זוג או פרד (כן, עם ד’!)

הפנו את תשומת לבי למהומה זוטא שהתפתחה בבלוגספרה העברית סביב משחק הזוג-או-פרט. תחילתה בפוסט של תודעה כוזבת על כך שהמשחק אינו הוגן (אסביר בקרוב), והמשכה בשתי צורות שונות: מתקפה על ה"רציונליות" בבלוג של מודי, והרחבה לתקיפת הרולטה (והקזינו בכלל) בבלוג של ניצן. אני רוצה להתייחס לכל העניינים הללו (חוץ מעניין הקזינו שראוי לפוסט נפרד).

ובכן, הבה ונדבר על זוג או פרט (או כפי שאני הכרתי אותו תמיד – וגם אחד מהמגיבים ב"תודעה כוזבת" – "זוג או פרד"). תזכורת קלה למי שלא היה אף פעם ילד: במשחק משחקים שני שחקנים, שאחד הוכרז מראש בתור "זוג" והשני בתור "פרט". שני השחקנים שולפים בו זמנית יד שבה זקופות כמה אצבעות. סופרים את סך כל האצבעות השלופות – אם הוא זוגי, אז "זוג" מנצח; אחרת, "פרט" מנצח.

מה שנמצא בבסיס טענת חוסר ההוגנות של שחר היא ההנחה (שהוא עצמו מכיר בכך שהיא בעייתית) שבמשחק כל אחד שולף בין אצבע אחת לחמש אצבעות, והבחירה ביניהן היא אקראית. האם מישהו משחק כך במציאות? בוודאי שלא, אבל מה היה קורה אם כן? ובכן, קל לראות שאז המשחק אינו "הוגן", במובן זה שאחת האפשרויות יכולה לצאת בהסתברות גדולה יותר מהשנייה. אין צורך אפילו להיכנס לחישובים מורכבים; אם כל אחד מוציא בין אצבע אחת לחמש אז יש $latex 5$ אפשרויות לשחקן, ולכן $latex 25$ תוצאות אפשריות למשחק בכללותו; האפשרויות הללו מתחלקות לזוג ופרט, אבל יש מספר אי זוגי שלהן, ולכן אחת מהאפשרויות תזכה ביותר מקרים מהשניה (לפחות 13 מתוך 25). כמובן שאפשר גם לעשות את החישוב במדוייק: אם השחקנים מגרילים אצבע בין 1 ל-5 הם בעצם מגרילים "זוג" בהסתברות $latex \frac{2}{5}$ (ההסתברות לבחור או 2 או 4) ו"פרט" בהסתברות $latex \frac{3}{5}$. השחקן "זוג" מנצח אם ורק אם שני השחקנים שלפו מספר אצבעות "זוגי" בו זמנית, או מספר אצבעות "אי זוגי" בו זמנית, כלומר ב-$latex \frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}+\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{4+9}{25}=\frac{13}{25}$ מהמקרים; לכן "זוג" תהיה התוצאה הנפוצה ביותר.

אם נכתוב תוכנית מחשב שבאמת מגרילה מספרים ונספור מה התוצאה הנפוצה יותר, נראה של"זוג" יש יתרון קטן. מודי אפילו טורח לכתוב תוכנית כזו אך משום מה אצלו הוא לא טורח לספור את התוצאות, כך שלא ברור לי מה התוכנית באה להגיד. למעשה, מודי טוען שההסתברות היא חצי-חצי, מהנימוק הבא: "הרלוונטיות של מספר האצבעות שייך אך ורק לאפשרות החלוקה שלהן בשתיים… מבחינה סטטיסטית זוג או פרט לא שונה בהרבה מעץ או פלי – השחקן מכריז על הבחירה שלו אבל התוצאה נקבעת על בסיס הבחירה של היריב. כפי שהמתמטיקה מלמדת אותנו לא משנה אם נבחר במספר זוגי או אי זוגי הרי שסוג הבחירה של היריב היא 50:50 (זוגי או אי-זוגי) והבחירה הזו תשפיע על התוצאה באותו היחס בדיוק."

זו לא בדיוק "טעות" אלא רק חוסר הבנה (או סירוב לקבל) של תנאי המשחק ששחר הציג, שבהם השחקנים לא בוחרים בין זוגי ואי-זוגי בהסתברות 50:50 אלא דווקא בהסתברות 40:60. כל זה, כמובן, אם נדבקים לניסוח של שחר. במציאות אף אחד לא משחק כך; ראשית, כבר בפוסט של שחר הועלתה הטענה שגם אפס הוא משתתף חוקי במשחק (כשחקן ותיק אני יכול לאשר, אם כי איני בטוח אם לא המצאתי את זה באופן בלתי תלוי בשאר השחקנים). שנית, לרוב השחקנים בוחרים אצבעות מתוך מרחב קטן יותר (לא זכור לי שאף אחד שלף אי פעם ארבע או חמש; אני עצמי שלפתי שלוש פעמים רבות כך ששלוש הוא לגיטימי). אבל, אם ההנחה הבסיסית של שחר נכונה וכל שחקן שולף אצבע בין 1 ל-5 בהסתברות אחידה, הוא צודק.

מודי מנצל את זה למתקפה על הרציונליות. לא פחות: "איך עובדת החשיבה הרציונלית? היא לוקחת בעיה מתחום כלשהוא, מפשיטה אותה (תרתי משמע) והופכת אותה לבעיה בתחום אחר, טהור יותר, שבו אנחנו יודעים לפתור את הבעיה, ואז משליכים את הפתרון על התחום שממנו התחלנו… הסיבה היחידה להניח התפלגות אחידה היא כי זה קל ונוח לחישובים, וכי אין סיבה א-פריורי לבחור משהו אחר. הבחירה הזו היא בלתי רציונלית בעליל, ולכן כל הניתוח הרציונלי-לכאורה הוא לא יותר משעשוע אינטלקטואלי ריק, שאין לו שום קשר למציאות."

אני חושב שמודי צודק כאן לחלוטין – הבחירה בהתפלגות אחידה כאן היא נאיבית מדי ואין פלא שהתוצאה שהיא מניבה לא אומרת כלום. אני חושב שהבעיה בטיעון של מודי היא במניעים שהוא מייחס לשחר (מכיוון שהניתוח פשוט בכל מקרה – כפי שתכף אראה – אני לא חושב ששחר בחר בהנחת האחידות כי זה "קל ונוח" אלא פשוט כי זה המודל של המשחק שעליו הוא חשב). עוד בעיה בטיעון של מודי הוא ההתלהמות שלו ("שעשוע אינטלקטואלי ריק"? בטיעון דומה אפשר לפסול כל עיסוק בידורי), וההנחה שלו שמה ששחר עשה הוא מייצג של החשיבה הרציונלית.

אני נוטה לחשוב שהחשיבה הרציונלית דווקא לא הייתה מסתפקת בגישה של שחר. בדיוק בשביל זה נוצרה תורת המשחקים – לטפל במצבים מורכבים כאלו. שחר מניח שכל שחקן הוא "אהבל" – פשוט מגריל מספר, בלי לחשוב על האופן שבו זה יעזור לו לנצח, וזה בוודאי לא מה שקורה. אם כך, מה עשר האגורות של תורת המשחקים כאן?

נניח לרגע שאני השחקן "זוג". נניח שאני יודע שהיריב שלי מוציא באקראי אצבע בין 1 ל-5; מה משתלם לי להוציא? תגידו, ראינו שגם לך משתלם להוציא אצבע באקראי כי אז יש לך הסתברות זכיה של $latex \frac{13}{25}$. האם איני יכול לשפר אותה? אני יודע שהיריב מוציא זוג בהסתברות $latex \frac{2}{5}$ ופרט בהסתברות $latex \frac{3}{5}$; אם תמיד אוציא פרט בעצמי, אזכה כשהיריב מוציא פרט, כלומר בהסתברות $latex \frac{15}{25}$ שגדולה מ-$latex \frac{13}{25}$. אז האסטרטגיה "תוציא תמיד פרט" עדיפה עבורי.

אלא שכאן נכנס לתמונה מה שהופך את תורת המשחקים למעניינת – העובדה שיש שניים לטנגו. השחקן "פרט" יכול לחשוב שזה מה שחשבתי עליו. הוא יגיד לעצמו "הממ, נניח ש"זוג" מוציא תמיד פרט, אז לי כדאי תמיד להוציא זוג, כי כך אזכה בהסתברות $latex 1$!".

בא השחקן "זוג" ואומר לעצמו "הממ, פרט יודע שאני תמיד ארצה לשחק פרט, ולכן הוא עצמו ישחק תמיד זוג, אז לי כדאי להוציא תמיד זוג, ואז אזכה בהסתברות 1!"

בא "פרט" ואומר "הממ, זוג משחק תמיד זוג, והאיוקן מוצאו באוסטרליה, ולכן כדאי לי תמיד להוציא פרט!" והנה נכנסנו ללולאה אינסופית. אף שחקן לא באמת יבחר בגישת הניתוח הטיפשית הזו.

מה השחקנים יעשו, אם כך, אם הם רציונליים? הם ינסו לבחור באפשרות שמבטיחה להם את הרווח הגדול ביותר, ללא תלות במה שהיריב עושה. לערך הזה קוראים "המינימקס" (שילוב של "מינימום" ו"מקסימום", שנובע מכך שאנחנו רוצים לבחור באסטרטגיה שתמקסם את הרווח שלנו בכל סיטואציה אפשרית, בהינתן שהיריב עשה את כל שביכולתו כדי להביא למינימום את הרווח שלנו). המינימקס המדובר עומד בבסיס משפט שהוכיח ג'ון פון-נוימן, (שבין המוני הדברים שעשה היה גם) ממייסדי תורת המשחקים, שהוא בדיוק מה שאנחנו נזקקים לו כדי לנתח את הסיטואציה שלפנינו. המשפט עוסק במשחקי סכום-אפס – משחקים שבהם כל רווח של השחקן האחד מגיע על חשבון השחקן השני. בפרט, משחקים שבהם יש מנצח אחד ומפסיד אחד הם כאלו. מה שמשפט המינימקס אומר הוא שאם השחקנים יכולים לפעול באופן הסתברותי (הנחה שמקובלת עלינו במשחק הזה), אז התוצאה האופטימלית שכל אחד משני השחקנים יכולים להגיע אליה זהה, וקיימת אסטרטגיה של כל אחד מהם שנותנת אותה (למשחק קיימת רק תוצאה אחת – הזכיה של השחקן הראשון, שהיא גם ההפסד של השחקן השני; "זכיה" של מינוס 1 לשחקן הראשון פירושה רווח של 1 לשחקן השני, כך שההגדרה הזו לא מגבילה אותנו).

צריך טיפה להסביר מהי "התוצאה האופטימלית" כאן. נניח שזכיה מקנה נקודה אחת, והפסד גורם להפסד נקודה אחת (זה הכרחי, כי סכום הזכיה במשחק צריך להיות אפס – זו המהות של "משחק סכום אפס"). אז גם אם השחקנים יגרילו אפשרויות, תמיד יהיה מנצח יחיד שיקבל 1 ומפסיד יחיד שיפסיד 1. מה שהמשפט אומר הוא שבתוחלת, כשמשחקים הרבה מאוד פעמים, לשני השחקנים תהיה אותה תוצאה אופטימלית. מה היא תהיה במקרה זה? מטעמי סימטריה בין שני השחקנים היא יכולה להיות רק אפס, ותוצאה כזה יכול להתקיים במשחק הזה רק אם הסתברות הזכיה של כל שחקן היא חצי בדיוק. כלומר, אפילו בלי לטרוח להיכנס לניתוחי אסטרטגיות מורכבים, משפט המינימקס מראה לי מייד שהאסטרטגיות הטובות ביותר של השחקנים לא יכולות להבטיח להם יותר מזכיה בהסתברות חצי; ושהם יכולים להבטיח זאת.

ובכן, מרגע שאנחנו יודעים שאפשר לזכות רק בהסתברות חצי, לא קשה להציג אסטרטגיה שעושה זאת: כל שחקן בוחר בין שליפת מספר זוגי של אצבעות ובין מספר אי זוגי של אצבעות בהסתברות חצי (וזו, אני מאמין, האסטרטגיה שרוב השחקנים נוקטים בה). מדוע אם אני, למשל, "זוג", האסטרטגיה הזו באמת מבטיחה לי הסתברות נצחון של חצי בלי תלות ביריב? כי אם היריב שלף מספר זוגי של אצבעות, יש לי הסתברות חצי לנצח (אם אבחר, בהסתברות חצי, מספר זוגי של אצבעות), ואם הוא שלף מספר אי זוגי של אצבעות יש לי הסתברות חצי לנצח (אם אבחר, בהסתברות חצי, מספר אי זוגי של אצבעות). מן הסתם גם עבור "פרט" מתקיים אותו ניתוח. סוף משחק.

אם כן, שחר טעה. לא נכון לומר על המשחק שהוא אינו הוגן, בשום צורה שהיא; מה שאפשר לומר הוא שאם משחקים את המשחק בצורה לא נכונה, זה יכול ליצור יתרון לאחד השחקנים על פני השני. במשחקים "מתקדמים" יותר כמו אבן-נייר-ומספריים היתרון הזה מנוטרל. גם מודי טעה – הגישה הרציונלית לא מניחה הנחות מופרכות כי ככה נוח לה – הגישה הרציונלית היא מה שג'ון פון-נוימן נוקט בו, ובסופו של דבר היא מגיעה למסקנה הנכונה. כמובן שאפשר לטעון שפון-נוימן הוא טרחן; הרי כל ילד יודע (תרתי משמע) שהכי טוב לבחור 50:50 בין זוג ופרט. מה צריך מתמטיקאי בשביל זה? ובכן, זה שכל ילד "יודע" זאת לא אומר שזה נכון; פון-נוימן מוכיח שזה נכון (וכמובן, באותה הזדמנות הוא מטפל בעוד זיליארד משחקים אחרים, מורכבים בהרבה). לפעמים התחושה האינטואיטיבית שלנו לגבי מה נכון היא שגויה לחלוטין, ודילמת האסיר היא דוגמה מוצלחת ביותר לכך. כל כך מוצלחת, שאיני יכול להתאפק מלגרור גם אותה לדיון הזה, עם טיעון ששמעתי לא מזמן שמראה כי המתמטיקה "טועה" לגבי הדילמה (וההיסק הסופי והמקומם היה שתורת המשחקים היא "חסרת משמעות לגבי בני אדם ומערכות מורכבות").

הטיעון הולך כך: "נקח לדוגמא את דילמת האסיר. מה שמטריד בה הוא שלכאורה האסטרטגיה הנכונה היא לבגוד תמיד. זה נובע מכך שהתנהגות רציונלית במסגרת התיאוריה מוגדרת ככזו שלא תלויה בהחלטות השחקן השני. אבל מה קורה כאשר יש קורלציה נסתרת בין השחקנים. בדילמת האסיר שני השחקנים סימטריים לחלוטין. אין להם עבר, אין להם דפוס התנהגות, אין שום הבדל ביניהם. לכם, לדעתי, גם הפתרון חייב להיות סימטרי. כלומר, בגידה הדדית או שתוף פעולה הדדי. הפתרון המיטבי לכן הוא שתוף פעולה הדדי. תוכלו לומר שכל שחקן יכול לחשוב לעצמו שאם הוא משתף פעולה, גם השני פועל כך וניתן לנצל זאת ולבגוד. אבל, שוב, בבעיה זו השחקנים סימטריים לחלוטין. אין שום גורם שיגרום לאחד לפעול בצורה אחרת מהשני. מסתתרת כאן קורלציה."

אני משאיר את מציאת הטעות בטיעון כתרגיל לקורא (על בסיס הפוסט הישן שלי על דילמת האסיר). מה שכן מעניין בציטוט הזה, לטעמי, הוא "דרך העבודה" שמוצגת בו – כזו שמתבססת חזק מדי על טיעון הסימטריה (שגם אני השתמשתי בו לפני רגע). הסימטריה היא אחד מהתורמים החזקים ביותר לאינטואיציה שלנו, ולכן הטיעון הזה הוא המחשה נאה לאופן שבו האינטואיציה שלנו פשוט מעוורת אותנו. אני לא סבור שזו טעות בלעדית של כותב הציטוט; מה שהוא מתאר כאן זהה גם לתחושה האינטואיטיבית שהייתה לי כאשר שמעתי על דילמת האסיר לראשונה ("חייבת לקרות אחת משתי האפשרויות הסימטריות, אז למה שלא תצא הטובה יותר?"). העובדה שהאינטואיציה הזו מתרסקת לרסיסים היא הסיבה שבגללה דילמת האסיר חשובה כל כך, ובגללה פון-נוימן והמתמטיקאים האחרים אינם טרחנים, והרציונליות היא משהו יפה שראוי להעריך, לא לסלוד ממנו.

20 תגובות בנושא “זוג או פרד (כן, עם ד’!)”

  1. גדי – תודה על פוסט מרתק.
    ראשית אני חייב להבהיר שהפוסט שלי, זה שיצר את כל הסערה, ממש לא התכוון להיות רציני במיוחד (החלק היחיד שבו הייתי רציני היה זה שבו התלוננתי על הקלקולופובים שעצם האזכור של חישוב הסתברות ולו קל גרם להם להיאטם). בכל מקרה, כבר בפוסט העליתי הרבה מאוד הסתייגויות לגבי תקפות המודל שלי, ושיקולים שאינם שייכים אולי במדויק לתחום תורת המשחקים אבל הם מתקרבים לשם (בפסקה על הפסיכולוגיה).
    בכל זאת, כדי להבהיר. מה שניסיתי לעשות, ואני מודה שמדובר בנסיון בעייתי, הוא לחזור לראש של מי שהייתי כילד בתקופה שבה החלטות הוכרעו ע"י משחק זוג או פרטד. בגיל ההוא אני חושד שהפעלת שיקולים הסתברותיים היתה הרבה מעבר לכוחותיי האינטלקטואליים. לכן העליתי אפשרות אחרת והיא שיש מנגנון לא מודע בקרב שחקנים שמפצה על ההטיה במשחק. כיוון שיש במשחק שני שלבי בחירה (ההכרזה ושליפת האצבעות) אני חושד שהבחירה בשלב ההכרזה בין זוג לבין פרט היא זו שבה קל יותר מחשבתית לפצות על ההטיה, ולכן אני חושד ששחקנים (שוב, אני מגביל את עצמי לילדים קטנים יחסית) נוטים להעדיף את ההכרזה "זוג".
    ועדיין, אנא אל תשתמשו בפוסט או בתגובה הזו כדי לקבור את הרציונליות.
    👿

  2. זו תיאוריה מעניינת, אלא שאני לא חושב שהיא עובדת פשוט בגלל שאני לא חושב שהמשחק אכן מתנהג באופן ה"לא הוגן" שתיארת. אני חושב שהילדים לא מגרילים אצבע בין 1 ל-5 – לא בגלל שהם יודעים הסתברות, אלא כי זה סתם נראה מוזר. הניחוש שלי הוא שאם תבצע תצפית על ילדים תראה שהם נוהגים לרוב להשתמש באותו מספר אצבעות עבור זוג ואותו מספר אצבעות עבור פרט, כך שהאסטרטגיה שלהם יותר דומה לאסטרטגיה האופטימלית של להגריל זוג או פרט באקראי.

    כמובן שזה סתם ניחוש ואולי אני טועה.

  3. כבר כתבתי בפוסט, או בעצם בתגובות לו, שכל הדיון הוא קצת עקר, ושאם באמת מעוניינים ראוי לערוך כמה ניסויים של תצפית בילדים שישחקו בו לאורך זמן, אבל זה אכן נראה מיותר לחלוטין.

  4. When I was a child, in the early 70s, we only played one or two fingers.
    The challenge was to start with one, then quickly switch to two before your opponent notices. It seems to increase your winnings more than combinatorial calculations.

  5. שעשועים אינטלקטואלים ריקים הם אחלה, והפוסט של שחר אכן משעשע כמו שהוא רחוק מהמציאות, עד השלב שהוא אומר שבשיטה שלו הוא ינצח ילד רגיל שאינו מומחה למתמטיקה.

    וזה מטריד אותי כי זו דוגמה לכך שהגישה ה"רציונלית" מביאה אנשים להגיד שטויות. שחר יודע שאלו שטויות, אבל לא בטוח שכל קוראיו גם. בשיטה הזו משתמשים אנשים פחות ישרים או חכמים בנושאים הרבה יותר הרי גורל. קו ישר מתוח מפון-נוימן למשבר הסאב-פריים.

    ובסופו של דבר, פון-נוימן צודק בעולם אידיאלי, שבו ניתן להגריל וכולם חכמים וכולם נוהגים לפי פונקצית תועלת, אבל בעולמנו יש טורנירים של זוג-או-פרד, ואני בטוח שמתמטיקאים לא מנצחים בהם. פון-נוימן היה מפסיד גם לואזיני וגם לווסלי.

  6. היי מודי. כנראה פספסתי את המקום שבו שחר טוען שהוא ינצח ילד רגיל – תוכל לתת ציטוט מדוייק? קשה לי לענות בלי ההקשר הזה.

    ובכל זאת, בנוגע לפון-נוימן; מכיוון שפון-נוימן חכם הוא יודע שאין טעם שישתתף בטורניר זוג-או-פרד כי ההסתברות שלו לנצח היא 50% ולא משנה מה יעשה; אבל אם כבר תכריח אותו לשחק, ויהיה לו משהו שמסוגל להגריל מספרים (מטבע הוגן?) לנצח הוא לא ינצח, אבל גם להפסיד הוא לא – בממוצע הוא ינצח ב-50% מהמשחקים, בלי שום תלות בהתחכמויות ה"לא רציונליות" של השחקנים האחרים.

    אם כן, הטענה היחידה שיש לך נגד פון-נוימן היא שבעולם האמיתי קשה לבצע הגרלות בהסתברות חצי-חצי? כי אם יש לך טענה אחרת לא ברור לי מהי (לתקוף, למשל, את "פונקצית התועלת" זה מגוחך – בזוג-או-פרד פונקצית התועלת פשוטה ביותר – אתה רוצה לנצח).

  7. הוא אמר את זה בתגובות "אני חושב שבכפוף לחוקים שהזכרתי בפוסט (אחת עד חמש) סביר להניח שאנצח ילד ללא רקע מתמטי על בסיס ההנחה שהוא ישלוף תמיד מספר אי-זוגי."

    ואין לי טענה נגד פון-נוימן. הוא אכן חכם (בלשון המעטה.) אלא שמשחק הזוג-או-פרד שהוא ואתה מדברים עליו, והמשחק האמיתי הם משחקים שונים.

    במשחק האמיתי אין לך מטבע הוגן שיכול להגריל מספרים. יש לחץ, ויש תנועות גוף שמסגירות לשחקן מיומן בהסתברות גדולה מחצי מה יריבו עומד לעשות. לדעתי, אם פון נוימן היה הולך לטורניר הוא לא היה משיג 50% נצחונות.

    מלבד זאת, פון-נוימן הוכיח שאין אסטרטגיה טובה יותר מהאסטרטגיה שלו מול שחקן כל-שהוא. זה לא אומר שאין אסטרטגיה טובה יותר מול שחקן לא-רציונלי מסוים. כלומר, אני יכול לנתח טורנירים ולגלות ששחקן מסוים מוציא זוג 60% מהפעמים, ולהשתמש בנתון הזה (שהוא כנראה לא מודע לו) כדי לשפר את סיכויי מולו. (זה אולי לא ממש מענין בזוג-או-פרד, אבל סביר שיעבוד בבעיטות 11).

    הגישה הרציונלית גורמת לך לומר בבטחון "בממוצע הוא ינצח ב-50% מהמשחקים". גם אם אתה צודק, לא תוכל להוכיח את זה ע"י ניתוח מתמטי של משחק אידיאלי. העובדה שאתה בכלל לא חושב שזה דורש הוכחה (ומצפה ממני להביא טענות אחרות, כאילו חובת ההוכחה היא עלי) היא בעיני כשל מהותי של הליך החשיבה המכונה "רציונלי".

  8. מודי, אם הוא מדבר מראש על "בכפוף לחוקים שבפוסט" (חוקים שכבר בפוסט עצמו הוא הסכים שהם לא סבירים) כנראה שהוא מנסה לומר משהו מתמטי באופן ציורי. אכן, הצצתי עכשיו בתגובה שלו שם ועד כמה שאני רואה הוא מגיב לטענה שאסטרטגיית ה"תיקו" היא כושלת ומסביר למה לא יכולה להיות אסטרטגיה טובה יותר. אני חושב שאתה נדבק יותר מדי למילים ומנסה להסיק מהן משמעות שלא קיימת בהן.

    בכל הנוגע ללחץ, תנועות גוף וכו' – אתה בהחלט צודק, ואלו אכן דברים שקשה למדל בתורת המשחקים – וגם אין ממש צורך. מה ששחקן טוב יודע הוא שכדי להשיג תוצאה אופטימלית (בלי תלות ביריב) הוא *צריך* לשחק 50:50 – האתגר הפיזי של לעשות את זה בצורה טובה כבר לא קשור למתמטיקה.

    ניתוחים שמראים שאם שחקן נוטה לשלוף ב-60% אז כדאי לעשות כך וכך גם המתמטיקה יכולה לעשות באופן רציונלי לגמרי, כך שלא ברור לי מה הבעיה איתם.

    בכל הנוגע לסיום וה"דורש הוכחה" – זה באמת לא כל כך מסובך. אם אתה מסכים איתי שפון-נוימן ניחן בעצבי ברזל ויצליח לשלוף ב-50:50 בלי להסגיר ליריב מה הוא עומד לעשות – במקרה כזה אין צורך בהוכחה "מציאותית" ואפשר לסמלץ את המשחקים במחשב ולראות שאני צודק (אבל אין צורך בכך, כי המתמטיקה מספיקה כאן). אם אתה לא מקבל את ההנחות הללו אנחנו חוזרים לנקודת ההתחלה. חשוב שתזכור שפון-נוימן לא אומר מה הוא יכול לעשות תמיד, אלא מה שחקן טוב *צריך* לעשות, בהינתן שהוא רוצה למקסם את ההצלחה שלו בלי תלות ביריב. זה אולי נראה לך קצת טרחני (כמו שאמרתי בפוסט) בגלל שזוג או פרד הוא משחק כל כך טריוויאלי שאין שום דבר מתמטי מעניין להגיד עליו, ולכן "האקשן" מתמקד באנשים המזיעים והמתבלבלים. לא כל משחק הוא כזה.

  9. יכול מאוד להיות שלא הבנתי אותו נכון.

    אין לי בעיה עם טרחנות – אני טרחן לא קטן בעצמי – אבל אתה מפספס את הכוונה שלי. אני טוען שבכל פעם שמשליכים משהו ממציאות למודל ובחזרה, מאבדים משהו מהנכונות. תבדיל בין

    "כדי להשיג תוצאה אופטימלית (בלי תלות ביריב) *צריך* לשחק 50:50"

    ובין

    "כדי לנצח בטורניר *צריך* לשחק 50:50"

    שלא לדבר על

    "מי שאומר שהוא טוב בזוג-או-פרד הוא שרלטן או אידיוט"

    המשפט השני לא נובע מהראשון (אני לא טוען שהוא שגוי, רק שהוא לא נובע), משום שהוא מדבר על עולם "אמיתי" יותר. הוא כן נובע אם מוסיפים הנחות מסוימות על עצבי הברזל של פון-נוימן, וגם בזה אני לא בטוח כי אולי יש גורמים נוספים שקיימים בעולם והתעלמתי מהם.

    מנסיוני, טיעונים רציונליים רבים לא מבדילים בין שני המשפטים, בעיקר משום שרוב הדיון והחשיבה הרציונלית מתרחשים לפני המשפט הראשון – המון מתמטיקה וחישובים שמסיטים את נקודת המבט: הרי ההנחות היו לפני שלושה עמודים וחמש למות.

    קראתי פעם במבוא למאמר שניתן לקחת כדור ביליארד, לחלק אותו למספר סופי של חלקים, ומהחלקים לבנות פסל בגודל טבעי של בנך (או טרסקי). בשום לא נאמר שזה לא נכון – ניתן לעשות זאת למודל מתמטי של כדור ביליארד, אבל לא לכדור אמיתי.

    בימי התואר השני שלי נתקלתי בסטודנט שהוכיח לי שלקנות פיס זו החלטה לא רציונלית. הוא עשה חישובים מסובכים והראה איך התוחלת נמוכה מדי. לא הצלחתי לשכנע אותו בטעותו כי לא היה לי מודל מתמטי סגור שמסביר את זה אלא רק אינטואיציה.

    ואני נתקל בזה כל הזמן: מעבר חופשי בין מודל ומציאות. כלכלנים עושים את זה כל הזמן – ובזה אני יכול להאשים אישית את פון-נוימן, שדי המציא את התחום.

  10. אני דווקא חושב שאפשר לומר שהמשפט של ה"לנצח בטורניר" נובע במובן מסויים מהקודם. באיזה מובן? נניח שהיינו רוצים לבנות רובוט שינצח בטורניר, איך היינו מתכנתים אותו? אני הייתי אומר לו לשחק 50:50 כל עוד אין לו מידע על המתמודד השני; ואם אחרי תצפית במתמודד השני לאורך זמן נמדדה מגמה כלשהי אצל המתמודד השני, לנצל אותה. הרובוט הזה יהיה פאר לרציונליות – והוא כנראה ינצח או לפחות יוציא תוצאה טובה כמו כל שחקן אחר. אם אתה מתלונן שפון-נוימן אינו רובוט והוא טועה, אתה צודק – אבל כאמור, הרובוט הזה מייצג את השחקן המושלם, מה שפון-נוימן ינסה לחקות.

    התלונה שלך על בנך-טרסקי בהמשך נראית כמו עוד מקרה שבו אתה מתלונן על מתמטיקה שמתוארת באופן "ציורי" מדי. אף אחד לא יציע לפתור את בעיות הרעב בעולם על בסיס בנך-טרסקי; כל מתמטיקאי שמדבר על הפרדוקס יודע בדיוק עד כמה הוא לא מציאותי, וגם למה, וגם מה זה אומר (אני מקווה לכתוב פוסט על הפרדוקס מתישהו ולפרט) – אז אם הם מרשים לעצמם להיות קצת ציוריים, זה רק כי זה יותר מעניין כך, לא צריך להסיק מזה מסקנות מרחיקות לכת.

    דווקא דוגמת הפיס היא מעניינת – למה אתה חושב שהסטודנט "טעה"? כאן אין הזעות ובלבולים כמו בטורניר הזוג-או-פרד, אלא החלטה מושכלת שאפשר לעשות בשקט בבית – ועל כל זוכה מאושר יש לנו המוני אנשים שקונים פיס כל חייהם, מוציאים על כך סכום לא מבוטל, ולא זוכים בכלום. אם המטרה שלך בפיס היא להרוויח כסף בתוחלת, אז זו לא החלטה רציונלית (כמובן שיש מטרות אחרות, פסיכולוגיות).

  11. אתה צודק בפסקה השנייה. נסחפתי.

    לגבי הרובוט: זה מה שאני מתכוון. הרובוט המושלם כבר לא משחק 50:50, בניגוד לתוצאה המקורית, אלא אם כן הוא משחק נגד רובוטים אחרים, ואז זה כבר לא המשחק האמיתי, אלא מודל של המשחק.

    לגבי הפיס: לאף אחד אין מטרה להרוויח כסף בתוחלת, מלבד למפעל הפיס עצמו (שמצליח בכך מצוין). יש סיבות מצוינות לקנות פיס, שלפחות חלקן רציונליות. לדוגמא: נניח שאני תקוע בעיר אחרת, ואין לי כסף למונית, אבל יש לי כסף לקנות חיש-גד. במצב כזה, זו החלטה רציונלית לחלוטין לגרד כרטיס.

    חוץ מזה, שאם כבר מחשבים תוחלות, אז קניית ביטוח גם היא החלטה "לא רציונלית"

  12. רובוט: נכון, אבל האם זה אומר שהרובוט אינו רציונלי? ההפך, הרובוט רציונלי לגמרי. האלגוריתם שלו משתמש גם בתוצאת המינימקס כדי לשחק נגד אויב "לא ידוע", וגם במנגנון למידה (רציונלי לחלוטין) כדי להתמודד עם אויב "ידוע". אני לא רואה כאן בעיה לרציונליות (אף אחד לא טוען שרציונליות פירושה לאמץ את המינימקס וזהו – פירושה לאמץ את המינימקס אם ההנחות של המינימקס מתקיימות).

    לגבי פיס, אני מסכים שכשמדובר על אירוע "חד פעמי" טיעוני התוחלת לא תקפים (תוחלת מהגדרתה דורשת משחק לטווח ארוך) – אני חשבתי שמדובר על סיטואציה של קנייה "שבועית" של לוטו. בסיטואציות אחרות אפשר לטפל באופן אחר. סיטואציה של ביטוח היא סוג שונה של פעולה רציונלית, משיקולים שונים – "שנאת סיכון" (Risk Aversion, עוד מושג מתורת המשחקים).

    בקיצור, מה שאני מנסה לשכנע אותך בו הוא שרציונליות היא לא כזו מופרכת, ולרוב כשמדברים על מודל מסויים יודעים לקחת אותו בעירבון מוגבל ויודעים להגיד באילו תנאים להשתמש בו. זה שלפעמים יש כאלו שמשתמשים במודל לא נכון זו בעיה נפרדת, שאיננה אשמת ה"רציונליות" בהכרח. הדוגמה שהכי מרגיזה אותי היא אנשים שמשתמשים בדילמת האסיר כדי לטעון ש"האגואיזם לא משתלם" למרות שזו מסקנה שגויה לחלוטין. האם האשמה בדילמת האסיר או ברציונליות? לא. האשמה באנשים שלא מבינים עד הסוף את המתמטיקה.

  13. "האשמה באנשים שלא מבינים עד הסוף את המתמטיקה"

    אלא שיש כל-כך מעט שמבינים עד הסוף את המתמטיקה! ועוד פחות מכך, אנשים שמבינים את הפער בין המודל למציאות.

    רובוט: הרובוט הוא כמובן רציונלי. אלא שבהצגת הרובוט אתה (א) משנה את חוקי המשחק; (ב) לאחר שטענת ש 50:50 היא האסטרטגיה הטובה ביותר לשחקן רציונלי, בנית רובוט שמשחק אפילו יותר טוב – מה שאומר שהטענה הראשונה היתה שגויה (כלומר, נכונה מתמטית, אבל מובנת לא נכון למי שלא מבין עד הסוף את המתמטיקה.) עכשיו יבוא מישהו ויבנה רובוט ללא מנגנון למידה. יש לו הוכחה מתורת המשחקים שזה הרובוט הטוב ביותר, והוא לא יבין למה הרובוט שלך מנצח בטורניר. תורת המשחקים רק בלבלה אותו.

    פיס: כל עוד אתה לא מוציא מיליונים על קניית כרטיסים (וזה לא יקרה גם את תקנה כל שבוע כל חייך), הדיבור על תוחלת הוא אכן חסר משמעות. אז למה כל מי שקורא לעצמו "רציונלי" מדבר על כמה שהתוחלת נמוכה וכמה לא כדאי לקנות?
    הטיעון שלי בעד הטוטו הוא כזה: מצד אחד, אני מוציא נניח 20 שקלים בשבוע על הימור, סכום שלא משפיע כלל על איכות חיי ולכן הוא מבחינתי 0. אני זוכה בסיכוי (קלוש אמנם) ובתקווה (קלושה אמנם) שיום אחד אוכל להתפטר מהעבודה ולנסוע לברזיל, דבר שלא יקרה גם אם אחסוך את 20 השקלים הללו.

    שנאת סיכון: מצחיק שאתה מזכיר את זה. אותו סטודנט שונא-פיס השתכנע רק שנה אחרי אותה שיחה, כשלמדנו על שנאת סיכון באיזשהו קורס (לא זוכר מה היה נושא הקורס.) לדעתי זה לא הסביר כלום: אז לחלק מהאנשים פונקצית התועלת קמורה, אבל למה שהיא תהיה קמורה מלכתחילה? (אולי גם לזה יש מודל, אבל בקורס ההוא לא הגענו לזה)

    אני חושב שעיקר המחלוקת שלי אתך היא שאתה אומר "לפעמים יש כאלו שמשתמשים במודל לא נכון", ואני אומר "כמעט תמיד כמעט כולם משתמשים במודל לא נכון ויותר מכך, בטוחים שהמסקנות שלהם נכונות כי זה 'רציונלי' ". אני רואה את זה כל הזמן, ואני בטוח שאני עושה את זה כל הזמן.

  14. רובוט – אני לא מסכים כאן. מה שיקרה הוא שאם שני הרובוטים שלנו ישחקו זה מול זה, שניהם יסיימו בתיקו – בדיוק מה שתורת המשחקים אומרת על המקרה הזה. תורת המשחקים לא אומרת שאי אפשר להשיג תוצאה טובה יותר, בהינתן ידע על אופן הפעולה של הירי – רק ש-50:50 זה הדבר הטוב ביותר שניתן להשיג ללא ידע כזה, ובהתמודדות עם יריב שמשחק בצורה אופטימלית. אף אחד לא מתבלבל כאן.

    מה שאתה אומר על סיכוי "קלוש" הוא בדיוק טיעון התוחלת המדובר… לא צריך לקנות במיליונים כדי שזה יהיה רלוונטי.

    עיקר המחלוקת – טוב, אני לא יודע אילו אנשים אתה מכיר ובמה אתם מתעסקים…

  15. התרשמות אישית:
    עניין אותי לראות איך ילדים משחקים במשחק. שיחקתי בזוג או פרט כמה עשרות פעמים עם אחד הבנים שלי, בן 6 וחצי, ונראה לי שמספר האצבעות שהוא שולף אקראי. לא בדקתי את ההיפותזה הזו בצורה מדויקת (לא ניהלתי רישום של מספרים), אך בשיחה עמו התרשמתי שלא היו לו העדפות למספרים מסוימים והוא נהנה להשתמש בכל המגוון (ויש לומר שהוא נהנה מאוד מהמשחק). צריך כמובן לסייג ולומר שייתכן שילדים אחרים משחקים אחרת וייתכן שהוא עצמו ישנה את הטקטיקה בהמשך.
    בשבוע הבא אנסה לדבר איתו על טקטיקות שונות. נראה אם זה יעניין אותו…

  16. רובוט: הרובוט הראשון ינצח בחצי מהמקרים, ויגיע לפחות לדירוג האמצעי בטורניר. הרובוט השני ינצח בחצי המקרים אם שאר המשתתפים הם רובוטים, ובקצת יותר אם הם לא. שניהם לא יגיעו למקום טוב בטורניר שבו רוב המשתתפים הם בשר ודם.

    "לא צריך לקנות במיליונים כדי שזה יהיה רלוונטי" – אתה בטוח?

    והאנשים שאני מכיר ועליהם אני מדבר הם, למשל, מתמטיקאים, מתכנתים, רופאים, סטטיסטיקאים, עיתונאים, בלוגרים.

  17. מודי, אתה התחלת מלתקוף את הרציונליות עצמה, ואז, כשזה לא הלך לך, עברת לתקיפת אותם אנשים שמשתמשים ברציונליות בצורה שגויה.
    ברור שכשאנשים משתמשים בכלי בצורה שגויה, התוצאות עשויות להיות לא משביעות-רצון ואף מזיקות. האם זה אומר שהכלי פגום מיסודו?
    אפשר להשתמש בסכין על-מנת להכין ארוחה דשנה, ואפשר גם להשתמש בו בשביל לרצוח אדם. האם זה אומר שסכינים הם מרושעים?

    הרציונליות אינה בעייתית, היא כלי חשוב שבלעדיו כל התקדמות של ההבנה שלנו את היקום היתה מאוד קשה ואף בלתי-אפשרית. זה שאנשים לוקחים את המושג של רציונליות, חושבים שהוא משהו אחר, משתמשים בו בצורה שגויה ואז עוד מתגאים בזה (והאמת היא שבין כל הדוגמאות שהבאת, עוד לא ראיתי דוגמה אחת באמת טובה לטענה הזאת) – טוב, זו בעיה של אותם אנשים.

  18. פוסט מעניין, לא ממש קראתי את התגובות…
    אחלה דיונים פה אם הכל כמו זה
    חחח איזה כיף להבין את כל זה בגילי…

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *