מודולים וחוגים נתריים

כפי שאני אומר שוב ושוב, היעד שלי בסדרת הפוסטים על מודולים הוא משפט המבנה למודולים נוצרים סופית מעל תחום ראשי. אז בואו נדבר על התכונה הזו של “מודול נוצר סופית”. כזכור, אם \( A\subseteq M \) היא קבוצה של איברים של \( R \)-מודול \( M \), אני מסמן ב-\( RA \) את קבוצת כל הצירופים הלינאריים הסופיים מהצורה \( \sum r_{i}a_{i} \) כאשר \( r_{i}\in R \) ו-\( a_{i}\in A \), ואני אומר ש-\( A \) יוצרת את \( M \) אם \( RA=M \). אם \( A \) סופית אני אומר - כמה מפתיע - ש-\( M \) נוצר סופית. במקרה הזה גם נחמד לפעמים לסמן \( A=\left\{ a_{1},\dots,a_{n}\right\} \) ולכתוב \( M=Ra_{1}+\dots+Ra_{n} \).

כשהצגתי מודולים הראיתי על הדרך גם אנומליה - ייתכן ש-\( M \) הוא נוצר סופית אבל יש ל-\( M \) תת-מודולים שאינם נוצרים סופית. מכיוון שזו סיטואציה לא רצויה, אני רוצה שננסה להבין אילו מודולים מתחמקים ממנה. זה מוביל אותנו להגדרה של מודול נתרי, על שם אמי נתר. בנוסף לכך שנתר המציאה את המושג האבסטרקטי של מודול, היא גם הבחינה בתכונה הקריטית שמאפשרת לזהות ש-\( M \) יהיה בעל התכונה הרצויה הנ”ל; אפשר לנסח את התכונה שהיא מצאה בתור אין ב-\( M \) שרשרת עולה אינסופית, או “\( M \) מקיים את תנאי השרשרת העולה”. בואו נדבר פורמלית.

שרשרת של תת-מודולים של \( M \) היא סדרה \( M_{1},M_{2},M_{3},\dots \) של תת-מודולים כך ש-\( M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq M_{3}\subseteq\dots \) (כל מי שמכיר קצת את הטרמינולוגיות של קבוצות סדורות כבר נתקל ב”שרשרת” בהקשר הזה). השרשרת הזו היא אינסופית - יש אינסוף תת-מודולים בסדרה \( M_{1},M_{2},M_{3},\dots \) - אבל ייתכן שהאינסופיות הזו היא “מדומה” - החל ממקום מסויים בשרשרת כל האיברים זהים, כלומר קיים \( N \) כך שלכל \( k\ge N \) מתקיים \( M_{k}=M_{N} \). אם כל שרשרת של תת-מודולים של \( M \) מקיימת זאת, אז \( M \) נקרא נתרי.

בשביל לקבל אינטואיציה, בואו נעבור לרגע לחוגים. כזכור, כל חוג הוא גם מודול ולכן כל ההגדרות פה עובדות גם עבור חוגים. בחוג, במקום “תת-מודול” יש לנו אידאלים, כך שחוג נתרי הוא חוג שבו אין שרשרת עולה אינסופית של אידאלים. עכשיו, בואו נזכור שהאינטואיציה שלנו להכלה של אידאלים היא “חלוקה” - אם \( I\subseteq J \) אז אינטואיטיבית, \( J \) מחלק את \( I \). כאשר \( R=\mathbb{Z} \) זה בדיוק מה שקורה: \( \left\langle a\right\rangle \subseteq\left\langle b\right\rangle \) פירושו ש-\( b|a \). לכן, אפשר לחשוב על “שרשרת עולה של תת-מודולים” בתור סדרה יורדת אינסופית של מחלקים של איבר כלשהו. מה שנתר אומרת לנו הוא שאנחנו צריכים שהתהליך שבו לוקחים איבר, ואז לוקחים גורם שלו, ואז לוקחים גורם שלו, ושוב ושוב - זה חייב להסתיים. למשל, עבור השלמים, קחו את 60, ואז קחו את הגורם שלו 12, ואז את הגורם שלו 4, ואז את 2, ואז את 1 - וסיימנו; אני לא יכול לקחת מחלק של 1 ששונה ממנו. קיבלתי את השרשרת ה”אינסופית” \( \left\langle 60\right\rangle \subseteq\left\langle 12\right\rangle \subseteq\left\langle 4\right\rangle \subseteq\left\langle 2\right\rangle \subseteq\left\langle 1\right\rangle \subseteq\left\langle 1\right\rangle \subseteq\dots \).

האם כבר ראינו משהו דומה בעבר בסדרת הפוסטים הזו? ובכן, כן. בשלב כלשהו הוכחתי שכל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה; האתגר המרכזי היה דווקא להראות שלכל איבר בתחום ראשי קיים פירוק לגורמים, ושם השתמשתי ברעיון דומה ובאקסיומת הבחירה שהולכת לככב גם בפוסט הזה.

אני רוצה להוכיח עכשיו את השקילות בין שלוש תכונות שונות של מודולים, שכולן סובבות סביב אותו הדבר:

1. \( M \) הוא מודול נתרי.
2. לכל קבוצה לא ריקה של תת-מודולים של \( M \) יש איבר מקסימלי.
3. כל תת-מודול של \( M \) הוא נוצר סופית.

הגרירה מהתכונה הראשונה לשניה מזכירה בצורה חשודה את הלמה של צורן, שבתורה שקולה לאקסיומת הבחירה; הלמה של צורן אומרת שאם יש לנו קבוצה סדורה חלקית שבה לכל שרשרת יש חסם מלעיל, אז קיים בקבוצה איבר מקסימלי. ההגדרה של נתריות קצת יותר מחמירה - היא בעצם דורשת שאותו חסם מלעיל יהיה חלק מהשרשרת. זה מקטין משמעותית את הקושי של ההוכחה; בהוכחה של הלמה של צורן יש סיבוך מזעזע שנובע מכך שהשרשרת יכולה להיות אינסופית וענקית בגודלה וצריך להכניס סודרים לתמונה. כאן כל שרשרת היא סופית (אין טעם להמשיך אותה מעבר למופע הראשון של האיבר שחוזר על עצמו).

אז איך הולכת ההוכחה ש-1 גורר את 2? נניח ש-\( A \) היא קבוצה לא ריקה של תת-מודולים של \( M \). ניקח איזה שהוא \( M_{1}\in A \). אם הוא מקסימלי, סיימנו; אחרת, קיים \( M_{2}\in A \) כך ש-\( M_{1}\subseteq M_{2} \). אם \( M_{2} \) מקסימלי, סיימנו; אחרת קיים \( M_{3}\in A \) כך ש-\( M_{2}\subseteq M_{3} \) וכן הלאה. נקבל שרשרת \( M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq\dots \) עם איבר אחרון \( M_{n} \) שהוא בהכרח איבר מקסימלי ב-\( A \) אחרת היה אפשר להמשיך את השרשרת גם אחריו.

אקסיומת הבחירה נכנסת לפעולה כאן עבור הבניה של השרשרת \( M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq\dots \). בלעדיה אי אפשר להוכיח שהשרשרת הזו (שהיא בעצם פונקציה מהטבעיים החיוביים ל-\( A \)) קיימת. אלא שזה לא מדויק; אפשר להסתפק בגרסה חלשה יותר של אקסיומת הבחירה, שנקראת אקסיומת הבחירה התלויה (Dependent choice). זו אקסיומה שמבטיחה הרבה פחות - היא מאפשרת לנו רק לבנות סדרות בנות מניה (להבדיל מאקסיומת הבחירה הכללית שמאפשרת לבנות פונקציות שתחומן כל דבר) עבור הסיטואציה שבה האפשרויות שלנו לבחור איבר עבור מקום בסדרה תלויות בבחירה של האיבר הקודם, כמו כאן.

כדי להראות ש-2 גורר את 3, ניקח תת-מודול \( N \) של \( M \), ונגדיר קבוצה של כל תת-המודולים של \( M \) שנוצרים על ידי מספר סופי של איברים מ-\( N \). על פי ההנחה של 2, בקבוצה הזו יש איבר מקסימלי, \( N^{\prime} \); נסמן את הקבוצה היוצרת שלו ב-\( A=\left\{ a_{1},\dots,a_{n}\right\} \). אם \( N=RA \) אז סיימנו, כי זה מראה ש-\( N \) נוצר סופית; אחרת קיים \( b\in N \) כך ש-\( b\notin RA \). אבל אז \( RA+Rb \) הוא תת-מודול של \( M \) שהוא נוצר סופית (על ידי \( n+1 \) איברים) ומכיל ממש את האיבר ה”מקסימלי” \( N^{\prime} \) וזה בלתי אפשרי, מה שמסיים את הההוכחה. שימו לב שבגרירה הזו לא נזקקנו לאקסיומת הבחירה כלל.

בשביל להראות ש-3 גורר את 1, בואו ניקח שרשרת \( M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq\dots \) ונראה שהיא מגיעה לנקודת שבת. אני אשתמש בתעלול שמאוד מזכיר את האופן שבו “מטפלים” בשרשראות כשמוכיחים דברים עם הלמה של צורן: אני אגדיר \( N=\bigcup_{n=1}^{\infty}M_{n} \) ואקבל תת-מודול של \( M \). באופן כללי איחוד של תת-מודולים לא חייב לצאת תת-מודול, אבל בגלל תכונת ההכלה זה כן קורה כאן: אם \( a,b\in N \) אז \( a\in M_{k} \) ו-\( b\in M_{t} \) עבור \( k,t \) כלשהם; נניח בלי הגבלת הכלליות ש-\( k\le t \) אז \( a,b\in M_{t} \) ואז מכיוון ש-\( M_{t} \) הוא תת-מודול גם \( r_{1}a+r_{2}b\in M_{t}\subseteq M \) לכל צירוף לינארי של שני אלו; זה מוכיח את תכונת הסגירות הנדרשת.

עכשיו ניתן להשתמש בתכונה 3 ולקבל קבוצת יוצרים \( A=\left\{ a_{1},\dots,a_{n}\right\} \) של \( N \), כלומר \( N=RA \). מכיוון ש-\( N \) הוא איחוד, לכל \( a_{i} \) קיים \( M_{k_{i}} \) כך ש-\( a_{i}\in M_{k_{i}} \). מכיוון שיש רק מספר סופי של \( k_{i} \)-ים כאלו, יש \( k \) שגדול או שווה לכולם, ועבורו נקבל \( A\subseteq M_{k} \). מכאן שב-\( M_{k} \) יש את כל האיברים של \( N \), ולכן \( M_{k} \) הוא נקודת השבת המבוקשת. גם בכיוון הזה לא נזקקנו לאקסיומת הבחירה.

שאלה מעניינת אחת שנשארה לנו היא האם צריך את אקסיומת הבחירה אם רוצים לעבור ישירות מ-1 אל 3. זוכרים איך הוכחתי שחוג אוקלידי גורר תחום ראשי גורר תחום פריקות יחידה? בשביל ה”תחום ראשי גורר תחום פריקות יחידה” נזקקתי לאקסיומת הבחירה, אבל יכלתי “לדלג” על הצורך הזה עבור חוגים אוקלידיים ולהשתמש בהוכחה אחרת, ישירה, שמראה שכל חוג אוקלידי הוא תחום פריקות יחידה ולא דורשת את אקסיומת הבחירה. אולי זה המצב פה?

ובכן, לא. אני לא יכול להוכיח לכם שחייבים את אקסיומת הבחירה התלויה פה, אבל אני לא מכיר דרך להוכיח את הגרירה הזו בלעדיה. אם אני מנסה לחשוב איך להוכיח מ-1 את 3 באופן “טבעי”, ההוכחה שאני מקבל היא זו: יהא \( N \) תת-מודול של \( M \) שאנחנו רוצים להוכיח שהוא נוצר סופית. נבחר איבר \( a_{1}\in N \). אם \( Ra_{1}=N \) סיימנו, הידד. אחרת, נבחר \( a_{2}\notin Ra_{1} \) (הרי לכם בחירה תלויה) ונבדוק האם \( N=Ra_{1}+Ra_{2} \), וכן הלאה. בצורה הזו נבנה שרשרת עולה של תתי-מודולים \( M_{n}=Ra_{1}+\dots+Ra_{n} \) שאם היא נעצרת, חייבת להיעצר כי קיבלנו שוויון ל-\( N \).

יש לי עוד דבר קטן אחד לומר על מודולים נתריים - או ליתר דיוק, על חוגים נתריים. אנחנו הולכים לדבר מעכשיו על חוגים שהם תחומים ראשיים - ואני אזכיר שזה אומר שכל אידאל נוצר בידי איבר בודד. מכיוון שכאשר חושבים על \( R \) בתור מודול מעל עצמו, תתי-המודולים הם אידאלים, הרי שתחום ראשי הוא דוגמא למודול שבו כל תת-מודול הוא נוצר סופית, ואפילו על ידי איבר בודד. מכאן בפרט (ללא אקסיומת הבחירה) שכל חוג שהוא תחום ראשי הוא בפרט חוג נתרי (אבל הכיוון ההפוך לא נכון; חוגים נתריים הם כלליים יותר מתחומים ראשיים).

זה מסיים את כל הרקע שרציתי להציג; בפוסט הבא אוכל להציג את משפט המיון של מודולים נוצרים סופית מעל תחומים ראשיים. אני לא אכנס לכל פרטי ההוכחה אלא אשאיר אותם לפוסטים בהמשך, אבל את הרעיון הכללי אני מקווה להציג במלואו.