משפט המבנה למודולים נוצרים סופית מעל תחום ראשי - סיום הוכחת היחידות

הפוסט הזה מיועד להחזיר את החוב הטכני האחרון שעוד שנותר לי מהפוסט שבו הצגתי את משפט המבנה למודולים נוצרים סופית מעל תחום ראשי. סיימתי כבר להוכיח את שלב ה” קיום” של הפירוק, ועכשיו נשאר רק להוכיח יחידות. כמו בפוסט הקודם כך גם כאן, אני מניח שאתם כבר מבינים את ההקשר ורק נשאר לגשת לעבודה.

אם כן, בואו ניקח שני מודולים איזומורפיים \( M_{1}\cong M_{2} \) שכל אחד מהם מיוצג על ידי מחלקים אלמנטריים, ונראה ששני הייצוגים הללו צריכים להיות זהים. המודולים שלנו יהיו

\( M_{1}=R^{n_{1}}\times R/\left\langle p_{1}^{r_{1}}\right\rangle \times\dots\times R/\left\langle p_{r}^{r_{k}}\right\rangle \)

\( M_{2}=R^{n_{2}}\times R/\left\langle q_{1}^{s_{1}}\right\rangle \times\dots\times R/\left\langle q_{t}^{s_{t}}\right\rangle \)

ויש לנו די הרבה להוכיח: צריך להוכיח ש-\( n_{1}=n_{2} \), כלומר שהדרגה החופשית של שני המודולים זהה; וצריך להוכיח שהרשימה \( p_{1},\dots,p_{r} \) של הראשוניים שמשתתפים בפירוק של \( M_{1} \) היא מאותו אורך כמו הרשימה \( q_{1},\dots,q_{t} \) של הראשוניים שמשתתפים בפירוק של \( M_{2} \) - כלומר ש-\( r=t \) - ושאפשר לחלק את הראשוניים משתי הרשימות לזוגות כך שהאיברים בכל זוג יוצרים אותו אידאל (\( \left\langle p_{i}\right\rangle =\left\langle q_{i}\right\rangle \)), ושהחזקות שוות: \( r_{i}=s_{i} \).

נתחיל מכך שאיזומורפיזם בין מודולים חייב להעביר את הפיתול של מודול אחד לפיתול של המודול השני, ואת החלק החופשי של האחד לחלק החופשי של השני: כי אם \( \varphi:M_{1}\to M_{2} \) האיזומורפיזם אז צריך להתקיים \( r\cdot\varphi\left(x\right)=\varphi\left(rx\right) \) - זו התכונה הבסיסית של הומומורפיזמים של מודולים. כעת, אם \( x\in\text{Tor}\left(M_{1}\right) \) אז קיים \( r\in R \) כך ש-\( rx=0 \) ולכן \( r\cdot\varphi\left(x\right)=\varphi\left(rx\right)=\varphi\left(0\right)=0 \) ולכן \( \varphi\left(x\right)\in\text{Tor}\left(M_{2}\right) \), ואפשר להשתמש באותו טיעון גם עבור \( \varphi^{-1} \) כדי להוכיח את ההפך.

מכיוון ש-\( \text{Tor}\left(M_{1}\right)\cong\text{Tor}\left(M_{2}\right) \) אנחנו מקבלים

\( R^{n_{1}}\cong M_{1}/\text{Tor}\left(M_{1}\right)\cong M_{2}/\text{Tor}\left(M_{2}\right)\cong R^{n_{2}} \)

והנה האתגר הראשון שלנו: להוכיח שאם \( R^{n_{1}}\cong R^{n_{2}} \) אז \( n_{1}=n_{2} \). אם היינו מתעסקים במרחבים וקטוריים, זה היה קל למדי: קחו בסיס לאחד המרחבים ותראו שהאיזומורפיזם מעביר אותו לבסיס של המרחב השני; עכשיו תשתמשו בכך שבמרחב וקטורי, כל שני בסיסים הם מאותו גודל. הבעיה היא שהתוצאה הפשוטה הזו לא נכונה עבור מודולים - לאותו מודול יכולים להיות שני בסיסים מגדלים שונים; מה שצריך להוכיח הוא שבמודול חופשי זה לא יכול לקרות.

איך מוכיחים שבמרחב וקטורי כל שני בסיסים הם מגודל זהה? אני מכיר רק הוכחה טכנית למדי שמערבת מטריצות וענייני דרגות וכדומה. אין לי כוח להוכחה הזו, אז בואו ננקוט בקיצור הדרך המתבקש עבור מודולים - נשתמש בתוצאה שכבר מוכרת לנו עבור מרחבים וקטוריים גם כאן. בשביל להשתמש במרחבים וקטוריים, צריך איכשהו לעבור מהחוג \( R \) אל שדה; דרך אחת לעשות את זה, שנעזרת בכך שאנחנו מעל תחום ראשי, היא לקחת איבר ראשוני \( p\in R \) ולחלק בו: \( F\triangleq R/\left\langle p\right\rangle \) יהיה שדה. לא קשה לראות ש-\( R^{n}/\left\langle pR\right\rangle \cong F^{n} \) על ידי האיזומורפיזם ה\textquotedbl טבעי\textquotedbl{} שבו מעבירים את \( \left(a_{1},\dots,a_{n}\right) \) אל \( \left(a_{1}+\left\langle pR\right\rangle ,\dots,a_{n}+\left\langle pR\right\rangle \right) \), כך שזה פותר לנו את העניין: \( R^{n_{1}}\cong R^{n_{2}} \) גורר ש-\( F^{n_{1}}\cong R^{n_{1}}/\left\langle pR\right\rangle \cong R^{n_{2}}/\left\langle pR\right\rangle \cong F^{n_{2}} \) ומכך נקבל ש-\( n_{1}=n_{2} \).

מה נשאר לעשות? אפשר להניח בלי הגבלת הכלליות ש-\( M_{1}\cong M_{2} \) הם שני מודולי פיתול, וצריך להראות שיש להם את אותם מחלקים אלמנטריים. כלומר: לכל ראשוני \( p\in R \), צריך להראות שהחזקות של \( p \) שהן מחלקים אלמנטריים של \( M_{1} \) הן כאלו גם עבור \( M_{2} \). זכרו: למודול יכולים להיות כמה מחלקים אלמנטריים שונים שמתאימים לאותן חזקות. למשל ל-\( \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{4} \) יש את המחלקים האלמנטריים \( 2,2,4 \) שהם כולם חזקות של אותו ראשוני (2) ואפילו לא כל החזקות שונות זו מזו. במילים אחרות, בהינתן \( p \) אנחנו הולכים לקבל סדרה \( p^{k_{1}}\le p^{k_{2}}\le\dots\le p^{k_{t}} \) של המחלקים האלמנטריים שמתאימים ל-\( p \), וצריך להראות שזו תהיה אותה סדרה בדיוק עבור שני המודולים.

נתחיל מכך שאפשר “ להתמקד” רק על החלקים של \( M_{1},M_{2} \) שרלוונטיים לראשוני \( p \). שימו לב שמודול מהצורה \( R/\left\langle p^{k}\right\rangle \) מתאפס על ידי \( p^{k} \) (כלומר, המכפלה של כל איבר במודול הזה ב-\( p^{k} \) מחזירה 0) וחשוב מכך, לכל \( q\ne p \), איברים של \( R/\left\langle p^{k}\right\rangle \) לא מתאפסים על ידי אף חזקה \( q^{t} \) (כי זה היה גורר ש-\( p^{k} \) מחלק את \( q^{t} \) וזה בלתי אפשרי עבור ראשוניים). זה אומר שאפשר לאפיין את החלק במכפלה \( M=R/\left\langle p_{1}^{r_{1}}\right\rangle \times\dots\times R/\left\langle p_{r}^{r_{k}}\right\rangle \) של מכפלת כל הגורמים שמתאימים לאותו ראשוני ספציפי \( p \) בתור “ כל האיברים שמתאפסים על ידי \( p^{k} \) כלשהו” - זה נקרא תת-המודול ה-\( p \)-עיקרי של \( M \). איזומורפיזם משמר את התכונה “ להתאפס על ידי איבר של \( R \)” כך שהרכיב ה-\( p \)-עיקרי של \( M_{1} \) איזומורפי לרכיב ה-\( p \) עיקרי של \( M_{2} \), ולכן די לנו להוכיח את טענת היחידות עבור שני מודולים \( M_{1},M_{2} \) שהם מהצורה \( R/\left\langle p^{r_{1}}\right\rangle \times\dots\times R/\left\langle p^{r_{k}}\right\rangle \) עבור \( p \) ספציפי. עבור שניהם, אנחנו יודעים ששני המודולים מתאפסים על ידי חזקה \( p^{r} \) מסויימת של \( p \). זו נקודת המוצא האחרונה שנגיע אליה - מכאן ואילך אין מה לפשט יותר, אלא רק צריך להוכיח סוף סוף את הטענה שלנו: אותו מספר גורמים, אותן חזקות עבור הגורמים הללו.

ההוכחה תהיה באינדוקציה, אלא מה. אינדוקציה על החזקה \( r \) של המאפס \( p^{r} \) של \( M_{1},M_{2} \). המקרה \( r=0 \) הוא טריוויאלי; כדי שאיבר יתאפס על ידי 1 הוא חייב להיות 0, כלומר \( M_{1}=M_{2}=\left\{ 0\right\} \) והפירוק למכפלה הוא “ ריק” . אחרת, אפשר להסתכל על כל המחלקים האלמנטריים ולסדר אותם לפי סדר החזקות שלהם, ולהפריד בין המחלקים שהם בדיוק \( p \) ובין המחלקים שהם חזקות גדולות מ-1 של \( p \); האינדוקציה תטפל במחלקים שהם \( p \) ו” תנמיך” את היתר. הרעיון הוא לעבור מלדבר על המודולים \( M_{1},M_{2} \) אל המודולים \( pM_{1},pM_{2} \).

ההגדרה של \( pM_{1} \) היא מה שאתם מצפים לו: \( pM_{1}\triangleq\left\{ pm\ |\ m\in M_{1}\right\} \). כמובן שעדיין מתקיים \( pM_{1}\cong pM_{2} \) ולכן נוכל להשתמש בטענה שאנחנו מוכיחים עבור שני המודולים הללו בתנאי שהמאפס שלהם יהיה מחזקה קטנה יותר מ-\( r \) (כמובן, אנחנו מצפים שהוא יהיה מחזקת \( r-1 \)).

נסמן את המחלקים כך: \( p,p,p,\dots,p,p^{r_{1}},p^{r_{2}},\dots,p^{r_{k}} \) כך ש-\( 2\le r_{1}\le r_{2}\le\dots\le r_{k}=r \), ונניח שמספר המחלקים שהם \( p \) בדיוק הוא \( m \) (כמובן שאפשר גם שיהיה לנו \( m=0 \), כמו שקורה למשל ב-\( \mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{8} \) שבו \( p=2 \)). עכשיו מגיע הפאנץ’ המתבקש: אפשר להראות די בקלות ש-\( p\left(R/\left\langle p^{t}\right\rangle \right)\cong R/\left\langle p^{t-1}\right\rangle \) ולכן המחלקים האלמנטריים של \( pM_{1} \) הם \( 1,1,1,\dots,1,p^{r_{1}-1},p^{r_{2}-1},\dots,p^{r_{k}-1} \). ה-1-ים הם פה לנוי בלבד; הם לא באמת נחשבים למחלקים אלמנטריים. מהנחת האינדוקציה נקבל ש-\( p^{r_{1}-1},p^{r_{2}-1},\dots,p^{r_{k}-1} \) הם גם המחלקים האלמנטריים של \( pM_{2} \) ומכאן אפשר להסיק שהמחלקים האלמנטריים הן של \( M_{1} \) והן של \( M_{2} \) שהם חזקות גדולות מ-1 של \( p \) הם בדיוק \( p^{r_{1}},p^{r_{2}},\dots,p^{r_{k}} \). רק נשאר להראות שמספר המחלקים שהם בדיוק \( p \) הוא זהה גם עבור \( M_{1} \) וגם עבור \( M_{2} \).

עכשיו נכנס לתמונה הטריק האחרון שלנו. זוכרים איך קודם סימנתי \( F\triangleq R/\left\langle p\right\rangle \) והשתמשתי בכך ש-\( R^{n}/\left\langle pR\right\rangle \cong F^{n} \)? אפשר להוכיח באופן דומנה משהו קצת יותר כללי: אם \( M \) מודול כך ש-\( M=R/\left\langle a_{1}\right\rangle \times\dots\times R/\left\langle a_{k}\right\rangle \) כך ש-\( p|a_{i} \) לכל \( 1\le i\le k \) אז \( M/pM\cong F^{k} \). המסקנה היא ש-\( M_{1}/pM_{1}\cong F^{m+k} \) (\( m \) הוא מספר המחלקים שהם בדיוק \( p \) ו-\( k \) הוא מספר המחלקים שהם חזקה גדולה מ-1 של \( p \)). מכיוון ש-\( M_{2}/pM_{2}\cong M_{1}/pM_{1} \) וכבר ראינו ש-\( k \) שווה עבור שני המודולים, המסקנה היא שגם \( m \) שווה עבורם, וסיימנו את ההוכחה עבור מחלקים אלמנטריים: אם שני מודולים הם איזומורפיים יש להם בדיוק את אותם מחלקים אלמנטריים.

מה שנשאר עכשיו הוא לדבר על הייצוג באמצעות גורמים אינוריאנטיים. אם שתי סדרות שונות של גורמים אינוריאנטיים יכולות לתת את אותם מחלקים אלמנטריים, אז היחידות של המחלקים האלמנטריים לא אומרת כלום על היחידות של הגורמים האינוריאנטיים, אלא שזה לא המצב - יש התאמה חד-חד-ערכית ועל בין הגורמים האינוריאנטיים ובין המחלקים האלמנטריים המתאימים להם. כבר ראינו אותה קודם, אבל בואו נזכיר את ההגיון.

כדי לקבל מחלקים אלמנטריים מגורמים אינוריאנטיים, מפרקים את הגורמים האינוריאנטיים לחזקות של ראשוניים שונים. למשל, \( \mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_{108} \) היא הצגה של חבורה באמצעות הגורמים האינוריאנטיים 12 ו-108; המחלקים האלמנטריים שמתאימים ל-12 הם \( 2^{2},3 \) והמחלקים האלמנטריים שמתאימים ל-108 הם \( 2^{2},3^{3} \). בסך הכל נקבל \( \mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_{108}\cong\mathbb{Z}_{2^{2}}\times\mathbb{Z}_{2^{2}}\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{3^{3}} \). ואיך “ משחזרים” את הגורמים האינוריאנטיים מתוך המחלקים האלמנטריים? קודם כל לוקחים את החזקות הגבוהות ביותר שיש לנו עבור כל ראשוני, כופלים אותן ומקבלים את הגורם הגדול ביותר; אחר כך מבין מה שנשאר לוקחים את החזקות הגבוהות ביותר ומקבלים את הגורם השני, וכן הלאה. קל לראות שזה מה שחייבים לעשות, אחת לא נקבל את יחס החלוקה \( a_{1}|\dots|a_{n} \) של הגורמים האינוריאנטיים. מובן מאליו ששני התהליכים הללו הם הופכיים זה לזה, ולכן ההתאמה בין מחלקים אלמנטריים לגורמים אינוריאנטיים היא חד-חד-ערכית ועל, וזה מסיים את הוכחת ה” יחידות” , ולכן גם את משפט המבנה כולו. בשעה טובה.