אז מה זו אלגברה מופשטת?

אני רוצה להתחיל סדרת פוסטים על נושא שאמנם הופיע לא מעט בבלוג בעבר, אבל תמיד בתפזורת שכזו ונותרו בו הרבה חורים, ולדעתי הגיע הזמן להציג אותו בצורה מסודרת יותר - אלגברה מופשטת. קשה להפריז בחשיבות התחום הזה - הוא ככל הנראה אחד מעמודי היסוד המרכזיים של המתמטיקה בימינו. לטעמי האישי הוא גם מהיפים והמעניינים שבהם, ויש לא מעט על מה לדבר בו, אז יהיה כיף. כרגיל, נתחיל עם פוסט מנפנף ידיים שיסביר על מה בערך כל המהומה ולפרטים נגיע בפוסטים הבאים.

מה זה התחום הזה? ההגדרה הכי ישר ולעניין שאני מכיר היא שזה התחום שמתעסק עם חבורות, חוגים, שדות, מה שביניהם, ועוד כמה דברים דומים. הבעיה היא שזו הגדרה שלא אומרת כלום בפני עצמה - מה זה בכלל חבורה? מה זה חוג? מאיפה הם הגיעו? למה הם נמצאים תחת אותו נושא? ולמה קוראים לזה “אלגברה”? מה הקשר לאלגברה של בית ספר?

אז אפשר לתת שתי תשובות רציניות יותר ואת שתיהן אתן בפוסט הזה. מה שמעניין הוא ששתיהן די הפוכות זו לזו באופיין. אפשר לגשת לנושא הזה מפרספקטיבה היסטורית - מאיפה המושגים הללו התפתחו, מה הייתה המוטיבציה לפתח אותם, וכדומה. בגישה הזו השאלה “למה בכלל קוראים לזה אלגברה” נענית בקלות, למשל. הגישה השניה היא הגישה שבה נוקטים כשמלמדים את הנושאים הללו באוניברסיטה או ברוב ספרי הלימוד - להתחיל לתאר את המושגים בצורה כמעט יבשה, ואז להתחיל לתת דוגמאות. זו גישה כמעט הפוכה כי באופן היסטורי, המושגים שאותם לומדים בספרי הלימוד הם התוצר המוגמר של מאה ומשהו שנים של התעסקות בנושא. ההיפוך הזה בין הסדר שבו דברים התפתחו ובין הסדר שבו מלמדים אותם מאפיין מאוד את המתמטיקה באופן כללי, אבל הוא בולט במיוחד באלגברה מופשטת, אפילו בצורה קיצונית - בקורסי המבוא בקושי נוגעים בבעיות שמהן המושגים הללו התפתחו בפועל.

בואו נתחיל מלראות דוגמא, שלדעתי עוזרת מאוד להבין עם מה אנחנו מתעסקים פה. נתחיל עם המספרים השלמים: \( 0,1,-1,2,-2 \) וכן הלאה. את הקבוצה הזו מסמנים ב-\( \mathbb{Z} \). מה אנחנו יודעים לעשות עם המספרים השלמים? הרבה דברים, אבל יש דברים שלמדנו כבר בבית הספר היסודי - אפשר לחבר, לחסר, לכפול ולחלק. אנחנו רואים בבית הספר היסודי כל מני חוקים ששולטים בפעולות הללו. למשל, את חוק החילוף, שאומר ש-\( a+b=b+a \) וכנ”ל עבור כפל; ואת חוק הקיבוץ שאומר ש-\( a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c \) וכנ”ל עבור כפל; ואת חוק הפילוג שאומר ש-\( a\times\left(b+c\right)=a\times b+a\times c \). החוקים הללו מתארים תכונות שמתקיימות על ידי פעולות החיבור והכפל. עוד תכונות, קצת יותר עדינות, הן למשל העובדה ש-\( a+0=a \) לכל \( a \), כלומר ש-\( 0 \) הוא “אדיש” לפעולת החיבור, ואותו דבר עבור 1 ביחס לכפל. מכל התכונות הללו אפשר להסיק דברים. למשל, הטענה הידועה שאפס כפול משהו זה תמיד אפס ניתנת להוכחה בצורה הבאה: \( a\times0=a\times\left(0+0\right)=a\times0+a\times0 \) ועל ידי העברת אגפים (שגם אותה צריך להצדיק עם תכונה מתאימה) מקבלים ש-\( 0=a\times0 \).

האלגברה ה”קלאסית” מתעסקת בפתרון משוואות פולינומיות - משוואות שבהן משתתפים מספרים שהקשר ביניהם הוא של חיבור, חיסור וכפל. למשל המשוואה \( x^{2}+5x-3=0 \), במילים, היא “מהו המספר שכאשר כופלים אותו בעצמו, מחברים אליו את 5 כפול עצמו, ומחסרים מהתוצאה 3, מקבלים 0?”. הדגשתי פה את החלקים הרלוונטיים. זה היה סוג השאלות שבהן התעסק דיופנטוס היווני במאה השלישית לספירה כאשר פחות-או-יותר ייסד את האלגברה; זה היה סוג השאלות שבהן התעסק אל-ח’ואריזמי הפרסי במאה התשיעית לספירה (המילה “אלגברה” נגזרת משם של הספר שכתב על הנושא). זה היה סוג השאלות שבהן התעסקו במאה ה-16 מתמטיקאים איטלקיים כמו טרטלייה וקרדאנו ואחרים. נקודה מעניינת אחת היא שכולם התעסקו בבעיות הללו באופן מילולי, כלומר לא היה להם בכלל משהו כמו \( x^{2}+5x-3=0 \) אלא רק את הניסוח המסורבל שכתבתי למעלה. לכתיב ה”סימבולי” שבו משתמשים באותיות כדי לתאר נעלמים ופרמטרים החלו לעבור רק במאה ה-17, בזכות מתמטיקאים כמו וייטה ודקארט; זו אולי הקפיצה החשובה ביותר קדימה באלגברה לפני הולדת האלגברה המופשטת. זו גם דוגמה מצויינת לאיך שהמתמטיקה מתקדמת - כל הזמן מומצאות דרכי סימון וחשיבה על דברים שהן פשוטות ומועילות יותר ויותר ובדיעבד אפשר לתהות איך בכלל הסתדרנו בלעדיהן.

אוקיי, הבנו בערך מה זה המספרים השלמים ואיזה היבטים שלהם מתקשרים לנו לאלגברה קלאסית. איפה האלגברה המופשטת נכנסת לתמונה? בואו נביט שוב על המשוואה \( x^{2}+5x-3=0 \). ליצור בצד שמאל שלה - \( x^{2}+5x-3 \) - קוראים פולינום. גם פולינומים אפשר לחבר ולחסר ולכפול. למשל, \( \left(x^{2}+5x-3\right)+\left(2x+4\right)=x^{2}+7x+1 \), ולמשל \( \left(x+3\right)\left(x-1\right)=x^{2}+3x-x-3=x^{2}+2x-3 \). ומה עם חלוקה? מספרים שלמים אפשר לחלק עם שארית. למשל, \( 17 \) לחלק ל-\( 6 \) יוצא \( 2 \) עם שארית 5; אפשר לכתוב את זה גם כך: \( 17=2\times6+5 \). כעת, גם פולינומים אפשר לחלק עם שארית. למשל, \( x^{2}+5x-3=\left(x+2\right)\left(x+3\right)-9 \) ולכן אפשר לומר ש-\( x^{2}+5x-3 \) לחלק ב-\( x+3 \) נותן לנו \( x+2 \) עם שארית \( -9 \).

מה שקורה פה הוא שיש לנו שני אובייקטים מתמטיים שונים: האחד הוא המספרים השלמים החביבים והאהובים, והשני הוא פולינומים (כדי להיות מדויק אני צריך להגיד “פולינומים מעל הממשיים” או משהו אבל ממתי הבלוג הזה מנסה להיות מדויק). שני האובייקטים הללו הם שונים בכל מני דרכים מהותיות שלא אציג כאן כרגע, אבל התכונות האלגבריות שלהם דומות. יש לנו פעולות חיבור וכפל ש”מתנהגות יפה” על פי חוקי החילוף/קיבוץ/פילוג, ויש לנו סוג של חלוקה עם שארית בשני המקרים. מה שהאלגברה המופשטת עושה הוא לקחת את האובייקטים הקונקרטיים הללו, “לזקק” מהם את התכונות האלגבריות הללו, ולשאול את עצמנו מה אנחנו יכולים לומר על אובייקט כלשהו שמקיים את התכונות הללו. בלשון של האלגברה המופשטת, השלמים והפולינומים הם שניהם חוג אוקלידי, כאשר “חוג” בא לתאר קבוצה שיש עליה פעולות חיבור וכפל שהן “נחמדות” (עד רמה מסויימת; למשל, בחוג כללי לא דורשים שהכפל יקיים את חוק החילוף למרות שכן מצפים שהחיבור יקיים אותו) ו”אוקלידי” בא לומר שאנחנו בסוג מאוד מיוחד של חוג שיש בו מושג של חלוקה עם שארית (ויש למושג הזה השלכות מאוד לא טריוויאליות על התכונות של החוג הזה). ביצענו פה הפשטה. הפסקנו לדבר על אובייקטים מתמטיים קונקרטיים והתחלנו להסתכל על דבר כלשהו שכל המידע שיש לנו עליו הוא קיום התכונות האלגבריות המעניינות הללו.

כיום גישת ההפשטה הזו היא האלף-בית המתמטי; אין כמעט תחום מתמטי שלא מתבצעת בו הפשטה ברמה זו או אחרת. אבל עד למאה ה-19 הרעיון הזה היה זר מאוד למתמטיקה. המתמטיקאים התעסקו באובייקטים קונקרטיים; רוב המתמטיקאים שהתוצאות שלהם הן כיום אבני יסוד באלגברה המופשטת הוכיחו אותם עבור אובייקטים קונקרטיים. ההפשטה הגיעה רק אחר כך, לאט לאט ובהדרגה. זה תהליך שמרתק להתעמק בו (וננסה לעשות זאת בהמשך) והוא הגיע לשיא בסוף המאה ה-19 ובתחילת המאה ה-20. לרוב מציינים את שיא התהליך הזה בשנות ה-20 של המאה ה-20, עם העבודות של אמי נתר ואמיל ארטין, אבל זה היה סופו של תהליך שהיו שותפים לו מתמטיקאים רבים.

אני מקווה שעכשיו טיפה ברור יותר מה הרעיון הכללי; אני אנסה לתת עכשיו סקירה זריזה מאוד של הדברים שנלמדים בתור מבוא לאלגברה מופשטת (כלומר, בקורסים הרלוונטיים בתואר ראשון במתמטיקה). אלו גם הנושאים שאני הולך להתעסק בהם בפוסטים שלי.

נהוג להתחיל ממושג החבורה. חבורה היא קבוצה שמוגדרת עליה רק פעולה אחת, שנקראת לרוב “כפל”, ודורשים ממנה שתקיים את חוג הקיבוץ, שיהיה איבר אדיש ביחס לפעולת הכפל, ושלכל איבר יהיה הופכי (איבר אחר כך שהמכפלה של שניהם נותנת את האדיש). זו רשימה דלה מאוד של תכונות, אבל אפשר להסיק מהן הרבה מאוד ויש שלל מושגים מעניינים שמתבססים על התכונות הללו. למעשה, אין לנו גם כיום אפיון מלא של “איך נראים כל האובייקטים המתמטיים שמקיימים את התכונות הללו”. אנחנו אוהבים חבורות כי הן צצות בשלל מקומות במתמטיקה. המספרים השלמים, למשל, הם חבורה אם לוקחים בתור “כפל” דווקא את פעולת החיבור שלהם (מבלבל? זכרו שבתוך חבורה “כפל” הוא פשוט שם של פעולה מופשטת, שבהקשרים קונקרטיים שונים יהיו לה משמעויות שונות), אבל חבורות מעניינות יותר מתקבלות כשמסתכלים על סימטריות של אובייקטים מתמטיים - דרכים שונות “לערבב” אובייקט מתמטי שאחריהן הוא עדיין ייראה אותו הדבר. למשל, אפשר לקחת ריבוע ולסובב אותו או לשקף אותו. ואפשר לקחת משוואה ולבצע החלפות בין הפתרונות שלה, וכדומה. כל הדברים הללו מתוארים על ידי מושג שנקרא תמורה; במובן מסויים אפשר לחשוב על כל החבורות בתור תמורות.

אחד מהדברים הנחמדים בחבורות הוא שאין לעיסוק בהן מקור יחיד; הן צצו בשלושה-ארבעה מוקדים שונים במתמטיקה בזה אחר זה לפני שהגיעו למסקנה שכל המוקדים הללו מתארים את אותו האובייקט ולכן למה לא להכליל. מוקד אחד היה בנסיון לפתור משוואות פולינומיות ממעלה חמישית ומעלה בעזרת פעולות החשבון והוצאות שורשים - נסיון שהוכח לבסוף שהוא בלתי אפשרי; מוקד אחר היה בתורת המספרים, ומוקד שלישי היה בגיאומטריה. אחרי שנכיר כמה דוגמאות של חבורות יהיה קל יותר להבין את השימושיות שלהן בתחומים הללו.

המושג שמגיע אחרי חבורה הוא זה של חוג שכבר הזכרתי, שאפשר לחשוב עליו בתור “לוקחים חבורה ואז מוסיפים עוד פעולה כך שמתקיים חוג הפילוג”. המספרים השלמים והפולינומים הם דוגמאות לחוגים שכבר הזכרתי, ויש עוד דוגמאות מעניינות, מאוד, למשל החוג של כל המספרים המרוכבים מהצורה \( a+bi \) כאשר \( a,b \) הם מספרים שלמים (החוג הזה נקרא השלמים הגאוסיים). העיסוק בחוגים התעורר מתוך נסיון לפתור בעיות מסויימות בתורת המספרים (למשל, המשפט האחרון של פרמה, אבל ממש לא רק) שבו התברר ש”לא מספיק” לנו לעבוד עם המספרים השלמים ומאוד משתלם לעבוד עם קבוצות מספרים גדולות יותר שעדיין מתנהגות בערך כמו השלמים (השלמים הגאוסיים הם דוגמא קלאסית).

אחרי חוגים מגיע המושג של שדה, שאפשר לחשוב עליו בתור חוג שבו שתי הפעולות “מתנהגות נחמד” (באופן לא לגמרי מדויק אפשר לומר ששדה הוא קבוצה עם שתי פעולות שביחס לשתיהן הקבוצה היא חבורה ובנוסף מתקיים חוג הפילוג - זה לא לגמרי מדויק כי אי אפשר לחלק באפס, אבל לא ניכנס לזה כרגע). למשל, המספרים הרציונליים או הממשיים הם שדות. העניין בשדות התעורר לראשונה גם כן בהקשר של פתרון משוואות פולינומיות (תורת גלואה, שהומצאה בידי אווריסט גלואה בתחילת המאה ה-19, מחברת את המושגים של חבורה ושדה בצורה גאונית לחלוטין כדי לתקוף את הנושא הזה). והם רלוונטיים גם בהקשר של תורת המספרים שבו נולדו החוגים.

ברגע שיש לנו חבורות, חוגים ושדות כבר אפשר להציג כמה תוצאות מאוד נחמדות. המפורסמות שבהן, שכבר הוצגו בבלוג בצורה חצי פורמלית, הן ההוכחה שאין פתרון באמצעות רדיקלים למשוואה ממעלה חמישית ומעלה, והוכחת אי-הפתירות של שלוש בעיות הבניה בסרגל ומחוגה המפורסמות של היוונים (ריבוע המעגל, הכפלת הקוביה וחציית הזווית לשלוש). הדוגמאות הללו מרתקות כי הן סותמות את הגולל על בעיות מתמטיות שהיו פתוחות במשך אלפי שנים באמצעות כלים מסוג שעליו בכלל לא חשבו עד לאותה תקופה; אם זו לא הוכחה ליעילות של התחום קשה לומר מה כן.

מבנה אלגברי נוסף שדומה באופיו לחבורות, חוגים ושדות הוא מרחב וקטורי. אפשר לחשוב על מרחב וקטורי בתור מה שקורה כשלוקחים זוגות של איברים משדה, או שלשות של איברים כאלו, וכדומה, ומסתכלים על המבנה האלגברי שלהם. אם הממשיים הם דוגמה לשדה, הרי שהמישור או המרחב האוקלידיים הם דוגמאות למרחבים וקטוריים. התחום שמתעסק במרחבים וקטוריים נקרא אלגברה לינארית והוא שימושי בצורה יוצאת דופן במתמטיקה. עד כדי כך שעל פי רוב בוחרים ללמד אותו באוניברסיטה כבר בסמסטר הראשון, עוד לפני שהסטודנטים נתקלים בכלל באלגברה מופשטת, מה שגורם לאלגברה לינארית להפוך לשער הכניסה לעולם של האלגברה המופשטת, ודווקא עם אחד מהמבנים האלגבריים שהם עמוסים יותר באקסיומות. לדעתי האישית זה שער כניסה מצויין; כפי שאומר עוד בהמשך, דווקא ככל שיש יותר אקסיומות כך התחום הוא במובן מסויים קל יותר לעיכול, כי דברים מתנהגים בצורה יותר מסודרת ומוכרת לנו.

על אלגברה לינארית כבר יש לי סדרה לא קצרה של פוסטים בבלוג כך שלא אגע בנושא הזה מחדש. עם זאת, הוא עדיין רלוונטי בנושאים מתקדמים יותר באלגברה מופשטת, וניתן גם להכליל אותו בשתי דרכים שונות. ראשית, אפשר לדבר על “מרחב וקטורי” שהאיברים שלו נלקחים לא מתוך שדה אלא מתוך חוג; ל”מרחב וקטורי” כזה קוראים מודול. שנית, אפשר לדבר על מרחבים וקטוריים שיש פעולת כפל בין איבריהם, ולא רק פעולות של חיבור וכפל בסקלר; למרחבים וקטוריים כאלו קוראים אלגבראות. גם פה יש הרבה מה לומר על המושגים הללו, גם מבחינת רקע היסטורי וגם מבחינת שימושים (אחת מהתוצאות הבסיסיות האהובות עלי בתורת המודולים היא משפט שמכליל את מה שנקרא “משפט המבנה של חבורות אבליות נוצרות סופית” מתורת החבורות ואת צורת ז’ורדן והצורה הרציונלית מאלגברה לינארית - כל אלו נובעים מאותו דבר בסיסי יותר).

אם כן, זו הצהרת הכוונות של מה שארצה לדבר עליו. אלו מכם שבקיאים בנושאים הללו בוודאי שמו לב שיש פה חור גדול מאוד בדמות מה שאני לא הולך לדבר עליו, וזו תורת הקטגוריות. למי שלא מכיר, על רגל אחת אפשר לומר שאם אלגברה מופשטת היא מה שקורה כשלוקחים את המתמטיקה ה”קונקרטית” ומבצעים לה הפשטה, אז תורת הקטגוריות היא מה שקורה כשלוקחים את האלגברה המופשטת ומבצעים לה הפשטה (ולא רק לה, אלא לרוב תחומי המתמטיקה). זה רעיון מרתק בפני עצמו, אבל הוא גם רלוונטי באופן כללי למי שלומדים מתמטיקה ונתקלים שוב ושוב באותם מושגים או ברעיונות דומים (הדוגמה הקלאסית היא פונקציות “משמרות מבנה” שיש בין אובייקטים מתמטיים שונים - איזומורפיזמים בין מבנים אלגבריים; הומיאומורפיזמים בין מרחבים טופולוגיים; פונקציות חח”ע ועל בין קבוצות, ועוד ועוד).

אז למה לא לדבר על זה? כי לדעתי גם באופן כללי לא כדאי לדבר יותר מדי על הפשטה בלי שתהיה לנגד עינינו ראייה רחבה של שלל הדברים שמנסים לבצע להם את ההפשטה הזו. ההיקף של תורת הקטגוריות רחב מכדי שאציג את ההפשטה הזו, ולכן אני חושב שמה שנכון לעשות הוא להציג את תורת הקטגוריות למי שכבר יש לו היכרות רחבה מספיק עם מתמטיקה באופן כללי - בוודאי לא להראות אותה בד בבד עם הצגה של אלגברה מופשטת למי שלא מכיר אותה. והנה עוד נימוק שאולי לא יהיה כל כך פופולרי - אוהבים לומר לפעמים שהצגה מוכוונת תורת-קטגוריות של דברים היא “נקייה” יותר; ובכן, אני חושב שכדי ליהנות מכמה שדברים הם נקיים, צריך קודם כל להתלכלך טוב טוב. הרבה פעמים קשה להעריך הפשטה כל עוד לא נכנסים לבוץ של מה שהיא הצליחה להתנתק ממנו.

מן הסתם, הטענה הזו נגד הפשטה שאני מפנה כנגד תורת הקטגוריות יכולה להיות מופנית גם כלפי האלגברה המופשטת עצמה, אז אצהיר מראש: אני מקווה שגם נתלכלך פה טוב טוב בבוץ.