אמי נתר (או: על נשים ומתמטיקה וחוקי שימור טובים פחות וטובים יותר)

התירוץ שלי לכתוב את הפוסט הזה הוא הכתבה הזו ב”הארץ” על הכמות הדלה של רחובות בתל-אביב שנקראים על שם נשים, מכיוון שבכתבה הזו נזרק התירוץ של “אף אחד לא ממליץ”. ובכן, אני חושב שאמי נתר היא המלצה מצויינת, ובהמשך הפוסט אני מניח שגם יתברר מדוע, אבל כדאי באופן כללי לדבר על נתר כי כדאי לדבר על אחד הסטריאוטיפים הבזויים ביותר שמתעקשים בעקשנות לשרוד גם בימינו אנו וגם במדינת ישראל ה”מודרנית” - הסטריאוטיפ לפיו גברים “טובים יותר” מאשר נשים במתמטיקה (ובשלל מקצועות “ריאליים” אחרים, אבל אני אדבר על מתמטיקה כי זה מה שאני מכיר).

הנה הסיטואציה כפי שרנדל מונרו מתאר בקומיקס xkcd בצורה קולעת לחלוטין:

מי מאיתנו לא מכיר את זה? לפעמים סתם מדובר על טענה שוביניסטית לפיה גברים יותר חכמים או מוצלחים או רציונליים מנשים; לפעמים זה טיעון מחוכם יותר בכאילו שמדבר על סוגי תפיסה שונים (למשל, התמקדות ב”אובייקטים” מול התמקדות ב”קשרים בין אובייקטים”, שתמיד נשמע לי כמו לומר שבהינתן גרף, גברים מסתכלים על הצמתים ונשים מסתכלים על הקשתות - אבל מי לעזאזל שמתעסק בתורת הגרפים מתמקד בצמתים או מתמקד בקשתות? בלי להתמקד בשניהם ביחד אין תורת הגרפים).

ובכן, נסיונות ההפרדה הללו הם כמובן הבל גמור. הם הבל גמור ממספר סיבות. ראשית, רובם של ההבדלים בין גברים ונשים שעליהם מדברים כאן (להבדיל, נאמר, מההבדל של “לגבר יש כרומוזום Y ולאישה אין”) הם סטטיסטיים: הם באים לידי ביטוי בקבוצות גדולות של אנשים, אבל אם ניקח אדם בודד - גבר או אישה - לא מובטח לנו שה”תכונה” שאנו מייחסים לרוב הקבוצה שלו אכן תתבטא בו. במילים אחרות, גם נקבל את ההנחה (השגויה, ככל הנראה) שנשים פחות טובות במתמטיקה מאשר גברים מבחינה סטטיסטית, אף אישה לא צריכה לקחת את זה בתור אינדיקציה לכך שהיא אישית פחות טובה.

שנית, גם אם נקבל את ההנחה (השגויה, ככל הנראה?) שגברים ונשים חושבים ועושים מתמטיקה בצורה שונה, זה לא אומר שזה פחות טוב; ההפך, הסתכלות על המתמטיקה מכמה שיותר נקודות מבט אפשריות רק יכולה לתרום לה. בפועל אנו יודעים שבמתמטיקה עסקו בהצלחה אנשים משלל מינים, מוצאים אתניים, דתות, צבעי עור, מגדרים והעדפות מיניות, וגם רמות משכל שונות (וסליחה אם שכחתי משהו). הנסיון לתחום את המתמטיקה לתת-קבוצה כלשהי של בני האדם הוא מטופש ויכול רק להזיק לה. מבחינתי היינו מצרפים למשחק המתמטי מחר גם את הגמלים, אם רק היה לנו מושג איך לדבר איתם.

ולבסוף, העובדה הכאובה שחייבים לקחת בחשבון בכל דיון על נשים ומתמטיקה היא שהחברה שלנו עדיין דפוקה לגמרי בכל הנוגע ליחס לנשים. אז כן, לנשים יש זכות הצבעה; לנשים לכאורה יש שוויון פורמלי בפני החוק; זה עדיין לא אומר כלום על הלחצים שהחברה מפעילה על נשים, והכיוונים שאליהם החברה מנסה להכווין נשים. כל השוויון הפורמלי בפני החוק לא יעזור לנערה בת 13 שמתקשה (כמו כולם) במתמטיקה של חטיבת הביניים והמורה אומר לה לרדת ל-3 יחידות כי ממילא נשים ומתמטיקה זה לא זה.

עכשיו בואו נעבור לדבר על אמי נתר. הסיפור של נתר הוא סיפור הצלחה מסחרר: היא נחשבת לאחת מהמתמטיקאים החשובים במאה ה-20, ואני בכוונה כותב כאן “מתמטיקאים” בלשון זכר; כשמשווים אותה למתמטיקאיות היא בדרך כלל נמצאת בראש הרשימה. דווקא בגלל שמדובר על סיפור הצלחה מסחרר מעניין לראות מה היו הקשיים שעמדו בדרכה, ולחשוב עד כמה קל היה לנשים באותה התקופה פשוט לוותר.

נתר נולדה ב-1882 בארלנגן בגרמניה, למשפחה יהודית אמידה יחסית. אביה היה בעצמו פרופסור למתמטיקה. בגיל צעיר היא לא הראתה נטייה מיוחדת למתמטיקה ובעיקר התבלטה בלימודי שפות - צרפתית ואנגלית. בגיל 18 היא עברה בחינה שהסמיכה אותה להוראת השפות הללו, ומכאן לכאורה הייתה דרכה סלולה לדרך חיים מסויימת. אבל תחת זאת, היא בחרה ללמוד באוניברסיטת ארלנגן.

כאן צץ המכשול הראשון: האוניברסיטה לא ממש ששה לקבל נשים. בתור מורה, נתר יכלה לבוא לשיעורים בתור סוג של “העשרה”, אבל אסור היה לה להירשם לשיעורים, ואסור היה לה להיבחן, או לקבל ציון, ואם מרצה כלשהו היה מחליט שלא בא לו נשים בשיעור שלו, אז לא היו נשים בשיעור שלו. ומתוך 986 סטודנטים במחזור של נתר, 2 היו נשים. אחת מהן הייתה נתר עצמה. לא תנאים קורצים במיוחד.

הרושם שקיבלתי ממה שקראתי על נתר הוא ששטויות כאלו לא הזיזו לה יותר מדי. היה אכפת לה מדברים שעניינו אותה - בפרט, מתמטיקה - ומאנשים מעניינים שדיברו איתה על הדברים שעניינו אותה. כל יתר ההפרעות אולי הרגיזו אותה, אבל לא מנעו ממנה לעשות את מה שהיא רצתה. וכך קרה שהיא הגיעה בלימודיה עד לדוקטורט במתמטיקה, אצל מנחה מפורסם יחסית - פאול גורדן, שהיה בעל שם עולמי בתחום השמורות.

אה, תשאלו, מה זה לעזאזל שמורות? הרי זה ביטוי כללי נורא בימינו! בהקשר של גורדן מדובר על שמורות של פולינומים במספר משתנים תחת פעולות של חבורות מסויימות; לא אכנס לפרטים בפוסט הזה.

מכל מקום, נתר קיבלה את הדוקטורט שלה, בהצטיינות יתרה, ב-1907. מה שעושים בימינו דוקטורנטים שמחפשים קריירה אקדמית זה לצאת לפוסט דוקטורט היכן שהוא, או למצוא משרה באוניברסיטה כלשהי בתור מרצים-שמתישהו-יקבלו-תקן. אצל נתר המצב היה יותר פשוט: בארלנגן לא היה לה שום סיכוי לקבל תקן כי היא הייתה אישה, ולכן היא פשוט המשיכה ללמד באוניברסיטה ולעבוד בה ללא תשלום וללא מעמד.

למה נתר הסכימה לכך? ככל הנראה, גם כדי לסייע לאביה המזדקן, אבל בעיקר כי כפי שאמרתי, מה שעניין אותה היה מתמטיקה. היא לא הייתה צריכה לפרנס את עצמה וממילא חיה בצניעות, כך שהיא הצליחה להסתדר גם בלי כסף, וכך היא יכלה להמשיך להתפתח מבחינה מתמטית,  להרצות בכנסים וכדומה. לאט לאט היא מצאה לעצמה כיוון חדש: היא עדיין עסקה בשמורות, אבל נטשה את השיטות של גורדן ועברה לשיטות שונות, קרובות יותר לאלו של דיויד הילברט, שבשנות ה-90 של המאה ה-19 חולל מהפכה משל עצמו בתחום. נתר עצמה אמרה בדיעבד שהדוקטורט שלה היה “Crap”, כך שהמעבר הזה היה כנראה טבעי למדי עבורה.

הכישרון של נתר ככל הנראה בלט, והגיע אל אוניברסיטת גטינגן (גם היא בגרמניה) ובפרט אל הילברט עצמו, שהיה באותה העת - 1915 - מבכירי המתמטיקאים בעולם ובגטינגן בפרט. הילברט ופליקס קליין - עוד מתמטיקאי בכיר בזכות עצמו - הזמינו את נתר להצטרף אל האוניברסיטה; הזמנה לעבוד יחד עם כמה מהשמות הגדולים ביותר בעולם המתמטיקה. נתר הסכימה.

היה אפשר לחשוב שעם התמיכה של הילברט וקליין, נתר לא תתקשה למצוא משרה בגטינגן. איפה. כל נסיון לתת לנתר משרה פורמלית - עם קביעות, הרצאות, כסף וכו’ - כשל בצורה מחפירה בשל בעיות חוקיות. הבעיה: נתר הייתה אישה, והחוק לא אפשר לנשים לקבל משרות באוניברסיטה. בעניין זה מייחסים להילברט את האמירה הנזעמת “אינני רואה כיצד מין המועמד יכול לשמש טיעון כנגדו בעניין קבלה לתפקיד מרצה; אחרי הכל, אנחנו אוניברסיטה ולא בית מרחץ”.

לא עזר.

כדי לאפשר לנתר להעביר הרצאות בכל זאת, הילברט פרסם הרצאות תחת שמו, עם קרדיט לנתר בתור “עוזרת”, והיא זו שהעבירה את ההרצאות. עדיין, אפשר היה לשכוח ממשרה פורמלית. רק בשנת 1919 סוף סוף משהו זז ונתר התקבלה כמרצה.

כמובן, במשך כל הזמן הזה נתר התעסקה במה שהיה חשוב באמת בשבילה - מתמטיקה. ב-1915 הילברט וקליין היו עסוקים מעל לראש עם תורת היחסות הכללית של איינשטיין (הדיון על הקשר בין הילברט לתורת היחסות הכללית הוא מעניין לכשעצמו ואני מקווה לקיים אותו מתישהו). נתר הצטרפה לאקשן, ואחת התוצאות הייתה מה שנקרא “משפט נתר”: תוצאה בפיזיקה (כלומר, אני לא מבין בה כלום, כרגע) שמצביע על קשר עמוק בין סימטריות של מערכות פיזיקליות, ובין חוקי השימור שהן מקיימות. בניסוח פופולרי, המשפט מראה את מקורם של חוקי השימור הפיזיקליים המוכרים: למשל, חוק שימור האנרגיה נובע מסימטריה להזזה בזמן של מערכות פיזיקליות; חוק שימור התנע נובע מסימטריה להזזות במרחב; וחוק שימור המטען החשמלי נובע מסימטריית כיול (היי, אני רק מעתיק את מה שחכמים ממני אמרו - לא ויקיפדיה, נשבע!).

התוצאה הזו היא כנראה הסיבה שבגללה הפיזיקאים מכירים את נתר, אבל המתמטיקאים מכירים אותה יותר בזכות מה שעשתה בגטינגן בהמשך. שוב, מבלי להיכנס יותר מדי לפרטים בפוסט הזה, ניתן לומר שנתר לקחה את הגישה המופשטת שבה הילברט עסק במושג השמורות ולקחה אותה כמה צעדים קדימה; היא פחות או יותר המציאה את תורת החוגים כפי שאנחנו מכירים אותה כיום, ונחשבת לבולטת מבין מייסדי האלגברה המופשטת. ההשפעה שלה אינה מסתכמת רק במאמרים (ויש כאלו) אלא גם באותם דברים שקשה יותר למדוד - האינטראקציה של נתר עם מתמטיקאים אחרים, הן כמרצה שלהם והן כקולגה, האופן שבו ניגשה לבעיות, האופן שבו עזרה לאחרים לפתור את הבעיות שלהם או נתנה להם רעיונות לנושאי מחקר (זוהי נדיבות שאינה טריוויאלית באנשי אקדמיה, שחלקם מעדיפים לשמור את כל רעיונותיהם לעצמם) - כל אלו יצרו קונצנזוס בקהילה המתמטית בכל הנוגע להשפעתה הגדולה. התיאורים מזכירים לי מאוד את הילברט עצמו, שגם כן היה (בנוסף לתרומותיו הישירות למתמטיקה) מעין דמות של מנהיג בעולם המתמטי.

סטודנטים למתמטיקה שלומדים אלגברה מופשטת נתקלים בשמה של נתר כאשר הם רואים את המושג של חוג נתרי, שנקרא בצדק על שמה שכן המאמר המרכזי שהציג את החוגים הללו ותכונותיהם היה שלה. מבלי להיכנס יותר מדי לפרטים, חוג נתרי הוא חוג שבו מתקיימת תכונת השרשרת העולה: כל סדרה עולה של אידאלים מגיעה לנקודת שבת. למי שהמשפט הזה נשמע לו כמו ג’יבריש טהור, הדבר דומה לאופן שבו כל סדרה של מספרים טבעיים שבה כל איבר בסדרה מחלק את קודמו חייבת להגיע לנקודת שבת (אם נחלק ונחלק בסוף נגיע בודאות ל-1, אם לא נעצור עוד קודם) ולמעשה התכונה הזו של הטבעיים מוכיחה שהשלמים הם דוגמה לחוג נתרי. מי שגם זה נשמע לו כמו ג’יבריש - זה מגניב לאללה שנתר זיהתה את התכונה המוזרה לכאורה הזו בתור משהו שבמובן מסויים הופך את החוגים הללו למאוד נוחים. זה לא שמקרים פרטיים של חוגים כאלו לא היו ידועים לפני נתר - זה שנתר הראתה איך אפשר להשיג את מה שמשיגים במקרים הפרטיים הללו עם הרבה פחות הנחות. וזו, על רגל אחת, המהות של האלגברה המופשטת.

חזרה לצדדים הלא נחמדים של ההיסטוריה. נתר אמנם הצליחה להתגבר על המכשול הכביר של היותה אישה ולקבל משרה של ממש בגטינגן, אבל עם עליית הנאצים לשלטון ב-1933 הפכה גם יהדותה למכשול. אחת מהפעולות הראשונות של הנאצים הייתה חקיקת ה”חוק לשיקום שירות המדינה המקצועי”, החוק האנטישמי הראשון שלהם. בין היתר, החוק העיף לכל הרוחות כל יהודי שהיה מועסק באוניברסיטה, כולל את נתר. כמובן, לנוכח מעשיהם של הנאצים בהמשך החוק הזה מחוויר למדי (ובמובן מסויים הוא אף חיובי, שכן הוא גרם לאקדמאים יהודים רבים להגר לארצות אחרות ששמחו לקבל אותם), אבל הוא דוגמה טובה להרס חסר ההגיון שהנאצים זרו בכל מקום. המחלקה למתמטיקה בגטינגן, שהייתה מעצמה עולמית, ספגה מהלומה אדירה עם גירוש היהודים. סיפור ידוע (שכנראה היה באמת) מספר על הילברט שמצא את עצמו ב-1934, אחרי גירוש היהודים, יושב ליד שר התרבות הנאצי בארוחת ערב. הלה שאל את הילברט “מה מצב המתמטיקה בגטינגן כעת, משהיא חופשיה מההשפעה היהודית?” והילברט ענה לו בלי להסס “מתמטיקה בגטינגן? כבר אין כזו”.

בשלב הזה נתר כבר לא הייתה בגטינגן. בתחילה היא ניסתה, אופטימית כתמיד, להמשיך ללמד ולפגוש מתמטיקאים בביתה, אבל כאשר הגיעה הצעה ממכללת ברין מור בארצות הברית, היא קיבלה אותה ועזבה את גרמניה. במשך שנתיים היא המשיכה ללמד ולחקור בארצות הברית - בתנאים הטובים ביותר שהיו לה אי פעם, אך אז הופיע במפתיע המכשול האחרון. התגלה אצלה גידול, והיא עברה ניתוח להסרתו. לכאורה הכל עבר בשלום, אבל כעבור מספר ימים היא נפטרה במפתיע, בגיל 52. כל העניין היה פתאומי מאוד, והותיר בהלם את רוב הקהילה המתמטית שהכירה אותה.  אפשר לראות זאת בהספדים הנרגשים ורבי ההערכה שכתבו לה מתמטיקאים בולטים כמו וייל ו-ואן דאר וארדן, וגם אלברט איינשטיין עצמו:

The efforts of most human-beings are consumed in the struggle for their daily bread, but most of those who are, either through fortune or some special gift, relieved of this struggle are largely absorbed in further improving their worldly lot. Beneath the effort directed toward the accumulation of worldly goods lies all too frequently the illusion that this is the most substantial and desirable end to be achieved; but there is, fortunately, a minority composed of those who recognize early in their lives that the most beautiful and satisfying experiences open to humankind are not derived from the outside, but are bound up with the development of the individual's own feeling, thinking and acting. The genuine artists, investigators and thinkers have always been persons of this kind. However inconspicuously the life of these individuals runs its course, none the less the fruits of their endeavors are the most valuable contributions which one generation can make to its successors.

Within the past few days a distinguished mathematician, Professor Emmy Noether, formerly connected with the University of Göttingen and for the past two years at Bryn Mawr College, died in her fifty-third year. In the judgment of the most competent living mathematicians, Fräulein Noether was the most significant creative mathematical genius thus far produced since the higher education of women began. In the realm of algebra, in which the most gifted mathematicians have been busy for centuries, she discovered methods which have proved of enormous importance in the development of the present-day younger generation of mathematicians. Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. One seeks the most general ideas of operation which will bring together in simple, logical and unified form the largest possible circle of formal relationships. In this effort toward logical beauty spiritual formulas are discovered necessary for the deeper penetration into the laws of nature.

Born in a Jewish family distinguished for the love of learning, Emmy Noether, who, in spite of the efforts of the great Göttingen mathematician, Hilbert, never reached the academic standing due her in her own country, none the less surrounded herself with a group of students and investigators at Göttingen, who have already become distinguished as teachers and investigators. Her unselfish, significant work over a period of many years was rewarded by the new rulers of Germany with a dismissal, which cost her the means of maintaining her simple life and the

opportunity to carry on her mathematical studies. Farsighted friends of science in this country were fortunately able to make such arrangements at Bryn Mawr College and at Princeton that she found in America up to the day of her death not only colleagues who esteemed her friendship but grateful pupils whose enthusiasm made her last years the happiest and perhaps the most fruitful of her entire career.

ומה המצב כיום? נשים כבר מורשות להירשם לאוניברסיטה בדיוק כמו גברים (תודה באמת!) ואין חוקים שאוסרים עליהן להיות חברות סגל. יש הרבה מתמטיקאיות מוצלחות ובולטות (אבל עדיין לא מספיק!) האם המצב שוויוני? לא, עדיין לא. האם עדיין קיים דיכוי? לדעתי כן, אבל זה כבר לא דיכוי של חוקים בירוקרטיים או נאציים; זה דיכוי שהחברה מפעילה, אולי אף בלי דעת, מכיוון שהיא עדיין לא הצליחה לעכל את הרעיון שנשים ומתמטיקה זה מוצלח בדיוק כמו גברים ומתמטיקה (כפי שהיא לא מעכלת נשים בשלל תפקידים אחרים - וגם גברים, במידה פחותה, בתפקידים "נשיים"). אם לדבר לרגע על נסיוני האישי - יצא לי ללמוד כסטודנט לצד נשים, לחקור כדוקטורנט לצד נשים, ללמד נשים כמתרגל וכמרצה, ומכל אלו התחושה שלי היא פשוטה: ההבדל העיקרי בין גברים ונשים במתמטיקה, ככל שיצא לי לראות, הוא שנשים נוטות להיות בעלות כתב יד קריא יותר.

ובגלל שהרעיון הזה כל כך חשוב, אני חושב שראוי יהיה להנציח את נתר בישראל יותר מכפי שנעשה כעת (על שמה נקרא מכון מחקר למתמטיקה באוניברסיטת בר אילן). אבל זה, כאמור, סתם תירוץ כדי לכתוב פוסט שהייתי צריך לכתוב כבר לפני הרבה מאוד זמן.