משפט המבנה למודולים נוצרים סופית מעל תחום ראשי - סיום הוכחת הקיום

הפוסט הזה מיועד להחזיר את החוב הטכני שנותר לי מהפוסט שבו הצגתי את משפט המבנה למודולים נוצרים סופית מעל תחום ראשי, אז אגש ישר לפרטים המלוכלכים. המשפט המרכזי שבו השתמשנו כדי להוכיח את טענת ה” קיום” במשפט המבנה היה המשפט הבא, שהפוסט הזה יוקדש להוכחה שלו:

אם \( M \) הוא מודול חופשי מדרגה \( n \) מעל תחום ראשי \( R \) ו- \( N\subseteq M \) הוא תת-מודול של \( M \) אז גם \( N \) חופשי, וקיים בסיס \( y_{1},\dots,y_{n} \) של \( M \) וקיימים איברים שונים מאפס \( a_{1},\dots,a_{m}\in R \) כך ש-\( a_{1}|\dots|a_{m} \) כך ש-\( a_{1}y_{1},\dots,a_{m}y_{m} \) הוא בסיס של \( N \).

המשפט נראה מצד אחד פשוט עד להפתיע בניסוח שלו, אבל מצד שני כשאני עוצר וחושב איך להוכיח אותו, אין לי מושג. מה עושים? מתחילים מבסיס קיים של \( M \), לוקחים את האיבר הראשון בו וכופלים ב… משהו עד שמקבלים איבר ב-\( N \)? איך? אולי מתחילים בכלל מבסיס של \( N \)? אבל למה יש ל-\( N \) בסיס? מה הולך פה? אין לי שום אינטואיציה לגבי הכיוון שממנו צריך להוכיח את המשפט. זה אולי מרמז על הקושי שלו, אם כי סביר יותר שזה מרמז על חוסר ההבנה שלי בתחום. בכל מקרה זו עוזר לנו להבין למה ההוכחה מתחילה עם איזו הגדרה שנראית מתוחכמת יחסית, במקום להתחיל “ בקטן” כמו שאנחנו רגילים שקורה עם רוב המשפטים שלומדים במסגרת תואר ראשון במתמטיקה.

מה שאנחנו עושים הוא להסתכל על כל הדרכים “ לכווץ” את \( M \) (מודול חופשי מעל \( R \)) לתוך \( R \). “ כיווץ” שכזה הוא הומומורפיזם \( \varphi:M\to R \), ואפשר לשאול את עצמנו מה שלום התמונה של \( N \) על ידי ההומומורפיזם הזה. מכיוון ש-\( N \) תת-מודול של \( M \), הרי ש-\( \varphi\left(N\right) \) יהיה תת-מודול של \( R \). מכיוון ש-\( R \) הוא חוג, תת-מודול שלו הוא פשוט אידאל. מכיוון ש-\( R \) תחום ראשי, כל אידאל נוצר על ידי איבר יחיד כלשהו, כך שאפשר לכתוב \( \varphi\left(N\right)=\left\langle a_{\varphi}\right\rangle \) עבור \( a_{\varphi}\in R \) כלשהו. זה יהיה ה” מאגר” שממנו ניקח את ה-\( a \)-ים שאנחנו מחפשים לצורך בניית הבסיס.

עכשיו, מאיפה כדאי להתחיל? האינטואיציה היא שכדאי להתחיל מהמקסימום האפשרי - לקחת \( a \) שיוצר את האידאל “ הכי גדול שאפשר” . דבר כזה לא בהכרח קיים - מבין כל האידאלים \( \left\langle a_{\varphi}\right\rangle \), לא מובטח לנו שיש אחד שמכיל את כולם. אבל מה שכן מובטח לנו הוא שבכל קבוצה לא ריקה של אידאלים יש אידאל מקסימלי (כלומר, כזה שלא מוכל באף אחד אחר). זו אחת מהתכונות השקולות שמאפיינות חוג נתרי ואנחנו יודעים שתחום שלמות הוא חוג נתרי. צריך כמובן לטפל בעניין ה” קבוצה לא ריקה” של אידאלים - אם ניקח את \( \varphi \) להיות הומומורפיזם האפס, זה שמעביר כל איבר של \( M \) לאיבר האפס של \( R \), אז נקבל \( a_{\varphi}=0 \), כך שלכל הפחות האידאל \( \left\langle 0\right\rangle =\left\{ 0\right\} \) נמצא בקבוצת האידאלים שלנו, מה שמבטיח שהיא לא ריקה ויש בה איבר מקסימלי. נסמן ב-\( a_{1} \) את היוצר שבחרנו עבור האידאל הזה; עכשיו צריך להחליט מי יהיה \( y_{1} \), וזה יקח לנו עוד קצת עבודה. נניח כאן ש-\( a_{1}\ne0 \) כי שוויון יכול להתקיים רק אם \( N=\left\{ 0\right\} \) ואז המשפט טריוויאלי.

האינטואיציה היא זו: מכיוון ש-\( a_{1} \) התקבל בתור איבר בתמונה של הומומורפיזם \( \psi:N\to R \), אז קיים \( y\in N \) כך ש-\( \psi\left(y\right)=a_{1} \). אנחנו רוצים לבחור את \( y_{1} \) כך שיתקיים \( a_{1}y_{1}=y \) - כלומר, “right לחלק”left{} את \( y \) ב-\( a_{1} \), אבל מה המשמעות של זה? \( y\in N \) הוא איבר של המודול \( M \) בזמן ש-\( a_{1} \) הוא איבר של החוג \( R \). אין ביניהם יחסי חלוקה. מצד שני, אנחנו יודעים ש-\( y \) ניתן לכתיבה בתור צירוף לינארי של אברי בסיס של \( M \), כך שמקדמי הצירוף הלינארי הזה שייכים ל-\( R \); אם כן, נרצה להראות שאפשר לחלק את כל המקדמים הללו ב-\( a_{1} \) (זה משהו מובן מאליו מעל שדה, אבל אנחנו מעל חוג שבו זה לא חייב לקרות).

בואו נפרמל את זה קצת. נסמן את אברי הבסיס של \( M \) מעל \( R \) ב-\( x_{1},\dots,x_{n} \). אנחנו יודעים ש-\( y=\sum_{i=1}^{n}r_{i}x_{i} \) עבור מקדמים כלשהם, אבל אני לא חייב לכתוב במפורש את המקדמים - קצת יותר נוח לדבר על הומומורפיזם ההטלה \( \pi_{i}:M\to R \) שלכל איבר של \( M \) מחזיר את המקדם של \( x_{i} \) בצירוף הלינארי שנותן את האיבר הזה. עכשיו אפשר לנסח את המשימה שלנו בתור “right להוכיח ש-\( a_{1} \) מחלט את \( \pi_{i}\left(y\right) \) לכל \( 1\le i\le n \)“left{} ולמעשה אפשר להוכיח יותר מכך: ש-\( a_{1} \) מחלק את \( \varphi\left(y\right) \) לכל הומומורפיזם \( \varphi:M\to R \). אם נוכיח את זה, בפרט נקבל ש-\( \pi_{i}\left(y\right)=a_{1}b_{i} \) עבור \( b_{i}\in R \) מסויימים, ולכן

\( y_{1}=\sum_{i=1}^{n}b_{i}x_{i} \)

יהיה האיבר שחיפשנו שמקיים \( a_{1}y_{1}=y \).

אוקיי, אז הנה אתגר מספר 1: להוכיח ש-\( a_{1} \) מחלק את \( \varphi\left(y\right) \) לכל \( \varphi:M\to R \). גם פה, לא ברור לי ממבט ראשון מה בכלל אמורים לעשות, אבל קצת יותר ברור מה הנתון שיש לי ביד - \( a_{1} \) יוצר אידאל מקסימלי באוסף האידאלים של \( R \) שמתקבלים בתור תמונה הומומורפית של \( N \). עדיין, קשה לי למצוא פה נקודת התחלה, אבל זה ש-\( R \) הוא תחום ראשי עוזרת לנו למצוא כזו. אנחנו רוצים להראות ש-\( a_{1} \) מחלק את \( \varphi\left(y\right) \); מכיוון שאנחנו מעל תחום ראשי לכל זוג איברים קיימים מחלקים משותפים מקסימליים אז אפשר לקחת אחד מהם, \( d \). אם נראה ש-\( \left\langle a_{1}\right\rangle =\left\langle d\right\rangle \) סיימנו. אנחנו כבר יודעים ש-\( \left\langle a_{1}\right\rangle \subseteq\left\langle d\right\rangle \) כי זו המהות של חלוקה - איבר אחד מחלק את השני אם האידאל שהוא יוצר מכיל את האידאל שיוצר השני. אם כן, כאן קופצת לנו תכונת ה”left מקסימליות”left{} לעיניים: אם נראה שגם \( \left\langle d\right\rangle \) הוא אידאל שמתקבל בתור תמונה הומומורפית של \( N \) אז המקסימליות של \( \left\langle a_{1}\right\rangle \) תגרור בהכרח \( \left\langle a_{1}\right\rangle =\left\langle d\right\rangle \).

הנה מה שעושים בפועל: משתמשים באלגוריתם האוקלידי המורחב. מכיוון ש-\( d \) הוא מחלק משותף גדול ביותר של \( a_{1},\varphi\left(y\right) \) אז קיימים \( r_{1},r_{2} \) כך ש-\( d=r_{1}a_{1}+r_{2}\varphi\left(y\right) \). עכשיו, זכרו ש-\( a_{1}=\psi\left(y\right) \) עבור הומומורפיזם \( \psi \) מסויים, ולכן נקבל

\( d=r_{1}\psi\left(y\right)+r_{2}\varphi\left(y\right)=\left(r_{1}\psi+r_{2}\varphi\right)\left(y\right) \)

כלומר, \( d \) הוא תמונה של ההומומורפיזם \( \rho=r_{1}\psi+r_{2}\varphi \). לכן בפרט \( \left\langle a_{1}\right\rangle \subseteq\left\langle d\right\rangle \subseteq\rho\left(N\right) \). עכשיו דרישת המקסימליות של \( a_{1} \) ניתנת להפעלה - לא על \( \left\langle d\right\rangle \) עצמו אלא על \( \rho\left(N\right) \), שהוא אחד מהאידאלים שמשתתפים במשחק המקסימום שהגדיר את \( a_{1} \). לכן נקבל \( \left\langle a_{1}\right\rangle =\rho\left(N\right) \) וכפועל יוצא, \( \left\langle a_{1}\right\rangle =\left\langle d\right\rangle \). זה מסיים את השלב הראשון בהוכחה.

כדי להבין מה השגנו, בואו ניזכר מה אנחנו מנסים לבנות: אנחנו רוצים לבנות בסיס חדש ל-\( M \), הבסיס \( y_{1},\dots,y_{n} \), ולמצוא \( a_{1},\dots,a_{m}\in R \) כך ש-\( a_{1}|a_{2}|\dots|a_{m} \) ו-\( a_{1}y_{1},\dots,a_{m}y_{m} \) מהווים בסיס ל-\( N \). אז בתור התחלה צריך להשתכנע ש-\( y_{1} \) הוא אבר בסיס מוצלח של \( M \) וש-\( a_{1}y_{1} \) הוא איבר בסיס מוצלח של \( N \).

כמו תמיד, האינטואיציה האלגברה-לינאריסטית שלנו עלולה להיות בעוכרינו; אנחנו רגילים לכך שאם אנחנו במרחב וקטורי ואנחנו לוקחים איבר כלשהו ששונה מאפס, אז הוא יהיה איבר בסיס מוצלח; אפשר יהה להוסיף לו איברים נוספים ולקבל בסיס. תמיד. אבל במודול מעל חוג כללי זה לאו דווקא המצב. אנחנו צריכים להראות שאם ניקח את החתיכה שאיבר-הבסיס-בפוטנציאל שלנו יוצר, אפשר לכתוב את המודול בתור סכום ישר של החתיכה הזו ומשהו אחר.

ספציפית עבור \( y_{1} \) אני הולך להראות ש-\( M=Ry_{1}\oplus\ker\psi \) כאשר \( \psi \), כזכור, הוא ההומומורפיזם שעבורו \( \left\langle a_{1}\right\rangle =\psi\left(N\right) \). לצורך כך, קודם כל נבין מה \( \psi \) עושה ל-\( y_{1} \) עצמו:

\( a_{1}=\psi\left(y\right)=\psi\left(a_{1}y_{1}\right)=a_{1}\psi\left(y_{1}\right) \)

ועל כן \( \psi\left(y_{1}\right)=1 \) (אנחנו בתחום שלמות, אפשר לצמצם גם אם אי אפשר לחלק).

כעת, ניקח איבר כלשהו \( x\in M \) ונכתוב אותו בתור כפולה כלשהי של \( y_{1} \) ומה שנשאר. איזו כפולה? נשתמש ב-\( \psi \):

\( x=\psi\left(x\right)y_{1}+\left(x-\psi\left(x\right)y_{1}\right) \)

יש כאן דמיון כלשהו למקדמי פורייה של איבר במרחב מכפלה פנימית; אם תחשבו על \( \psi \) בתור “right כאילו מכפלה פנימית עם \( y_{1} \)“left{} אז נקבל ש-\( \psi\left(y_{1}\right)=1 \) אומר ש-\( y_{1} \) הוא “right אורתונורמלי”left{} ואז \( \psi\left(x\right) \) הוא מקדם הפורייה של \( y_{1} \) בכתיבת \( x \) כצירוף לינארי של \( y_{1} \) ועוד דברים. כדי להשלים את האינטואיציה הזו, אני מצפה שהחלק של “right מה שנשאר”left{} יהיה אורתוגונלי ל-\( y_{1} \), כלומר שהפעלת \( \psi \) עליו תחזיר 0, וזה בדיוק מה שקורה:

\( \psi\left(x-\psi\left(x\right)y_{1}\right)=\psi\left(x\right)-\psi\left(x\right)\psi\left(y_{1}\right)=\psi\left(x\right)-\psi\left(x\right)\cdot1=0 \)

כל זה הראה לנו ש-\( x\in Ry_{1}+\ker\psi \) שזה טוב אבל לא מוכיח שזהו סכום ישר. בשביל להראות שזה סכום ישר צריך להראות שהחיתוך של \( Ry_{1} \) ו-\( \ker\psi \) הוא טריוויאלי, אבל זה קל: אם \( ry_{1}\in\ker\psi \) זה אומר ש-\( 0=\psi\left(ry_{1}\right)=r\psi\left(y_{1}\right)=r \) כך ש-\( ry_{1}=0 \).

סיימנו עם \( M=Ry_{1}\oplus\ker\psi \). היעד השני שלנו הוא להראות ש-\( a_{1}y_{1} \) הוא איבר בסיס מוצלח של \( N \). בשביל זה אני אראה ש-

\( N=R\left(a_{1}y_{1}\right)\oplus\left(N\cap\ker\psi\right) \)

ננקוט באותה גישה כמו קודם: ניקח \( x\in N \) כללי ונכתוב אותו בתור

\( x=\psi\left(x\right)y_{1}+\left(x-\psi\left(x\right)y_{1}\right) \)

ראשית, אנחנו רוצים לטעון ש-\( \psi\left(x\right)y_{1}\in R\left(a_{1}y_{1}\right) \) - כלומר, ש-\( a_{1} \) מחלק את \( \psi\left(x\right) \). זה נובע מייד מהאופן שבו \( \psi \) הוגדר: הוא ההומומורפיזם שמקיים \( \left\langle a_{1}\right\rangle =\psi\left(N\right) \), כלומר התמונה של \( \psi \) על כל איבר של \( N \) מתחלקת ב-\( a_{1} \).

שנית, אנחנו רוצים להשתכנע ש-\( \left(x-\psi\left(x\right)y_{1}\right)\in N\cap\ker\psi \). שייכות ל-\( N \) היא קלה; \( x\in N \) כי כך בחרנו אותו, ואילו \( \psi\left(x\right)y_{1} \) שווה ל-\( a_{1}y_{1} \) כפול עוד משהו מ-\( R \), ו-\( a_{1}y_{1} \) שייך ל-\( N \) (מכך התחלנו) ולכן מתכונות תת-מודול נקבל ש-\( x-\psi\left(x\right)y_{1}\in N \). גם שייכות לגרעין של \( \psi \) היא קלה ומתקבלת כמו קודם:

\( \psi\left(x-\psi\left(x\right)y_{1}\right)=\psi\left(x\right)-\psi\left(y_{1}\right)\psi\left(x\right)=0 \).

לבסוף, צריך להראות שגם הסכום הזה הוא ישר, אבל זה זהה למה שעשינו קודם: ראינו שהחיתוך של \( Ry_{1} \) ושל \( \ker\psi \) הוא טריוויאלי, וכעת אנחנו מסתכלים על החיתוך של שתי תת-קבוצות של הקבוצות הללו: \( Ry_{1}a_{1} \) ו-\( N\cap\ker\psi \). זה מסיים את השלב הזה של ההוכחה.

עכשיו בואו נוכיח ש-\( N \) הוא מודול חופשי קודם כל. אני רוצה להוכיח את זה באינדוקציה, אבל על מה? ה”left גודל”left{} של \( N \)? ובכן, אפשר לעשות משהו כזה. יש לנו מושג של דרגה עבור מודול חופשי, ואפשר להרחיב אותה למודול כלשהו מעל תחום שלמות - הדרגה של מודול היא הגודל של קבוצה בלתי תלויה מקסימלית של איברים של המודול. בפוסט על מודולים חופשיים ראינו שאם המודול החופשי הוא מדרגה \( n \) אז כל קבוצה של \( n+1 \) איברים היא תלויה לינארית, מה שאומר שתת-מודול של מודול חופשי מדרגה \( n \) הוא מדרגה לכל היותר \( n \) בעצמו. לכן הוכחה באינדוקציה תעבוד כאן: היא תכסה את כל המודולים מדרגה סופית, וזה כל מה שאנחנו צריכים.

הבסיס הוא כש-\( N \) הוא מדרגה 0, אבל מה זה אומר? זה אומר שאפילו איבר בודד \( 0\ne a\in N \) הוא תלוי לינארית, כלומר קיים \( r\in R \) כך ש-\( ar=0 \). אבל זה מה שקראנו לו פיתול וזה לא קיים במודול חופשי; כלומר, \( N \) יהיה מדרגה 0 רק אם \( N=\left\{ 0\right\} \) וזה המקרה הטריוויאלי. לכן אפשר לעבור לצעד - \( N \) הוא מדרגה \( m \). ראינו שאפשר לפרק את \( N \) לסכום ישר של מודול חופשי מדרגה 1 ועוד \( N\cap\ker\psi \) עבור הומומורפיזם \( \psi \) כלשהו. גם \( N\cap\ker\psi \) הזה הוא תת-מודול של \( M \) ולא קשה להראות שהדרגה של סכום ישר של שני תתי-מודולים היא סכום הדרגות שלהם, כך שהדרגה של \( N\cap\ker\psi \) היא \( m-1 \) ואפשר להשתמש בהנחת האינדוקציה, לקבל שזה מודול חופשי, לצרף את \( R\left(a_{1}y_{1}\right) \) ולקבל ש-\( N \) הוא מודול חופשי.

אפשר לתהות, ובצדק, למה טרחתי לעצור ולהוכיח ש-\( N \) הוא חופשי כשאני הולך עוד מעט לעשות יותר מכך וגם לתת את היוצרים שלו במפורש; ובכן, בהוכחה שנותנת את היוצרים הללו אני אזדקק לטענה “right כל תת-מודול של \( M \) הוא חופשי”left{} כי אני הולך לקחת את \( \ker\psi \) (שהוא תת-מודול של \( M \) ששונה מ-\( N \)) ולהשתמש בצעד האינדוקציה בו במקום \( M \), מה שאני יכול לעשות רק אם אני יודע שהוא חופשי. בואו נראה את הפרטים.

מה שראינו עד עכשיו היה שאם \( M \) הוא מודול חופשי ו-\( N \) תת-מודול שלו, אז אפשר למצוא \( a_{1}\in R \) ו-\( y_{1}\in N \) ו-\( \psi:M\to R \) כך ש- <ul>

\( M=Ry_{1}\oplus\ker\psi \)

\( N=R\left(a_{1}y_{1}\right)\oplus\left(N\cap\ker\psi\right) \)

</ul> היעד שלנו הוא למצוא \( y_{1},\dots,y_{n} \)-ים ו-\( a_{1},\dots,a_{m} \)-ים כך ש-\( y_{1},\dots,y_{n} \) הם בסיס של \( M \) ואילו \( a_{1}y_{1},\dots,a_{m}y_{m} \) הם בסיס של \( N \) ו-\( a_{1}|a_{2}|\dots|a_{m} \). את זה אני אעשה באינדוקציה על המימד של \( M \), כלומר על \( n \). הפירוק \( M=Ry_{1}\oplus\ker\psi \) מראה שהמימד של \( \ker\psi \) הוא \( n-1 \) ולכן אם אני אגיד \( M^{\prime}=\ker\psi \) ו-\( N^{\prime}=N\cap\ker\psi \) אני אוכל להשתמש בהנחת האינדוקציה על \( M^{\prime} \) ו-\( N^{\prime} \) ולקבל שקיימים \( y_{2},\dots,y_{n} \) ו-\( a_{2},\dots,a_{m} \) כך ש-\( y_{2},\dots,y_{n} \) הוא בסיס של \( M^{\prime} \) ו-\( a_{2}y_{2},\dots,a_{m}y_{m} \) הוא בסיס של \( N^{\prime} \) ו-\( a_{2}|a_{3}|\dots|a_{m} \). מה שנשאר עכשיו הוא רק “right לחבר את החלקים - להראות שכשאני מוסיף את \( y_{1} \) ואת \( a_{1} \) לתחילת הסדרות שלהם, אני מקבל את מה שחיפשתי.

מכיוון ש-\( M=Ry_{1}\oplus M^{\prime} \) ברור ש-\( y_{1},\dots,y_{n} \) הוא בסיס של \( M \), ובדומה \( N=R\left(a_{1}y_{1}\right)\oplus N^{\prime} \) מראה ש-\( a_{1}y_{1},a_{2}y_{2},\dots,a_{m}y_{m} \) הוא בסיס של \( N \). האתגר היחיד שנותר, בעצם, הוא להוכיח ש-\( a_{1}|a_{2} \); אם תרצו, זה לב-לבו של כל מה שאנחנו עושים פה. ושוב אנחנו בסיטואציה שבה אין לי רעיון מאיפה להתחיל.

מה שעושים הוא לנסות להעביר את הדיון שלנו מתוך \( M \) אל \( R \), שהוא היקום שבו \( a_{1},a_{2} \) חיים, ולנסות לבודד אותם מכל יתר מה שקורה. לשם כך מגדירים הומומורפיזם \( \varphi:M\to R \). כל הומומורפיזם נקבע באופן יחיד על פעולתו על אברי הבסיס של \( M \), אז אם אני אגדיר \( \varphi\left(y_{i}\right)=\begin{cases} 1 & i\le2\\ 0 & i>2 \end{cases} \) זה יעבוד, וזה גם יתן לנו \( \varphi\left(a_{1}y_{1}\right)=a_{1} \), כלומר \( a_{1}\in\varphi\left(N\right) \), מה שמחזיר אותנו להגדרות מתחילת ההוכחה. אנחנו מקבלים פה ש-\( \left\langle a_{1}\right\rangle \subseteq\varphi\left(N\right) \). כאן נכנס לתמונה האופן שבו \( a_{1} \) הוגדר מלכתחילה - הוא יוצר אידאל מקסימלי מבין כל האידאלים שמתקבלים על ידי הפעלת הומומורפיזם כלשהו על \( N \). על כן, ההכלה \( \left\langle a_{1}\right\rangle \subseteq\varphi\left(N\right) \) מכריחה את שני האידאלים הללו להיות זהים: \( \left\langle a_{1}\right\rangle =\varphi\left(N\right) \), מה שאומר ש-\( a_{1} \) מחלק את כל מי שב-\( \varphi\left(N\right) \); נראה ש-\( a_{2} \) שם ונסיים.

כדי להראות ש-\( a_{2}\in\varphi\left(N\right) \) כמעט ולא צריך להתאמץ: \( \varphi\left(a_{2}y_{2}\right)=a_{2} \) מצד אחד, ומצד שני \( a_{2}y_{2}\in N \) (כי הוא אחד מאברי הבסיס של \( N \)) ולכן \( \varphi\left(a_{2}y_{2}\right)\in\varphi\left(N\right) \). זה גורר ש-\( a_{2}\in\varphi\left(N\right) \) ולכן מתחלק על ידי \( a_{1} \) וסיימנו.

האם ההוכחה הזו שיפרה את ההבנה שלנו לגבי מה קורה פה, או סתם הרגיעה אותנו שאין כאן רמאויות? אתם תגידו.