אז מה זה מרחב הילברט?

אלו מכם שעקבו אחרי סדרת הפוסטים שלי על אלגברה לינארית ודאי שמו לב שבכמה מקומות ניסיתי להדגיש את החשיבות בכך שאנחנו מדברים על מרחבים וקטוריים (ה”כוכב” של האלגברה הלינארית) שהם ממימד סופי. חלק מהמשפטים שהוכחתי (למשל, אלו שנוגעים לערכים עצמיים) הסתמכו בצורה חזקה למדי על התכונה הזו. זה מעלה את השאלה האם המתמטיקאים בכלל לא מתעסקים במרחבים ממימד אינסופי. ובכן, כמובן שהם כן, רק שהעניינים כבר אינם פשוטים ויפים כמו באלגברה לינארית.

בואו נתחיל עם הסבר קצר ודוגמאות. מימד של מרחב, כזכור, הוא הגודל של בסיס כלשהו למרחב (כל הבסיסים הם מאותו גודל) כאשר בסיס הוא קבוצת וקטורים שכל איבר במרחב ניתן לכתיבה באופן יחיד כצירוף לינארי סופי שלה; באופן שקול, זו קבוצה של וקטורים שהיא בלתי תלויה לינארית, כלומר אי אפשר לכתוב את 0 כצירוף לינארי לא טריוויאלי של איבריה, ובנוסף היא גם פורשת את המרחב, כלומר כל וקטור במרחב ניתן לכתיבה כצירוף לינארי של איבריה. מסקנה אחת מההגדרות שלעיל היא שאם יש לנו במרחב קבוצה בת \( n \) וקטורים שהיא בלתי תלויה, אז המימד של המרחב הוא לפחות \( n \) (ההוכחה טיפה טכנית ולכן לא אציג אותה כאן). זה מאפשר לנו לתת קריטריון פשוט עבור “מתי מרחב הוא לא סוף-ממדי”: אם לכל \( n \) טבעי, קיימת קבוצה בלתי תלויה לינארית של \( n \) וקטורים בו. בפרט, אם קיימת קבוצה בלתי תלויה לינארית אינסופית.

בואו ונראה דוגמאות. שתי הראשונות שאציג יהיו פשוט לקחת מרחב וקטורי קיים שיש עליו מגבלה כלשהי ולזרוק אותה לפח. ראשית, המרחב הבסיסי ביותר שאנו מכירים הוא \( \mathbb{R}^{n} \) - אברי המרחב הזה הן סדרות מאורך \( n \) של מספרים ממשיים, \( \left(a_{1},\dots,a_{n}\right) \). אם כן, מה מונע מאיתנו לדבר על מרחב כל הסדרות האינסופיות של מספרים ממשיים? שום דבר, ואכן אפשר להגדיר את המרחב \( \mathbb{R}^{\omega} \) בדיוק בצורה הזו (\( \omega \) הוא דרך אחרת לכתוב \( \infty \) שהיא קצת יותר מדויקת; פורמלית, \( \omega \) הוא סודר ששווה בדיוק לקבוצת הטבעיים, ועל כל איבר של \( \mathbb{R}^{\omega} \) אפשר לחשוב בתור פונקציה מ-\( \omega \) לתוך \( \mathbb{R} \)). אפשר לכתוב איבר כללי במרחב הזה בתור \( \left(a_{1},a_{2},a_{3},\dots\right) \), ולא קשה לראות שאם נגדיר את \( e_{i} \) להיות הסדרה שיש לה 1 במקום \( i \) ו-\( 0 \) ביתר המקומות, אז הקבוצה \( \left\{ e_{1},e_{2},e_{3},\dots\right\} \) היא בלתי תלויה לינארית. הנה לנו מרחב אינסוף ממדי!

המרחב השני גם הוא פשוט למדי - מרחב כל הפולינומים מעל \( \mathbb{R} \), שאסמן \( \mathbb{R}\left[x\right] \). לא קשה לראות שהקבוצה \( \left\{ 1,x,x^{2},x^{3},\dots\right\} \) היא בלתי תלויה לינארית ולכן המרחב הוא אינסוף ממדי. כשרוצים לדבר על מרחבי פולינומים סוף-ממדיים, נהוג להגביל את המעלה של הפולינומים; כאן ההבדל הוא רק שהעפנו את המגבלה ה”מלאכותית” על הדרגה.

אז סדרות של ממשיים ופולינומים עם מקדמים ממשיים יש, מה עם פונקציות ממשיות כלליות, כלומר פונקציות \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \)? המרחב הזה הוא אכן מרחב וקטורי, והוא אפילו ממימד ש”מרגיש” יותר גדול מזה של הקודמים. לכל \( r\in\mathbb{R} \) ממשי אפשר להגדיר פונקציה \( f_{r} \) באופן הבא:

\( f_{r}\left(x\right)=\begin{cases}1 & x=r\\0 & x\ne r\end{cases} \)

וכעת אפשר להראות שהקבוצה \( \left\{ f_{r}\ |\ r\in\mathbb{R}\right\} \) היא בלתי תלויה לינארית - וזוהי קבוצה לא בת מניה, דהיינו גדולה יותר מאשר הקבוצות הבלתי תלויות לינאריות של המרחבים הקודמים שהיו בנות מניה.

אפשר לקחת את המרחב הוקטורי הזה ולהגביל את עצמנו לתת מרחבים של פונקציות “מעניינות”. למשל, מרחב כל הפונקציות הממשיות על הקטע \( \left[0,1\right] \) שהן רציפות, שמסומן \( C\left[0,1\right] \). גם המרחב הזה הוא אינסוף ממדי, אבל הפונקציות \( f_{r} \) מקודם לא עובדות כי הן לא רציפות. אפשר במקומן לקחת את הפונקציות \( \left\{ f_{a}\left(x\right)=e^{ax}\ |\ a\in\mathbb{R}\right\} \) שהן כן בלתי תלויות לינארית ועדיין יש מספר לא בן מניה שלהן, אבל כבר קצת יותר מסובך להראות שהן בלתי תלויות (אפשר להשתמש במשהו שנקרא ורונסקיאן שיום אחד אולי אציג) ונעזוב את זה לעת עתה.

כעת, אחרי שראינו כמה דוגמאות, נשאלת השאלה - האם עדיין קיים למרחבים הללו בסיס? הרי בסיס הוא קבוצה של וקטורים כך שכל וקטור במרחב ניתן לכתיבה כצירוף לינארי סופי של אברי הבסיס (דהיינו, של מספר סופי של אברי בסיס); אבל כאן כבר נצטרך שהבסיס יכיל אינסוף איברים. מצד שני, אם ניקח את קבוצת כל הוקטורים במרחב, ברור שהיא פורשת לינארית את הוקטורים במרחב במובן זה שכל וקטור הוא צירוף לינארי (טריוויאלי) של וקטורים מתוך הקבוצה, כך שהקרב לא אבוד - קל למצוא קבוצה פורשת והאתגר הוא רק למצוא קבוצה פורשת שגם תהיה בלתי תלויה. שימו לב שזה לא תמיד טריוויאלי: ב-\( \mathbb{R}\left[x\right] \) הקבוצה \( \left\{ 1,x,x^{2},x^{3},\dots\right\} \) אכן מהווה בסיס, כי פולינום הוא אובייקט סופי באופיו; אבל ב-\( \mathbb{R}^{\omega} \) הקבוצה \( \left\{ e_{1},e_{2},e_{3},\dots\right\} \) איננה בסיס - צירוף לינארי של מספר סופי של אברי הבסיס הזה יתן לנו סדרה שיש לה 0 כמעט בכל מקום (“כמעט בכל מקום” זו דרך פורמלית לגמרי לומר “בכל מקום החל ממקום מסויים”) ולכן זה לא תופס את כל הסדרות במרחב.

אז יש או אין בסיס באופן כללי? התשובה הסופית היא חיובית: לכל מרחב וקטורי, גם אינסוף ממדי, קיים בסיס. רק שבשביל ההוכחה צריך את הלמה של צורן שבתורה מסתמכת על אקסיומת הבחירה. זה לא סוף העולם, אבל זה מעיד על כך שהבניה של הבסיס היא לא קונסטרוקטיבית - ההוכחה לא תעזור לנו למצוא בסיסים כאלו בפועל או להבין איך הם נראים.

את ההוכחה הזו כבר הראיתי פעם או פעמיים בבלוג, אבל תמיד נחמד להראות אותה שוב. נניח ש-\( V \) הוא מרחב וקטורי כלשהו. הרעיון הוא להגדיר סדר חלקי על הקבוצות הבלתי תלויות \( A\subseteq V \): נגדיר ש-\( A\le B \) אם \( A\subseteq B \). זה סדר חלקי, כי יש הרבה קבוצות שאינן ניתנות להשוואה כך (כלומר, לא מתקיים לא \( A\le B \) וגם לא \( B\le A \)). כעת לוקחים שרשרת, כלומר קבוצה \( X \) של קבוצות בלתי תלויות ב-\( V \) כך שכל שתיים מהן כן ניתנות להשוואה. הלמה של צורן מבקשת מאיתנו להראות שלשרשרת הזו יש חסם מלעיל: קבוצה \( C \) שהיא בעצמה בלתי תלויה לינארית, כך שלכל \( A\in X \) מתקיים \( A\le C \). התעלול הוא להגדיר \( C=\bigcup X \), כלומר \( C \) הוא איחוד כל הקבוצות ב-\( X \).

די ברור ש-\( C \) היא חסם מלעיל של \( X \), אבל למה היא בלתי תלויה לינארית? ובכן, כאן אנחנו משתמשים בצורה חזקה שצירופים לינאריים הם סופיים. נניח ש-\( C \) תלויה לינארית, אז אפילו אם \( C \) אינסופית, זה אומר שקיים מספר סופי של וקטורים \( v_{1},\dots,v_{n}\in C \) כך שקיים צירוף לינארי \( \sum\lambda_{i}v_{i}=0 \) שאינו טריוויאלי (כלומר, לא כל ה-\( \lambda \)-ות בו שוות לאפס). כל \( v_{i} \) הגיע מאיבר כלשהו ב-\( X \), נאמר \( A_{i} \). הבה ונתבונן בקבוצה \( \left\{ A_{1},\dots,A_{n}\right\} \) - זו קבוצה סופית שכל זוג איברים בה ניתנים להשוואה ולכן יש בה איבר מקסימלי, שמכיל את כל היתר (את זה אפשר להוכיח באינדוקציה). האיבר הזה בהכרח יכיל את כל הוקטורים \( v_{1},\dots,v_{n} \) ולכן \( \sum\lambda_{i}v_{i}=0 \) יהיה תקף כבר בו, ויראה שהוא תלוי לינארית, בסתירה לכך שכל אברי \( X \) הן קבוצות בלתי תלויות לינארית. מסקנה: גם \( C \) אינה בלתי תלויה לינארית.

הראינו שלכל שרשרת של קבוצות בלתי תלויות לינארית ב-\( V \) יש חסם מלעיל, ולכן אפשר להשתמש בלמה של צורן ולהסיק את המסקנה: קיימת קבוצה \( B \) שהיא איבר מקסימלי של אוסף הקבוצות הבלתי תלויות של \( V \). ה-\( B \) הזו חייבת להיות בסיס, כי אם יש איבר כלשהו שאינו נפרש על ידי איבריה אפשר להוסיף אותו ל-\( B \) ולקבל קבוצה בלתי תלויה שהיא גדולה יותר מ-\( B \), בסתירה למקסימליות של \( B \). זה מסיים את ההוכחה.

אם כן, לכל מרחב וקטורי קיים בסיס. אבל לא תמיד ברור איך הוא נראה ולא תמיד הוא נחמד במיוחד. מסתבר שלעתים קרובות נוח יותר להסתכל על משהו קצת שונה: “בסיס” אינסופי שכל איבר במרחב ניתן לכתיבה בתור סכום אינסופי של איבריו. כאן המשמעות של “סכום” היא המשמעות הרגילה שלו (ולא משמעות מטורללת שגורמת לכך ש-\( 1+2+3+\dots=-\frac{1}{12} \)!), אבל כדי שאפשר יהיה לדבר על סכום אינסופי במובן הרגיל, במרחב שלנו צריך להיות מושג כלשהו של התכנסות; משהו שמאפשר לנו להכניס את החשבון האינפיניטסימלי לתוך האלגברה הלינארית שלנו. אז מראש אנחנו מוותרים על הדיון בכל המרחבים הוקטוריים ומצטצמצמים לתת-קבוצה מעניינת שלהם - במקרה הזה, מרחבי מכפלה פנימית. מכפלות פנימיות הן יופי של דבר כי הן מאפשרות לנו להגדיר מושג של זווית בין וקטורים במרחב (בפרט, מאפשרות לנו להגיד מתי שני וקטורים הם ניצבים זה לזה) ומושג של אורך, שנקרא “נורמה” במתמטית. כזכור, אם \( v,u \) הם וקטורים והמכפלה הפנימית שלהם מסומנת ב-\( \left\langle v,u\right\rangle \), אז הנורמה של \( v \) מוגדרת בתור \( \|v\|=\sqrt{\left\langle v,v\right\rangle } \) (השורש תמיד מוגדר היטב והוא מספר ממשי כי \( \left\langle v,v\right\rangle \) הוא מספר ממשי חיובי לכל \( v \), ולא משנה אם המרחב שלנו הוא עם סקלרים מ-\( \mathbb{R} \) או מ-\( \mathbb{C} \)).

מושג של נורמה מאפשר, בתורו, להגדיר מושג של מטריקה, כלומר של פונקציית מרחק שדומה באופיה לזו שעליה נבנה החשבון האינפיניטסימלי הבסיסי על \( \mathbb{R} \). המטריקה מוגדרת באופן המתבקש: \( d\left(u,v\right)=\|u-v\| \). כאשר המרחב שלנו הוא \( \mathbb{R} \) והמכפלה הפנימית היא פשוט פעולת הכפל הרגילה, הנורמה היא ערך מוחלט ואז המטריקה היא המטריקה ה”רגילה” של אינפי; בדומה גם עבור \( \mathbb{R}^{n} \) לכל \( n \) טבעי נקבל את המטריקה הסטנדרטית שלו. לכן אני אומר שההגדרה “מתבקשת”.

עכשיו אפשר להגדיר גבולות בצורה הרגילה: אם יש לנו סדרה \( a_{1},a_{2},a_{3},\dots \) של וקטורים, אומרים ש-\( a_{n}\to a \) אם \( \lim_{n\to\infty}\|a_{n}-a\|=0 \), כשה-\( \lim \) פה הוא הגבול הסטנדרטי של אינפי (כלומר, למי שרוצים לעשות את זה לעצמם, שלכל \( \varepsilon>0 \) קיים \( N \) טבעי כך שאם \( n>N \) אז \( \|a_{n}-a\|<\varepsilon \)). אפשר גם לדבר על סכום של טורים אינסופיים: \( \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}=a \) אם \( S_{n}\to a \) כאשר \( S_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k} \) (\( S_{n} \) הוא מה שנקרא “סכום חלקי” של הטור). באנג! התנגשות בין האלגברה הלינארית ובין החשבון האינפיניטסימלי! זה חייב להיות מגניב!

זה אכן מגניב, אבל עדיין חסרה לנו תכונה אחת שהיא מאוד שימושית (דהיינו, יש משפטים שעובדים איתה ולא עובדים בלעדיה). לפני שאציג אותה, ננסה לקבל עוד קצת אינטואיציה מאינפי בסיסי. הנה לכם שאלה שאולי לא חשבתם עליה ואולי כן: למה בעצם לעשות אינפי עם המספרים הממשיים \( \mathbb{R} \) (שמוגדים בצורה נורא מסובכת) ולא עם הרציונליים \( \mathbb{Q} \) שהם ממש פשוטים? הרי בעולם האמיתי הרציונליים הם המספרים שאנחנו עובדים איתם, כי דיוק המדידה שלנו הוא סופי.

הבעיה העיקרית שאני רואה עם אינפי על \( \mathbb{Q} \) (או הרחבות של \( \mathbb{Q} \) שהן עדיין לא \( \mathbb{R} \)) היא שכל מני משפטים שאנחנו רגילים אליהם ומשתמשים בהם כל הזמן פתאום לא יעבדו. למשל, בולצאנו-ויירשטראס, שאומר שכל סדרה חסומה מכילה תת-סדרה מתכנסת. למה המשפט לא עובד? ובכן, הנה סקיצה זריזה של ההוכחה שלו: עושים “אריה במדבר” - לוקחים את הקטע שבו אינסוף אברי הסדרה חיים, חוצים אותו לשניים, בוחרים חצי שבו יש אינסוף איברים של הסדרה וממשיכים איתו. בסופו של דבר נקבל תת-סדרה שהמרחקים בין אבריה הולכים ומצטצמצמים - פורמלית, לכל \( \varepsilon>0 \) קיים \( N \) כך שאם \( n,m>N \) אז \( \left|a_{n}-a_{m}\right|<\varepsilon \) - ואז… ובכן, זהו. בהוכחה הסטנדרטית אומרים “סדרה כזו היא מה שנקרא סדרת קושי, ויש לנו משפט שאומר שכל סדרת קושי מתכנסת”. אלא שהמשפט הזה - כל סדרת קושי מתכנסת - נכון רק בממשיים (וההוכחה שלו לא טריוויאלית לגמרי כי היא מבוססת על הגדרת הממשיים) ופשוט לא נכונה ברציונליים (דוגמה לסדרת קושי לא מתכנסת: \( 1,1.4,1.42,\dots \) - סדרה של רציונליים שלא קשה לראות שהיא סדרת קושי, אבל הגבול שלה בממשיים הוא \( \sqrt{2} \) והגבול הזה אינו מספר רציונלי).

כשעוברים לדבר על הכללות כלשהן של מושג ההתכנסות, שכל מה שהן מסתמכות עליו הוא קיום של מטריקה כלשהי, ה”עולם” שבו אנחנו מתעסקים נקרא מרחב מטרי. הוא יכול לקיים את התכונה “כל סדרת קושי מתכנסת” (כמו \( \mathbb{R} \)) ויכול גם לא לקיים אותה (כמו \( \mathbb{Q} \)) ולכן טרחו לתת שם לתכונה הזו - מרחב מטרי שבו כל סדרת קושי היא מתכנסת נקרא מרחב מטרי שלם. תוצאה נחמדה מאוד שמגיעה לרוב מייד לאחר ההגדרה היא שכל מרחב מטרי ניתן להשלמה: גם אם הוא לא שלם, ניתן לשכן אותו בתוך מרחב מטרי שלם (“לשכן” כאן פירושו שהמטריקה של המרחב הגדול יותר מסכימה עם המטריקה של המרחב הקטן יותר על האיברים של המרחב הקטן הזה). זו הכללה של האבחנה ש-\( \mathbb{Q} \) הלא שלם משוכן ב-\( \mathbb{R} \) הכן שלם, והבניה שיוצרת את המרחב השלם הגדול יותר מתוך המרחב הקטן זהה באופיה לאופן שבו קנטור בנה את -\( \mathbb{R} \) מתוך \( \mathbb{Q} \) (מגדירים את אברי המרחב החדש בתור מחלקות שקילות של סדרות קושי של אברי המרחב המקורי, כשיחס השקילות אומר, בערך, ש”נראה ששתי הסדרות אמורות להתכנס לאותו מקום”).

עכשיו אפשר סוף סוף להגדיר את המושג של “מרחב הילברט” שמופיע בראש הפוסט: מרחב הילברט הוא מרחב מכפלה פנימית שהוא מרחב מטרי שלם ביחס למטריקה שמושרית מהנורמה שלו. אני מקווה שנתתי מספיק רק כדי שמשפט המחץ הזה לא יישמע ג’יברישי. עכשיו חסרים שני דברים: דוגמאות למרחבי הילברט, והסבר מדוע השלמות הזו כל כך חשובה (כלומר, דוגמאות להוכחות של משפטים שמסתמכות על השלמות והמשפטים לא נכונים בלעדיהן).

הדוגמה הפשוטה ביותר היא כל מרחב מכפלה פנימית שהוא סוף-ממדי, כלומר שיש לו בסיס עם מספר סופי של איברים. במילים אחרות - כל המרחבים שהתעסקתי איתם עד כה בבלוג כשדיברתי על מרחבי מכפלה פנימית. איך מוכיחים שמרחב כזה הוא שלם? ובכן, כמו תמיד יהיה לנו נוח לעבוד עם בסיס אורתונורמלי של המרחב: קבוצה \( \left\{ e_{1},\dots,e_{n}\right\} \) של וקטורים שהם בסיס למרחב וגם מקיימים \( \left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle =\delta_{ij} \) (אורתוגונליים זה לזה והנורמה של כל אחד מהם היא 1). כזכור, אם \( a \) הוא איבר כלשהו במרחב שלנו, אז אפשר להציג אותו בתור צירוף לינארי \( a=\sum\lambda_{i}e_{i} \), ותעלול לא מסובך מראה לנו ש-\( \lambda_{i}=\left\langle a,e_{i}\right\rangle \) (זה עובד רק עבור בסיס אורתונורמלי) - אפשר לחשוב על זה בתור “המקדמים של \( a \) בצירוף הלינארי הם בדיוק גדלי ההיטלים שלו על אברי הבסיס” (תחשבו על \( \mathbb{R}^{2} \) ועל צירי \( x,y \)). עכשיו, מהי \( \|a\| \)? פשוט מאוד:

\( \|a\|=\sqrt{\left\langle a,a\right\rangle }=\sqrt{\left\langle \sum\lambda_{i}e_{i},\sum\lambda_{j}e_{j}\right\rangle }=\sqrt{\sum\lambda_{i}\overline{\lambda_{i}}}=\sqrt{\sum\left|\lambda_{i}\right|^{2}} \)

או בסימון אחר, \( \|a\|^{2}=\sum\left|\left\langle a,e_{i}\right\rangle \right|^{2} \). ב-\( \mathbb{R}^{2} \) זה בעצם משפט פיתגורס; באופן כללי קוראים לשוויון הזה זהות פרסבל.

עכשיו, בואו ניקח סדרת קושי כלשהי, \( a_{1},a_{2},a_{3},\dots \). אנחנו רוצים להראות שהיא מתכנסת. מן הסתם נשתמש בכך שאנחנו מעל \( \mathbb{R} \) או \( \mathbb{C} \) שידוע שהם מרחבים שלמים; הרעיון יהיה להסתכל לא על הסדרה עצמה אלא על סדרות המקדמים של איבריה (מקדמים על פי הבסיס האורתונורמלי שלנו) ולהראות שהן מתכנסות. נסמן אם כן \( a_{k}=\sum a_{k}^{i}e_{i} \) (כלומר, \( a_{k}^{i} \) הוא סקלר). כעת, בואו נקבע את \( i \) ונוכיח שהסדרה \( a_{1}^{i},a_{2}^{i},a_{3}^{i},\dots \) היא סדרת קושי (במרחב שמעליו אנו עובדים, כלומר \( \mathbb{R} \) או \( \mathbb{C} \)) ולכן מתכנסת: יהא \( \varepsilon>0 \) כלשהו. מכיוון ש-\( a_{1},a_{2},a_{3},\dots \) סדרת קושי, קיים \( N \) טבעי כך שלכל \( m,k>N \) מתקיים \( \|a_{m}-a_{k}\|<\varepsilon \). נשתמש כעת בפרסבל ונקבל:

\( \sqrt{\sum\left|\left\langle a_{m}-a_{k},e_{i}\right\rangle \right|^{2}}<\varepsilon \)

או במילים אחרות,

\( \sum\left|\left\langle a_{m}-a_{k},e_{i}\right\rangle \right|^{2}<\varepsilon^{2} \)

יש לנו סכום של מספרים ממשיים אי-שליליים שקטן ממשהו, לכן אפשר להעיף איברים מהסכום ועדיין לקבל שהוא קטן מהמשהו. נקבל ש-\( \left|\left\langle a_{m}-a_{k},e_{i}\right\rangle \right|^{2}<\varepsilon^{2} \), כלומר \( \left|\left\langle a_{m}-a_{k},e_{i}\right\rangle \right|<\varepsilon \).

עכשיו, את \( \left\langle a_{m}-a_{k},e_{i}\right\rangle \) אפשר לפתוח עם הכללים הרגילים של מכפלות פנימיות:

\( \left\langle a_{m}-a_{k},e_{i}\right\rangle =\left\langle a_{m},e_{i}\right\rangle -\left\langle a_{k},e_{i}\right\rangle =a_{m}^{i}-a_{k}^{i} \)

ולכן קיבלנו: \( \left|a_{m}^{i}-a_{k}^{i}\right|<\varepsilon \).

אז סדרת המקדמים \( a_{1}^{i},a_{2}^{i},a_{3}^{i},\dots \) היא סדרת קושי במרחב מטרי שלם, ולכן היא מתכנסת: \( a_{k}^{i}\to a^{i} \). נגדיר כעת איבר חדש במרחב הוקטורי שלנו, בתור צירוף לינארי של אברי הבסיס האורתונורמלי: \( a=\sum a^{i}e_{i} \). זה ה”מועמד” שלנו להיות גבול הסדרה \( a_{1},a_{2},a_{3},\dots \) - האם אנחנו צודקים?

ובכן, עבור \( \varepsilon \) עלינו למצוא \( N \) כך שאם \( k>N \) אז \( \|a_{k}-a\|<\varepsilon \). מה שאעשה עכשיו יהיה לנקוט בתעלול טכני שבו אני בוחר מראש אפסילון שהוא “מספר קסום” שכשמגיעים לסוף ההוכחה ברור למה בחרתי בו; תעלול שכזה הוא מסוג הדברים שסטודנטים שנתקלים באינפי לראשונה מאוד מתקשים בהם - אוהו, כמה שאני התקשיתי - אבל אני מניח “בגרות מתמטית” אצל הקוראים שמשמעותה סיבולת לשימוש שלי בתעלולים כאלו (והבנה שאני יודע איזה אפסילון לבחור מתוך זה שאני מסתכל קצת קדימה ותו לא, לא סיבה עמוקה כלשהי).

אם כן, עבור \( \frac{\varepsilon}{n} \) קיימים קבועים \( N_{1},N_{2},\dots,N_{n} \) כך שאם \( k>N_{i} \) אז \( \left|a_{k}^{i}-a^{i}\right|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{n}} \). נגדיר \( N=\mbox{max}\left\{ N_{1},\dots,N_{n}\right\} \) (שימו לב לשימוש החזק שלי כאן בכך שהמרחב סוף-ממדי!) ונקבל שלכל \( k>N \) מתקיים:

\( \|a_{k}-a\|=\sqrt{\sum\left|a_{k}^{i}-a^{i}\right|^{2}}<\sqrt{\sum\frac{\varepsilon^{2}}{n}}=\sqrt{\varepsilon^{2}}=\varepsilon \)

מה שמסיים את ההוכחה. קשה לומר שזו הוכחה מתוחכמת במיוחד, אבל היא נחמדה בדיוק מכיוון שהיא ממחישה יפה את אופי השילוב בין האלגברה הלינארית (בסיסים, מכפלות פנימיות וכו’) והאנליזה (אפסילונים!!!!!)

מכיוון שכל מרחב מכפלה פנימית סוף-ממדי הוא שלם, לא היה צורך בכלל להזכיר את מושג השלמות, או אינפי, או “מרחב הילברט” כל עוד התעסקנו רק עם מרחבי מכפלה פנימית סוף-ממדיים; אנחנו כמו ההוא שגילה שהוא מדבר פרוזה כל חייו. רק כשמתחילים לדבר על מרחבים אינסוף-ממדיים פתאום אנחנו עלולים לקבל מרחבים נחמדים בהחלט שהם ממש לא מרחבי הילברט, ואז משפטים שהיינו רגילים שעובדים בהקשר הסוף-ממדי לא יעבדו לנו יותר; תכונת ההילברטיות היא מה שאנחנו נדרשים לו כדי שהם יעבדו.

את הפוסט הזה אני אסיים בהצגת שתי הדוגמאות המפורסמות ביותר למרחבי הילברט; כאן אסתפק בהצגה שלהן בלבד ובפוסט הבא בנושא אדבר עליהן יותר.

המרחב הראשון נקרא \( l^{2} \). הוא מהווה מעין הכללה של \( \mathbb{R}^{n} \) או \( \mathbb{C}^{n} \) הרגילים. במרחבים הללו, כל איבר היה סדרה של \( n \) סקלרים; ב-\( l^{2} \) כל איבר הוא סדרה אינסופית של סקלרים: \( a=\left(a_{1},a_{2},a_{3},\dots\right) \) הוא דוגמה לאיבר במרחב (שימו לב: כאן \( a_{n} \) הוא סקלר; בדוגמה שלי קודם היה מדובר על וקטורים.

כדי להפוך את המרחב הזה למרחב מכפלה פנימית עלינו להגדיר מכפלה פנימית. מה רע בלנסות להכליל את המכפלה הסקלרית הרגילה? דהיינו, להגדיר \( \left\langle a,b\right\rangle =\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\overline{b_{n}} \)? ובכן, אין שום דבר רע באופן עקרוני בהגדרה הזו וגם ננקוט בה, אבל שימו לב שיש לנו כאן טור אינסופי, ולא מובטח שהוא יתכנס בכלל. לכן אנחנו מגבילים את האיברים של \( l^{2} \) - המרחב הזה לא כולל את כל הסדרות של סקלרים, אלא רק סדרות \( a \) שעבורן \( \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|^{2}<\infty \). זה מבטיח שהמכפלה הפנימית “תעבוד”, אבל לא ניכנס לכך בפוסט הזה.

המרחב השני נקרא \( L^{2} \), והוא מרחב של פונקציות. ספציפית, בואו נקבע איזה קטע סגור, למשל \( \left[0,1\right] \), ונסתכל בכל הפונקציות \( f:\left[0,1\right]\to\mathbb{C} \). כעת נגדיר עליהן מכפלה פנימית באמצעות אינטגרל:

\( \left\langle f,g\right\rangle =\int_{0}^{1}f\left(t\right)\overline{g\left(t\right)}dt \)

כמקודם, ההגדרה לא עובדת לכל פונקציה אפשרית, ונצטרך לדרוש ש-\( f \) בכלל אינטגרבילית בקטע וש-\( \int_{0}^{1}\left|f\left(t\right)\right|^{2}<\infty \) (שמים לב לדמיון ל-\( l^{2} \)? הוא כמובן לא מקרי, המרחבים הללו הם במובן מסויים אותו דבר). אלא שעכשיו יש לנו עוד בעיות טכניות עם ההגדרה. זכרו את תכונת החיובית של מכפלה פנימית: צריך להתקיים שאם \( f\ne0 \) (\( f \) אינה פונקציית האפס) אז \( \left\langle f,f\right\rangle >0 \). אבל \( \int_{0}^{1}\left|f\left(t\right)\right|^{2} \) בהחלט יכול להתאפס - למשל, אם \( f\left(x\right)=\begin{cases}1 & x=1\\0 & 1\ne1\end{cases} \) . באופן כללי, אפשר לשנות אינסוף בן-מניה של ערכים של \( f \) מבלי לשנות את ערך האינטגרל. לכן נוקטים בפתרון סטנדרטי יחסית: מגדירים יחס שקילות על הפונקציות שלנו ומזהים כל שתי פונקציות שנבדלות רק בקבוצה ממידה אפס. אבל כדי להגדיר את ה”מידה אפס” הזה אני אצטרך כבר לדבר על מידת לבג, וזה לא מתאים לכך שאני רוצה לסיים את הפוסט כאן, אז לא ניכנס לכך כרגע.

לסיום אולי צריך לומר כמה מילים על ההיסטוריה - מתי המתמטיקאים בכלל התחילו להתעסק עם מרחבי הילברט? אפשר לנחש שמדובר על זמנו של דויד הילברט, שפעל בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20, יש את הבכורה - והוא אכן התעסק באופן אינטנסיבי עם \( l^{2} \) במחקר שלו על משוואות אינטגרליות - תחום שאני לא בקיא בו ולכן לא אציג שום דבר ממנו כרגע. את ההגדרות ה”כלליות” יותר שאני נותן כאן המציא ג’ון פון-נוימן מאוחר יותר. זו לא סקירה היסטורית רצינית; אולי אתן אחת רצינית יותר כשבאמת אדע את ההיסטוריה.