2=1+1

בואו נדבר על הקלישאה הגדולה ביותר שמשוייכת למתמטיקה: "$latex 1+1=2$". אתם תראו את זה בכל מקום, בתור האמת הנצחית הבסיסית ביותר של המתמטיקה. הדבר הזה שאם מתכחשים לו, מתכחשים לאמת האובייקטיבית שאולי קיימת ואולי לא. העקרון הבסיסי ביותר הזה שאין עוררין עליו. המושג העבש הזה שתוקע אנשים בהלכי חשיבה צרים ומדויקים במקום להיפתח לקוסמוס. ועוד ועוד ועוד.

הטריגר הנוכחי לפוסט הוא המאמר הבא של Ynet, שהציטוט הזה מתוכו מעביר היטב את רוח הדברים:

אותו הלילה נדדה שנתי, וחלום על מתמטיקה טרף אותה. בדמיוני עמדתי בודד ליד לוח והסברתי משוואות לקטנטן, פירקתי אותן עד לנימוק הכי בסיסי, עד שהגעתי לתהום שממנה אין מוצא: 1+1=2. השאלה שממנה כל כך חששתי הגיעה גם הגיעה: "אבא'לה, למה אחד ועוד אחד זה שניים?". התפרקתי לגמרי (בחלום) וצרחתי: "ככה! ככה! לא שמעת על אקסיומות?!".

ובכן – לא. זה לא ככה. זו לא אמת בסיסית שאין עוררין ואין חולקין עליה. המתמטיקה ממש לא נעצרת כאן. להשתעשע עם הקלישאה זה טוב ויפה, אבל נדמה לי שיש אנשים שחושבים ברצינות שעמדת המתמטיקה בנוגע ל-$latex 1+1=2$ היא ש"זה נכון כי ככה". בפוסט הזה ארצה לתת כמה נקודות מבט מתמטיות שונות על העניין.

השאלה הראשונה שיש לי אל מי שלא מוכן לקבל את $latex 1+1=2$ כפשוטו היא – כשאתם אומרים "2", למה אתם מתכוונים? המתמטיקה שואלת מה ההגדרה שלכם לסימן $latex 2$. קרוב לודאי שרובכם תענו ש-$latex 2$ הוא פשוט סימון מקוצר ל-$latex 1+1$, ולכן ברור ש-$latex 1+1=2$; אין בשוויון הזה שום דבר עמוק יותר מלהגיד ש-2 הוא הסימן שבו אתם משתמשים כדי לתאר את אחד ועוד אחד (ושימו לב שבכלל אין חשיבות לשאלה מה זה $latex 1$ בשבילכם, או אפילו מה זה $latex +$בשבילכם).

רק מה, המתמטיקאים לא מסכימים איתכם.

אחת מיצירות המופת המונומנטליות ביותר בתולדות המתמטיקה היא ה-Principia Mathematica שכתבו המתמטיקאים (והפילוסופים) ברטרנד ראסל ואלפרד נורת' וייטהד בתחילת המאה ה-20. מדובר על יצירה עבת כרס ביותר שניסתה לבסס את כל המתמטיקה על הלוגיקה המתמטית שהייתה בחיתוליה באותם ימים, ולעשות זאת בצורה הפורמלית והמדויקת ביותר האפשרית. מעולם לא קראתי אותה. אני לא מכיר אף אחד שעשה זאת. עם זאת, ציטוט אחד מתוכה זכה לתהילת עולם: אי שם בעמוד 379, אחרי הוכחת טענה שהמראה שלה גורם גם לי להתפלץ, השניים אומרים (ללא ספק בהומור עצמי) ש"מטענה זו ינבע, לאחר שחיבור אריתמטי יוגדר, ש-$latex 1+1=2$".


הלקח שיש ללמוד מהסיפור הזה הוא שהשוויון הזה לא מובן מאליו למתמטיקאים – הם לאו דווקא חושבים עליו בתור הגדרה. כמובן, נשאלת השאלה איך הם כן מגדירים את 1, את 2 ואת החיבור. אני לא מכיר את הגישה של ראסל ושל וייטהד, אבל גישה מקובלת למדי במתמטיקה של ימינו היא זו: ראשית מגדירים את המספר 0. כעת מגדירים לכל מספר משהו שנקרא "עוקב". אם $latex n$ הוא מספר, אז $latex S\left(n\right)$ הוא העוקב שלו. אנו משתמשים בסימון $latex 1$ כדי לתאר את $latex S\left(0\right)$ , ובסימון 2 כדי לתאר את $latex S\left(S\left(0\right)\right)$ וכן הלאה. אחר כך מגדירים גם את פעולת החיבור באמצעות עוקב: $latex a+0=a$ לכל $latex a$, וכמו כן $latex a+S\left(b\right)=S\left(a+b\right)$ (מבלבל? מצוין! נסו לחשוב על זה עוד קצת).

עם ההגדרות הללו, הטענה $latex 1+1=2$ היא בעצם משפט מתמטי: המשפט $latex S\left(0\right)+S\left(0\right)=S\left(S\left(0\right)\right)$ , שניתן לתת לו הוכחה שהולכת בערך כך: על פי ההגדרה של +, $latex a+S\left(b\right)=S\left(a+b\right)$ ולכן אם $latex a=S\left(0\right)$ ו-$latex b=0$ נקבל ש-$latex S\left(0\right)+S\left(0\right)=S\left(S\left(0\right)+0\right)$. כעת, מכיוון שעל פי ההגדרה של + מתקיים $latex a+0=a$ לכל $latex a$, אז $latex S\left(0\right)+0=S\left(0\right)$ ולכן $latex S\left(S\left(0\right)+0\right)=S\left(S\left(0\right)\right)$ והנה הגענו אל מה שרצינו להוכיח. במילים אחרות, $latex 1+1=2$, מנקודת המבט המתמטית, זו בכלל לא אקסיומה או טענה בסיסית שלא מתווכחים עליה; זו טענה שנובעת מהגדרות יותר בסיסיות וקל להוכיח אותה.

לא מסכימים עם ההגדרות היותר בסיסיות הללו? טוב ויפה, אבל זה בערך כמו לבוא למישהו שאומר "אין גשם היום" ולהגיד לו שהוא טועה כי בעברית שלכם המילה "היום" פירושה "מתישהו בחודש האחרון", ו"אין" פירושה בכלל "יש", ו"גשם" הוא בעצם "פלישה מסיבית של חייזרים שכוללת השמדה של הבית הלבן". ולא ידוע לנו על פלישה שכזו לאחרונה. אם אתם בוחרים לא להבין או לא לדבר את השפה זה לגיטימי לחלוטין, אבל לא מועיל במיוחד.

בכל זאת, אולי אפשר לתת פרשנויות שונות לסימנים ולקבל עולם קוהרנטי שבו $latex 1+1$ לא שווה $latex 2$? התשובה היא חד משמעית: כן, אפשר, והמתמטיקאים גם עושים את זה.

נתחיל מעוד קלישאה אהובה: "מה אם $latex 1+1=3$?" שמובאת לפעמים כדוגמה לחשיבה פורצת מסגרות. ובכן, אם $latex 1+1=3$ , ואם אנחנו מסכימים על כך שגם $latex 1+1+1=3$, אז קיבלנו ש-$latex 1+1=1+1+1$. אם אנחנו מסכימים שאפשר לחסר, אז קיבלנו מכך ש-$latex 0=1$ (אחרי שחיסרנו $latex 1+1$ משני האגפים), וזה בעצם אומר שהכל אפס. גם אפס, וגם אחד, וגם אחד ועוד אחד וגם כל דבר שהוא. לא הגישה הכי פרודקטיבית לחיים. אז אפשר להגיד שאי שם בדרך רימינו – למשל, שאסור לחסר, אבל אז עולה השאלה מה הטעם בחשבון שבו אחת מהפעולות הבסיסיות ביותר היא אסורה; או ש-$latex 1+1+1$ לא שווה 3, אבל אז נשאלת השאלה למה הוא כן שווה, והאם $latex 3$ הוא לא סתם סימון מוזר שלנו למספר שבדרך כלל קוראים לו "שתיים". בקיצור, אי אפשר להגיד ש-$latex 1+1=3$ בלי שתתחייב מכך זריקה לפח של כל מה שאנחנו מכירים בתור חשבון, והחלפתה במשהו שהוא טריוויאלי ולא מעניין כי לא קורה בו כלום. לי אישית נראה שאלו שאומרים $latex 1+1=3$ לא באמת חושבים מחוץ למסגרת, אלא פשוט לא חושבים – בפרט לא חושבים עד הסוף על ההשלכות של הטענות שלהם.

מה כן כדאי לעשות, והמתמטיקאים עושים? להגיד ש-$latex 1+1=0$. זה לא מוביל למסקנה ש-$latex 0=1$, וזה גם לא דורש מאיתנו לזרוק לפח את פעולות החשבון; ההפך, כל ארבע פעולות החשבון תקפות גם עבור העולם הקטן והנחמד שאנחנו מקבלים כשאנחנו מגדירים ש-$latex 1+1=0$. במתמטיקה קוראים לעולם הזה $latex \mathbb{Z}_{2}$ – זו דוגמה לשדה סופי; במקרה זה, השדה הסופי הקטן ביותר שקיים.

בפני עצמו לא נראה שאנחנו יודעים לעשות הרבה עם השדה הזה כי אנחנו יכולים לייצג מעט מאוד דברים כשיש לנו רק את 0 ו-1; אבל מותר לדבר גם על סדרות של היצורים הללו. למשל, יש 8 סדרות מאורך 3 של אפסים ואחדים, כש-$latex \left(1,0,1\right)$ ו-$latex \left(0,0,0\right)$ הן שתי דוגמאות. באופן כללי יש $latex 2^{n}$ סדרות מאורך $latex n$ של אפסים ואחדים – וזה כבר הרבה. חיש קל, עבור ערכים לא גדולים במיוחד של $latex n$, אנחנו מסוגלים לייצג כמויות אדירות של מידע.

בפועל, זה גם מה שקורה בתוך מחשבים: מחשבים לא יודעים לייצג מספרים מגודל שרירותי. מה שהם עושים ברמת החומרה הוא לייצג באופן אלקטרוני כלשהו ביטים – יצורים שיכולים להתפרש כמכילים רק 0 או 1. על הביטים הללו אפשר לבצע פעולות שונות ומשונות ובפרט את פעולת החיבור שהגדרנו, זו שבה $latex 1+1=0$ (בעולם האמיתי היא נקראת XOR). פרט לכך יש ל-$latex \mathbb{Z}_{2}$ גם מקום של כבוד במתמטיקה באופן כללי, אבל לא אכנס ליותר מדי פרטים כרגע. הנקודה החשובה היא שזה קיים, וזה לגיטימי. אף מתמטיקאי לא יטען שבהכרח $latex 1+1=2$; קרוב לודאי שהוא יוודא קודם כל שמדברים על מספרים טבעיים ועל פעולת החיבור הרגילה.

ורק עוד הערה לסיום: גם "זו אקסיומה" היא בימינו קלישאה שהקשר בין השימוש בה במתמטיקה לשימוש בה בשפת היומיום הוא שגוי. ביוון העתיקה "אקסיומה" הייתה אמת מובנת מאליה שאין עליה עוררין; מאז עברו אי-אלו אלפי שנים, התברר שכל מני דברים שנראים מובנים מאליהם וללא עוררין הם לא כל כך מובנים מאליהם (למשל, אקסיומת המקבילים המפורסמת) ובימינו "אקסיומה" במתמטיקה היא דרך לתאר הנחת יסוד – הנחה שיכולה להיות נכונה או לא נכונה, אבל אנחנו מוכנים לצורך ה"משחק" להניח שהיא נכונה ולראות מה יוצא מזה. בהחלט לגיטימי לעשות גם את ההפך – להניח שהאקסיומה לא נכונה ולראות מה יוצא גם במקרה הזה. רק שימו לב, כשאתם באים להשתעשע שכך, שקרוב לודאי שמתמטיקאים כבר חשבו על זה לפניכם.

31 תגובות בנושא “2=1+1”

  1. יכול להיות שהתגובה שלי היא תגובה של אלגבראיסט, אבל זה מה יש…
    במקרה של השדה בשני איברים, הוא מוגדר כחוג המנה של השלמים חלקי האידיאל הנוצר ל ידי 2. כשיוצרים חוג מנה, מה שעושים זה שמכריזים שהאיברים באידיאל שווים לאפס. לכן, לאמר שבשדה הזה 1+1 שונה מ-2 זה קצת מטעה. מה שכן נכון זה שבשדה הזה 2=0.
    להבנתי, איך שלא מסובבים את זה 2 מוגדר כ-1+1…
    יכול להיות שזו התפלספות, אבל מלכתחיל הפוסט הזה הוא קצת מתפלסף…

  2. השדה לא *חייב* להיות מוגדר כחוג המנה הזה; זו פשוט בניה אפשרית אחת שלו. אני מסכים שמבחינה רעיונית בחוג הזה "מזהים" את 0 ו-2, אבל אני חושב שהנקודה הרלוונטית פה היא בדיוק זו – שלא חושבים על 2 כעל משהו שונה מאשר 0.

  3. ראשית – זו פעם ראשונה שאני מגיב אבל אני קורא די מסור של הבלוג שהוא פשוט מעולה.

    ולעניין : הדוגמא שנתת לכך שלא מחויב מציאות ש- 1+1=2 ונתת את השלמים מודולו 2 לסיפור, היא קצת אחיזת עיניים. המספר 1 ופעולת החיבור ב-Z2 הם אחרים לחלוטין במשמעותם מאשר ב-Z. למעשה, כהמשך לפוסט שלך על לוגיקה משבוע שעבר, סינטקטית אולי מדובר באותה נוסחא אבל סמנטית מדובר ביצורים שונים לחלוטין, ולכן זה לא מדגים איזשהו "יקום מקביל" שבו 1+1=2 לא נכון.

  4. אבל זה בדיוק העניין – סמנטיקות שונות הן *בדיוק* "יקומים מקבילים" שכאלו. לפחות זה האופן שבו אני מבין סמנטיקות שונות. כמו שגאומטריה היפרבולית היא "יקום מקביל" לגיאומטריה האוקלידית שבו אקסיומת המקבילים אינה מתקיימת. מן הסתם זה דורש משמעות אחרת לסימבולים.

    הנקודה המרכזית כאן הייתה שהמשמעות הזו היא *קוהרנטית* ומובילה אותנו לעולם מעניין, להבדיל, נאמר, מלטעון ש-1+1=3.

  5. למען האמת אם תחשוב על זה תראה שבאמת זו כן אמת יסודית עד כדי כך שכנראה 2 הוא סימון ל 1+1. כי בעצם פעולת העוקב היא הפעולה של +1 לכל מספר ובקושי ניתן לחשוב עליה כפעולה יסודית יותר מחיבור ,נניח בתור פעולת הספירה שיוצרת את המספרים הטבעיים . כך שאפשר לומר קצת בנחת שאכן 1+1=2 זהו סימון והגדרה ובתור שכזה ,אקסיומה (אמנם טריוויאלית כמו כל האקסיומות בכל שפה מסדר ראשון שהן הגדרות (כלומר אקסיומות משמרות)).

  6. מהמעט שהבנתי,נראה כי הטענה ש 1+1 לא בהכרח 2 כי אפשר לדבר על בסיס לא דצימלי כמו שהכותב נתן דוגמא למחשב שפועל על בסיס בינארי ולכן 1+1=10.

    כל זה טוב ויפה אבל למה הכותב לא כותב מפורשות שזו כוונתו וסתם מסבך את המאמר?!

    וחוץ מזה כמו שאתה לא קראת את הספר Principia Mathematica יכול להיות שיש כאלו שאין להם כח לקרוא מאמר ארוך כל כך רק כדי לקבל מושג קטן כל כך.

    נ.ב הערה זו תקפה גם על תגובה זו :->

  7. אויי
    אולי זה מאוד פשוט ולא מיתימר להיות פילוסופי או מסובך
    ן + ן = ן ן ן ן 2
    + זה לא פלוס, לא ועוד ולא שום דבר אחר .

    שאלתי היא
    בכדי שנוכל לחבר ן ו ן ולהחשיב אותם ששוים בדיוק על מנת שתתקבל התשובה 2
    ן חייב להיות סופי ? מה שמעיד ש 2 הוא קבוצה של פעמיים אין סוף.
    אין צורך להתפלספ על ההגדרה פעמיים או 2 . רק על השאלה האים הקבוצה המכילה פעמיים אין סוף גדולה מאין סוף.
    והאם אפשר להגדיר את הקבוצה 2 כקבוצה במכילה את ן ו את ן ?

  8. אויי
    אולי זה מאוד פשוט ולא מיתימר להיות פילוסופי או מסובך
    ן + ן = ן ן ן ן שונה מ 2
    + זה לא פלוס, לא ועוד ולא שום דבר אחר .

    שאלתי היא
    בכדי שנוכל לחבר( ן ) ו ( ן ) ולהחשיב אותם כשווים בדיוק על מנת שתתקבל התשובה 2
    ( ן )חייב להיות סופי ? או ש 2 הוא קבוצה של פעמיים אין סוף.
    אין צורך להתפלספ על ההגדרה פעמיים או 2 . רק על השאלה העם קבוצה המכילה פעמיים אין סוף גדולה מאין סוף.
    והאם אפשר להגדיר את הקבוצה 2 כקבוצה המכילה את ( ן ) ואת ( ן )?

  9. באיחור של שנה… הדרך שאתה מציג את Z2 בתור Z/2Z היא לא הבניה היחידה.

    בפרט, אפשר להגיד שהבניה היחידה של שדהחבורה סופית שהיא "אוניברסלית" היא על ידי לוח כפל.

    גדי תיאר איך אפשר לבנות את לוח הכפל של השדה הבינארי מבלי להזדקק לפעולת המודולו. בהקשר הזה 0 ו-1 הם סימנים פורמאליים ולא בהכרח איברים בחוג השלמים שאתה כופה עליהם יחס מסויים על ידי חלוקה באידאל.

    אני לא מסכים איתך שהדרך "הנכונה" להסתכל על זה היא בתור חוג מנה, גם לא בהקשרים אלגבראיים.

  10. (באיחור מה)
    יש כמה בעיות רציניות בפוסט הזה.

    אתה אומר: " קרוב לודאי שרובכם תענו ש-2 הוא פשוט סימון מקוצר ל-1+1, ולכן ברור ש-1+1=2; אין בשוויון הזה שום דבר עמוק יותר מלהגיד ש-2 הוא הסימן שבו אתם משתמשים כדי לתאר את אחד ועוד אחד."
    אתה שם תשובה בפי הבר-פלוגתא המדומיין שלך, ואז ניגש להראות לו שהוא טועה. רוב הלא מתימטקאים לא היו חושבים על התשובה ששמת בפיהם, והתשובה הזאת היא כמובן לא נכונה. 2 הוא מספר, למשל מספרם של לוחות הברית או מספר האוזניים אצל רובנו. העובדה ש-1+1 היא 2 אינה תוצאה של הגדרה, אלא של העובדה שאם אספור את אוזניי אגיע לאותו מספר שאליו אגיע אם אספור את אוזני הימנית ואז את אוזני השמאלית, ואחבר את התוצאות. (לא שאני רוצה להתחייב שמספרים טבעיים הם תוצר של פעולת הספירה או משהו כזה. לא נכנס לביצה הזאת. זו ביצה בדיוק משום שהקומונסנס פה יציב כסלע ואילו הפילוסופיה מועדת כשיכור.)

    זה לא קשור ללוגיקה מתימטית או לפרינקיפיה מתימטיקה. אבל אם כבר העלית את זה, והערת ש-"הלקח שיש ללמוד מהסיפור הזה הוא שהשוויון הזה לא מובן מאליו למתמטיקאים", אז אני חושב שאתה לא מבין את המשימה של פרינקיפיה מתימטיקה. אמנם על פני השטח נדמה שיש שם הוכחה לכך ש-1+1=2. אבל זה רק משום שעסקינן בחיבור זה במערכת הוכחות. אנחנו מעוניינים לראות שמערכת ההוכחות שלנו שווה משהו, ולכן מדי פעם נוכיח דברים שבאמיתותם אנחנו כבר בטוחים. לו הפרינקיפיה הייתה מוכיחה ש-1+1>2, היינו זורקים את הפרינקיפיה לפח, ולא משנים את דעתנו על הסכום של אחד ואחד. מה שמראה שזו אינה באמת הוכחה של 1+1=2, אלא הדגמה שהוכחות בפרינקיפיה מניבות תוצאות רצויות.

    בנוסף, המקרים שבהם 1+1 לא שווה 2 (למשל במבנים אלגבריים מסוימים) היא מעניינת בפני עצמה, אבל אי אפשר להביא אותה כסימוכין לכך שלא מובן מאליו ש-1+1=2. כמו בהערתי הקודמת, העובדה הראשונית שממנה יוצאים היא 1+1=2. אחר כך מנסים להבין את העובדה הזאת במונחים יותר מערכתיים ומופשטים, ומגיעים למושגים של "מספר טבעי", "מספר שלם", "מספר רציונלי", "שדה". כשמכלילים את מושג השדה מגיעים למקרים מעניינים שבהם אקסיומות השדה נשמרות אבל 1+1=0. כאן ירשנו מהמקרה הפשוט את הסימונים 0,1,+,= , אבל לא ברור שיש להם אותו המובן כפי שהיה להם במקרה המוריש (מלבד אולי =).

    בקיצור, לא השתכנעתי בכלל ממה שכתבת.

  11. תגדירו לי מה זה אחד מה זה כל דבר בנוי מאטומים מלא אטומים מה זה אחד ?? אנחנו מגדירים אוביקט כאחד או חפץ כאחד אבל איפה שהוא זו הסכמה לקבל את זה כאחד

  12. פוסט נהדר!
    לדעתי קלעת בול למטרה המוצהרת בבלוג – נושא מהתרבות הפופולרית המובא כאן עם הסברים רהוטים, מעניינים ונגישים, גם אם הם לא בדיוק מדויקים (האמת, לא מצאתי אי דיוקים, אבל גם לא חיפשתי, כי לא לשם כך התכנסנו).
    ישר כוח על המטרה הנפלאה – הנגשת המדע לקהל!

    ומשהו חמוד לסיום –
    http://www.ted.com/talks/tyler_dewitt_hey_science_teachers_make_it_fun

  13. ואת כל זה רצית שהוא יגיד לבן שלו כדי להוכיח לו למה 1+1=2?
    אבל זה נחמד. לקח לי קצת זמן להבין את זה, אבל זה בהחלט מעניין.

  14. בשביל הבן מספיקה התשובה של "2 הוא מה שאנחנו קוראים ל-1+1". אם הבן היה שואל יותר, אפשר היה לענות לו יותר.

  15. אתה לא יודע מתמטיקה. ניסית להישמע חכם ואתה נשמע בור לחלוטין.
    1+1=2 כי זה מה שקורה בעולם האמתי עם בשדה הממשים (R). אם יש לך תפוח אחד ועוד תפוח יש לך שנים. זו האמת ואין על זה ויכוח בכלל. אם אתה רוצה להתפלסף מה זה מספר אפשר גם להפלסף מה זה מילה מה זה בלוג מה אם אנחנו טועים כל הזמן, זה דיון פילוסופי שלא קשור למתמטיקה.
    כשניסית להתפלסף ולהצדיק את התפיסה העקומה הזו טעית טעות גסה במתמטיקה – Z2 כשדה סגור. Z2 הוא לא שדה. כדי שמשהו יחשב לשדה הוא צריך להיות עם מספר תכונות. אחת מהן היא איבר ניטרלי לחיבור (במקרה ה"שדה" הזה 0). ואיבר ניטרלי לכפל (במקרה הזה גם 0). אך שני האיברים צריכים להיות *שונים*. לכן זה לא שדה.
    -אם תטען ש- 1 הוא האיבר הניטרלי לכפל (מהמשוואה 0=0*1), אזי האיבר הניטרלי לחיבור חייב להיות 0. (כי האיבר הניטרלי לכפל חייב להיות שונה מהאיבר הניטרלי לחיבור כדי שזה יחשב לשדה, האיבר הניטרלי לכפל הוא 1 אז לחיבור חייב להיות 0). ואם האיבר הנטרלי לחיבור הוא 0 אז 0+0=0. אם גם 1+1 וגם 0+0 שווים ל0 אזי שני המספרים זהים. (ואין לך בין היתר שני איברים שונים אחד ניטרלי לחיבור ואחד ניטרלי לכפל). מסיבות דומות גם שאר תכונות השדה לא מתקיימות, כמו איבר נגדי לחיבור ואיבר הופכי לכפל. כך שזה לא שדה.

  16. מאמר לא מדויק. אתה בא ואומר שבשדה Z_2 מתקיים ש-1+1 לא שווה ל-2, אבל כאן אתה בדיוק נופל לאותו מכשול הבא לידי ביטוי בשאלה המקורית. קודם כל צריך לתת קונטקס הגיוני למהו 2.

    אם אתה מסתכל על המספר 2 השלם הרגיל, אז ברור ש-1+1 לא שווה ל-2 שכן הם לא נמצאים באותו עולם (זה לא אפשרי אפילו לשכן את Z_n ב-R), אבל אם אתה מסתכל על הגדרה מקובלת ל-2 בשדה פשוט כחיבור של 1 שני פעמים, אז אתה מקבל שאכן 1+1 = 2 שבמקרה שווה לאיבר ה-0 של השדה.

    ככה שלדעתי השדה המדובר הוא לא שינוי התפיסה ש-"1+1 = 2" אלא שינוי התפיסה ש-"1+1 שונה מ-0".

  17. אבל אני לא עושה את הדברים שאתה מתאר. אני מדבר כל הזמן על המספרים 0,1,2 הטבעיים הרגילים, הטובים והאהובים עלינו.

    מה שמשתנה הוא *פעולת החיבור*.

  18. העניין הוא שאם אתה משנה את פעולות הבסיסיות, אז מה שנותר לך זה רק סימבולים. אי אפשר לדבר על 0,1 כטבעיים הרגילים כשאתה משנה את פעולת החיבור.

    הדבר הגיוני היחיד שעולה לי לראש היא אולי להתייחס לכך שאתה מגדיר הומומופיזם מהשלמים (כחוג) לחוג Z_2 וגם אז תקבל ש-2=0.

  19. בטח שאפשר לדבר על 0,1 כטבעיים רגילים כשאני משנה את פעולת החיבור. מה זה האיסורים המשונים הללו? בפוסט הזה בדיוק טרחתי להסביר שאפשר להגדיר את הטבעיים בלי להזדקק בכלל לפעולת החיבור כחלק מההגדרה.

  20. משהו שחסר לי: האם יש משמעות ל-1+4 או ל-2+5 או שאתה מגדיר חיבור רק בין מספרים מהקבוצה {0,1}?

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *