2=1+1

בואו נדבר על הקלישאה הגדולה ביותר שמשוייכת למתמטיקה: “\( 1+1=2 \)”. אתם תראו את זה בכל מקום, בתור האמת הנצחית הבסיסית ביותר של המתמטיקה. הדבר הזה שאם מתכחשים לו, מתכחשים לאמת האובייקטיבית שאולי קיימת ואולי לא. העקרון הבסיסי ביותר הזה שאין עוררין עליו. המושג העבש הזה שתוקע אנשים בהלכי חשיבה צרים ומדויקים במקום להיפתח לקוסמוס. ועוד ועוד ועוד.

הטריגר הנוכחי לפוסט הוא המאמר הבא של Ynet, שהציטוט הזה מתוכו מעביר היטב את רוח הדברים:

אותו הלילה נדדה שנתי, וחלום על מתמטיקה טרף אותה. בדמיוני עמדתי בודד ליד לוח והסברתי משוואות לקטנטן, פירקתי אותן עד לנימוק הכי בסיסי, עד שהגעתי לתהום שממנה אין מוצא: 1+1=2. השאלה שממנה כל כך חששתי הגיעה גם הגיעה: "אבא'לה, למה אחד ועוד אחד זה שניים?". התפרקתי לגמרי (בחלום) וצרחתי: "ככה! ככה! לא שמעת על אקסיומות?!".

ובכן - לא. זה לא ככה. זו לא אמת בסיסית שאין עוררין ואין חולקין עליה. המתמטיקה ממש לא נעצרת כאן. להשתעשע עם הקלישאה זה טוב ויפה, אבל נדמה לי שיש אנשים שחושבים ברצינות שעמדת המתמטיקה בנוגע ל-\( 1+1=2 \) היא ש”זה נכון כי ככה”. בפוסט הזה ארצה לתת כמה נקודות מבט מתמטיות שונות על העניין.

השאלה הראשונה שיש לי אל מי שלא מוכן לקבל את \( 1+1=2 \) כפשוטו היא - כשאתם אומרים “2”, למה אתם מתכוונים? המתמטיקה שואלת מה ההגדרה שלכם לסימן \( 2 \). קרוב לודאי שרובכם תענו ש-\( 2 \) הוא פשוט סימון מקוצר ל-\( 1+1 \), ולכן ברור ש-\( 1+1=2 \); אין בשוויון הזה שום דבר עמוק יותר מלהגיד ש-2 הוא הסימן שבו אתם משתמשים כדי לתאר את אחד ועוד אחד (ושימו לב שבכלל אין חשיבות לשאלה מה זה \( 1 \) בשבילכם, או אפילו מה זה \( + \)בשבילכם).

רק מה, המתמטיקאים לא מסכימים איתכם.

אחת מיצירות המופת המונומנטליות ביותר בתולדות המתמטיקה היא ה-Principia Mathematica שכתבו המתמטיקאים (והפילוסופים) ברטרנד ראסל ואלפרד נורת’ וייטהד בתחילת המאה ה-20. מדובר על יצירה עבת כרס ביותר שניסתה לבסס את כל המתמטיקה על הלוגיקה המתמטית שהייתה בחיתוליה באותם ימים, ולעשות זאת בצורה הפורמלית והמדויקת ביותר האפשרית. מעולם לא קראתי אותה. אני לא מכיר אף אחד שעשה זאת. עם זאת, ציטוט אחד מתוכה זכה לתהילת עולם: אי שם בעמוד 379, אחרי הוכחת טענה שהמראה שלה גורם גם לי להתפלץ, השניים אומרים (ללא ספק בהומור עצמי) ש”מטענה זו ינבע, לאחר שחיבור אריתמטי יוגדר, ש-\( 1+1=2 \)”.

הלקח שיש ללמוד מהסיפור הזה הוא שהשוויון הזה לא מובן מאליו למתמטיקאים - הם לאו דווקא חושבים עליו בתור הגדרה. כמובן, נשאלת השאלה איך הם כן מגדירים את 1, את 2 ואת החיבור. אני לא מכיר את הגישה של ראסל ושל וייטהד, אבל גישה מקובלת למדי במתמטיקה של ימינו היא זו: ראשית מגדירים את המספר 0. כעת מגדירים לכל מספר משהו שנקרא “עוקב”. אם \( n \) הוא מספר, אז \( S\left(n\right) \) הוא העוקב שלו. אנו משתמשים בסימון \( 1 \) כדי לתאר את \( S\left(0\right) \) , ובסימון 2 כדי לתאר את \( S\left(S\left(0\right)\right) \) וכן הלאה. אחר כך מגדירים גם את פעולת החיבור באמצעות עוקב: \( a+0=a \) לכל \( a \), וכמו כן \( a+S\left(b\right)=S\left(a+b\right) \) (מבלבל? מצוין! נסו לחשוב על זה עוד קצת).

עם ההגדרות הללו, הטענה \( 1+1=2 \) היא בעצם משפט מתמטי: המשפט \( S\left(0\right)+S\left(0\right)=S\left(S\left(0\right)\right) \) , שניתן לתת לו הוכחה שהולכת בערך כך: על פי ההגדרה של +, \( a+S\left(b\right)=S\left(a+b\right) \) ולכן אם \( a=S\left(0\right) \) ו-\( b=0 \) נקבל ש-\( S\left(0\right)+S\left(0\right)=S\left(S\left(0\right)+0\right) \). כעת, מכיוון שעל פי ההגדרה של + מתקיים \( a+0=a \) לכל \( a \), אז \( S\left(0\right)+0=S\left(0\right) \) ולכן \( S\left(S\left(0\right)+0\right)=S\left(S\left(0\right)\right) \) והנה הגענו אל מה שרצינו להוכיח. במילים אחרות, \( 1+1=2 \), מנקודת המבט המתמטית, זו בכלל לא אקסיומה או טענה בסיסית שלא מתווכחים עליה; זו טענה שנובעת מהגדרות יותר בסיסיות וקל להוכיח אותה.

לא מסכימים עם ההגדרות היותר בסיסיות הללו? טוב ויפה, אבל זה בערך כמו לבוא למישהו שאומר “אין גשם היום” ולהגיד לו שהוא טועה כי בעברית שלכם המילה “היום” פירושה “מתישהו בחודש האחרון”, ו”אין” פירושה בכלל “יש”, ו”גשם” הוא בעצם “פלישה מסיבית של חייזרים שכוללת השמדה של הבית הלבן”. ולא ידוע לנו על פלישה שכזו לאחרונה. אם אתם בוחרים לא להבין או לא לדבר את השפה זה לגיטימי לחלוטין, אבל לא מועיל במיוחד.

בכל זאת, אולי אפשר לתת פרשנויות שונות לסימנים ולקבל עולם קוהרנטי שבו \( 1+1 \) לא שווה \( 2 \)? התשובה היא חד משמעית: כן, אפשר, והמתמטיקאים גם עושים את זה.

נתחיל מעוד קלישאה אהובה: “מה אם \( 1+1=3 \)?” שמובאת לפעמים כדוגמה לחשיבה פורצת מסגרות. ובכן, אם \( 1+1=3 \) , ואם אנחנו מסכימים על כך שגם \( 1+1+1=3 \), אז קיבלנו ש-\( 1+1=1+1+1 \). אם אנחנו מסכימים שאפשר לחסר, אז קיבלנו מכך ש-\( 0=1 \) (אחרי שחיסרנו \( 1+1 \) משני האגפים), וזה בעצם אומר שהכל אפס. גם אפס, וגם אחד, וגם אחד ועוד אחד וגם כל דבר שהוא. לא הגישה הכי פרודקטיבית לחיים. אז אפשר להגיד שאי שם בדרך רימינו - למשל, שאסור לחסר, אבל אז עולה השאלה מה הטעם בחשבון שבו אחת מהפעולות הבסיסיות ביותר היא אסורה; או ש-\( 1+1+1 \) לא שווה 3, אבל אז נשאלת השאלה למה הוא כן שווה, והאם \( 3 \) הוא לא סתם סימון מוזר שלנו למספר שבדרך כלל קוראים לו “שתיים”. בקיצור, אי אפשר להגיד ש-\( 1+1=3 \) בלי שתתחייב מכך זריקה לפח של כל מה שאנחנו מכירים בתור חשבון, והחלפתה במשהו שהוא טריוויאלי ולא מעניין כי לא קורה בו כלום. לי אישית נראה שאלו שאומרים \( 1+1=3 \) לא באמת חושבים מחוץ למסגרת, אלא פשוט לא חושבים - בפרט לא חושבים עד הסוף על ההשלכות של הטענות שלהם.

מה כן כדאי לעשות, והמתמטיקאים עושים? להגיד ש-\( 1+1=0 \). זה לא מוביל למסקנה ש-\( 0=1 \), וזה גם לא דורש מאיתנו לזרוק לפח את פעולות החשבון; ההפך, כל ארבע פעולות החשבון תקפות גם עבור העולם הקטן והנחמד שאנחנו מקבלים כשאנחנו מגדירים ש-\( 1+1=0 \). במתמטיקה קוראים לעולם הזה \( \mathbb{Z}_{2} \) - זו דוגמה לשדה סופי; במקרה זה, השדה הסופי הקטן ביותר שקיים.

בפני עצמו לא נראה שאנחנו יודעים לעשות הרבה עם השדה הזה כי אנחנו יכולים לייצג מעט מאוד דברים כשיש לנו רק את 0 ו-1; אבל מותר לדבר גם על סדרות של היצורים הללו. למשל, יש 8 סדרות מאורך 3 של אפסים ואחדים, כש-\( \left(1,0,1\right) \) ו-\( \left(0,0,0\right) \) הן שתי דוגמאות. באופן כללי יש \( 2^{n} \) סדרות מאורך \( n \) של אפסים ואחדים - וזה כבר הרבה. חיש קל, עבור ערכים לא גדולים במיוחד של \( n \), אנחנו מסוגלים לייצג כמויות אדירות של מידע.

בפועל, זה גם מה שקורה בתוך מחשבים: מחשבים לא יודעים לייצג מספרים מגודל שרירותי. מה שהם עושים ברמת החומרה הוא לייצג באופן אלקטרוני כלשהו ביטים - יצורים שיכולים להתפרש כמכילים רק 0 או 1. על הביטים הללו אפשר לבצע פעולות שונות ומשונות ובפרט את פעולת החיבור שהגדרנו, זו שבה \( 1+1=0 \) (בעולם האמיתי היא נקראת XOR). פרט לכך יש ל-\( \mathbb{Z}_{2} \) גם מקום של כבוד במתמטיקה באופן כללי, אבל לא אכנס ליותר מדי פרטים כרגע. הנקודה החשובה היא שזה קיים, וזה לגיטימי. אף מתמטיקאי לא יטען שבהכרח \( 1+1=2 \); קרוב לודאי שהוא יוודא קודם כל שמדברים על מספרים טבעיים ועל פעולת החיבור הרגילה.

ורק עוד הערה לסיום: גם “זו אקסיומה” היא בימינו קלישאה שהקשר בין השימוש בה במתמטיקה לשימוש בה בשפת היומיום הוא שגוי. ביוון העתיקה “אקסיומה” הייתה אמת מובנת מאליה שאין עליה עוררין; מאז עברו אי-אלו אלפי שנים, התברר שכל מני דברים שנראים מובנים מאליהם וללא עוררין הם לא כל כך מובנים מאליהם (למשל, אקסיומת המקבילים המפורסמת) ובימינו “אקסיומה” במתמטיקה היא דרך לתאר הנחת יסוד - הנחה שיכולה להיות נכונה או לא נכונה, אבל אנחנו מוכנים לצורך ה”משחק” להניח שהיא נכונה ולראות מה יוצא מזה. בהחלט לגיטימי לעשות גם את ההפך - להניח שהאקסיומה לא נכונה ולראות מה יוצא גם במקרה הזה. רק שימו לב, כשאתם באים להשתעשע שכך, שקרוב לודאי שמתמטיקאים כבר חשבו על זה לפניכם.