסיס ל-\( \mathbb{F}^{n} \) יהיה מורכב מוקטורים \( e_{1},\dots,e_{n} \). די בבירור זו קבוצה פורשת, וגם להראות שהיא בלתי תלויה לינארית זה די פשוט (כי \( \sum\lambda_{i}e_{i}=\left(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}\right) \) ולכן אם אגף ימין הוא וקטור האפס גם \( \lambda_{1}=\dots=\lambda_{n}=0 \)). הבסיס הספציפי הזה של \( \mathbb{F}^{n} \) נקרא הבסיס הסטנדרטי.

אני רוצה להדגיש ש”הבסיס הסטנדרטי” הוא משהו שקיים עבור \( \mathbb{F}^{n} \), לא עבור כל מרחב וקטורי. למשל, בואו נביט בתת המרחב של \( \mathbb{R}^{2} \) שמורכב מכל הוקטורים מהצורה \( \left(a,a\right) \). תת המרחב הזה נפרש על ידי הוקטור הבודד \( \left(1,1\right) \); וקטורים מהצורה \( \left(1,0\right) \) או \( \left(0,1\right) \) לא הולכים לפרוש אותו ואפילו לא שייכים אליו בכלל. לכן לתת המרחב \( \left\{ \left(a,a\right)|a\in\mathbb{R}\right\} \) פשוט אין בסיס סטנדרטי. אני מקווה שאני מונע כרגע בלבול נפוץ שצץ אצל אנשים שנתקלים באלגברה לינארית לראשונה (בוודאי כזה שצץ אצלי בשעתו).

בואו נשים לב לעוד משהו ונסיים בזאת: אם \( V \) הוא מרחב וקטורי ו-\( U \) הוא תת-מרחב שלו, אז \( \dim U\le\dim V \) ויש שוויון רק אם \( U=V \). גם זו לא תוצאה מובנת מאליה; הרעיון הוא לקחת בסיס ל-\( U \) ואז להשלים אותו לבסיס של \( V \), מה שבהכרח רק יוסיף וקטורים ולכן יגדיל את \( \dim V \). אם לא מוסיפים וקטורים כלל (ולכן \( \dim U=\dim V \)) אז הבסיס ל-\( U \) הוא גם בסיס ל-\( V \), ולכן \( U=V \) - שניהם שווים למרחב שאותו הבסיס פורש.

לסיום, אני רוצה להציג את ההוכחה שיש ל-\( V \) בסיס גם אם אין ל-\( V \) קבוצה פורשת סופית. במקרה כזה, שבו לא קיימת קבוצה פורשת סופית (או באופן שקול, קיימת קבוצה בלתי תלויה לינארית אינסופית) אומרים ש-\( V \) הוא “אינסוף ממדי”. עבור מרחבים כאלו, בסיס הוא לרוב לא מעניין במיוחד ויותר מתעניינים בקבוצה שסכומים אינסופיים של איברים מתוכה פורשים את כל איברי המרחב (אלא שיש לכך משמעות רק במקרה שבו אפשר לתת משמעות לסכומים אינסופיים שכאלו). חלק מהבעיה היא שלמרות שבסיס תמיד קיים, זה לא אומר שקל למצוא אותו - הוכחת הקיום היא לא קונסרטוקטיבית ומתבססת על הלמה של צורן. מי שמתעניין בהמשך, אני ממליץ לו שיקרא קודם על הלמה של צורן אחרת לא יהיה ברור במיוחד מה אני עושה.

ובכן, תהא \( A \) קבוצה בלתי תלויה כלשהי ב-\( V \). נתבונן על אוסף כל הקבוצות הבלתי תלויות ב-\( V \) שמכילות את \( A \). אם נראה שיש קבוצה מקסימלית באוסף הזה, סיימנו (כבר ראינו שקבוצה שהיא מקסימלית ביחס ל”להיות בלתי תלויה” חייבת להיות בסיס). לשם כך מספיק להראות שכל שרשרת של קבוצות \( A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq\dots \) היא בעלת חסם מלמעלה - כלומר, קבוצה בלתי תלויה ב-\( V \) שמכילה את \( A \) וגם את כל אברי השרשרת. הדרך הטבעית להגדיר קבוצה שכזו היא פשוט בתור האיחוד \( \bigcup A_{i} \); זו בוודאי קבוצה שמכילה את \( A \) ואת כל אברי השרשרת, אבל מדוע היא בלתי תלויה לינארית? ובכן, נניח שהיא תלויה לינארית, אז יש בה איברים \( v_{1},\dots,v_{m} \) כך ש-\( \sum\lambda_{i}v_{i}=0 \) וזה צירוף לינארי לא טריוויאלי. אבל מכיוון ש-\( v_{1},\dots,v_{m} \) היא קבוצה סופית של איברים, יש \( A_{k} \) כלשהו בשרשרת שמכיל את כולם, ולכן כבר \( A_{k} \) הוא קבוצה בלתי תלויה לינארית - סתירה. זה מסיים את ההוכחה בזכות הלמה של צורן.

בפוסט הבא, כדי לעשות את החיים מעניינים, נתחיל לדבר על טרנספורמציות לינאריות - מה שקורה כשלוקחים מרחב וקטורי ומתחילים להתעלל בו.