האם סדרת פיבונאצ'י מסתתרת באלפבית העברי?

בסדרת הפוסטים שלי על דילוגי אותיות בתורה אמרתי פחות או יותר את כל מה שיש לי לומר על הנסיונות המוזרים לרתום את מה שנראה כמו צירופי מקרים בלתי אפשריים כדי "להוכיח" משהו שלא באמת יכולה להתקיים עבורו הוכחה. אבל זה לא אומר שלא מתחשק לי לפעמים לכתוב על נסיונות כאלו, בתנאי שהם נותנים לי תירוץ טוב לדבר על מתמטיקה אמיתית מעניינת, וזה מה שאעשה עכשיו. אמנם, את המתמטיקה הרלוונטית כבר הצגתי בעבר בבלוג, אבל זו הזדמנות לראות יישום אמיתי שלה "בשטח".

התופעה המדהימה שאנחנו מדברים עליה כאן היא זו: לוקחים את האלפבית העברי, בוחרים צורת איות ספציפית, חריגה יחסית, לאותיות שלו, ואז משחקים את המשחק הבא: לוקחים אות, מחליפים אותה באותיות שמרכיבות את שמה, ואז מחליפים אותן באותיות שמרכיבות את שמותיהן, וכן הלאה. בכל צעד במשחק אנחנו מקבלים מחרוזת (סדרת אותיות) מאורך הולך וגדל. ה"קסם" הוא שעבור חלק מהאותיות, סדרת אורכי המחרוזות שמתקבלות תואמת בצורה מסויימת מאוד את סדרת פיבונאצ'י. מכיוון שסדרת פיבונאצ'י זוכה ליחסי ציבור מצויינים בעולם, זה כנראה אמור לומר משהו.

הפוסט הזה לא בא לנסות ולבטל את התגלית הזו או לרמוז שאתם אמורים להאמין או לא להאמין במשהו בגללה. אני רוצה לענות על כמה שאלות מעניינות יותר. ראשית, מה בדיוק קורה שם; שנית, למה בעצם זה קורה, ולבסוף איך אפשר לנתח את הסבירות שזה יקרה. אחרי שמבינים מה בדיוק קורה שם ולמה, ברמת הפרטים הטכניים, ההילה המיסטית נעלמת מעצמה (אצלי לפחות). הפוסט יהיה מורכב משלושה חלקים שפחות או יותר הולכים מהקל אל הכבד. אני מקווה שהראשון יהיה נגיש לכל הקוראים, בזמן שהשני כנראה ידרוש קצת נטייה למדעי המחשב והשלישי כבר ידרוש היכרות כלשהי עם מתמטיקה.

חלק ראשון שבו אנחנו משחקים משחקים

אם כן, בואו ונתחיל. אני נתקלתי בתופעה בסרטון הבא, אבל אין הכרח שתראו אותו, אתאר את הכל בעצמי. הדרך הפשוטה ביותר היא באמצעות דוגמה. אני מתחיל מהאות א'. את האות הזו כותבים "אלף", אז במשחק שלנו אנחנו מחליפים אותה ב"א ל פ". עכשיו אני מטפל בכל שלוש האותיות באופן דומה ומקבל את "א ל פ ל מ ד פ א" (שלוש האותיות הראשונות התקבלו מהא'; שלוש הבאות מהל' ושתי האחרונות מהפ'). כך אני ממשיך עד אין קץ. עכשיו אנחנו בודקים את סדרת המספרים של מספר האותיות שיש לנו בכל שלב. בשלב הראשון יש 1; בשני יש 3, בשלישי יש 8, וכך זה מתקדם. אם תחשבו מספיק איברים מהסדרה, תגלו שהיא תואמת לגמרי את סדרת האיברים האי-זוגיים בסדרת פיבונאצ'י. בואו נציג את הסדרה הזו עבור מי שלא זוכר או מכיר: זו סדרת מספרים שהאיבר הראשון בה הוא 0 והשני הוא 1 וכל איבר אחרי שני אלו שווה לסכום של קודמיו. האיבר השלישי בסדרה הוא גם כן $latex 1$ כי $latex 0+1=1$; האיבר הרביעי בסדרה הוא 2, כי $latex 1+1=2$; האיבר שאחר כך הוא 3, אחר כך 5 וכן הלאה.

סדרת פיבונאצ'י היא דבר מעניין. היא צצה בכל מני מקומות במתמטיקה ותמיד כיף לפגוש אותה. אבל צריך להבין שזו לא סדרה קסומה באופן מיוחד, היא פשוט דוגמה פשוטה במיוחד לסדרה שמוגדרת באמצעות נוסחת נסיגה. סדרה מוגדרת באמצעות נוסחת נסיגה אם נתונים לנו כמה איברים ראשונים שלה באופן מפורש, ומכאן והלאה כל איבר ניתן לחשוב מתוך קודמיו. בואו נכניס קצת כתיב מתמטי לתמונה: $latex F_{1}=0,F_{2}=1$ הם האיברים הראשונים בסדרה, ולכל $latex n\ge3$ מתקיים $latex F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$.

יש סדרות פשוטות אף יותר שמוגדרות באמצעות נוסחת נסיגה. למשל, הנוסחה $latex a_{1}=1$ ו-$latex a_{n}=a_{n-1}$ מגדירה את הסדרה $latex 1,1,1,\dots$. באופן דומה, הנוסחה $latex a_{1}=1$ ו-$latex a_{n}=2a_{n-1}$ מגדירה את הסדרה המעניינת יותר $latex 1,2,4,8,16,\dots$ ובאופן כללי, אם $latex q$ הוא מספר כלשהו, אז נוסחת הנסיגה $latex a_{1}=1$ ו-$latex a_{n}=qa_{n-1}$ מגדירה את הסדרה $latex 1,q,q^{2},q^{3},\dots$ – זה מה שנקרא סדרה הנדסית. גם נוסחת הנסיגה הזו וגם נוסחת הנסיגה של פיבונאצ'י הן מה שנקרא נוסחאות נסיגה לינאריות. זה אומר שכל איבר מתקבל באופן הבא: לוקחים חלק מהאיברים הקודמים (תמיד את אותם איברים ביחס לנוכחי, למשל "שני האיברים האחרונים" של פיבונאצ'י); כופלים אותם במספרים קבועים כלשהם; מחברים את הכל (למי שמכיר את המושג – כל איבר בסדרה הוא צירוף לינארי של מספר קבוע מקודמיו).

עכשיו, אנחנו מתעניינים כאן לא בסדרת פיבונאצ'י עצמה, אלא רק באיברים במקומות האי-זוגיים. בואו נסמן את הסדרה החדשה הזו בתור $latex G_{n}$. האם אנחנו מסוגלים למצוא נוסחת נסיגה עבור $latex G_{n}$? בהחלט. נקבל ש-$latex G_{n}=3G_{n-1}-G_{n-2}$. רוצים לראות את החישוב בעצמכם? אין בעיה (לא רוצים? דלגו הלאה):

אנחנו יודעים ש-$latex G_{n}=F_{2n-1}$ (נסו להציב $latex n=1,2,3$ ולראות מה מקבלים אם אתם לא מאמינים), אז בואו נשתמש בנוסחת הנסיגה של $latex F_{n}$:

$latex G_{n}=F_{2n-1}=F_{2n-2}+F_{2n-3}=2F_{2n-3}+F_{2n-4}$

עכשיו, $latex G_{n-1}=F_{2n-3}$ אז הגענו אל $latex 2G_{n-1}+F_{2n-4}$. אנחנו רוצים איכשהו להיפטר מה-$latex F_{2n-4}$ המעצבן הזה. לשם כך נשים לב ש-$latex G_{n-1}-G_{n-2}=F_{2n-3}-F_{2n-5}=F_{2n-4}+F_{2n-5}-F_{2n-5}=F_{2n-4}$, כפי שרצינו. לכן מגיעים לנוסחה $latex G_{n}=3G_{n-1}-G_{n-2}$ המובטחת – שום דבר מרגש במיוחד עד כה.

אם כן, ראינו שגם עבור "האיברים במקומות האי-זוגיים של פיבונאצ'י" יש לנו נוסחת נסיגה לינארית (עבור האיברים במקומות הזוגיים נקבל את אותה נוסחת נסיגה, אבל עם תנאי התחלה שונים). למה אני מפיל את כל זה עליכם? כי התוצאה המתמטית הבסיסית מאחורי כל הסיפור היא זו: המשחק הזה שבו לוקחים אות ומחליפים אותה באיות שלה, וכן הלאה – אם אנחנו מסתכלים על הסדרה שהמשחק הזה מגדיר, הסדרה הזו תמיד תאופיין על ידי נוסחת נסיגה לינארית. לא משנה מאיזו אות התחלנו, ולא משנה מה האופן שבו אנחנו מאייתים את שמות האותיות. זה יהיה נכון גם באנגלית, וגם בצרפתית, וגם באלפבית מומצא וכן הלאה. נוסחת נסיגה לינארית תמיד תהיה. השאלה המעניינת היא האם זו תהיה נוסחת נסיגה פשוטה. התשובה היא שלילית; לרוב נוסחת הנסיגה תהיה יותר מסובכת – מספר האיברים "אחורה" בה יכול להיות כמספר האותיות שמשתתפות במשחק (במקרה שלנו, 22). אז בואו ננסה להבין מה גורם לנוסחה להיות פשוטה במיוחד במקרה שלנו. השורה התחתונה היא שהרבה פחות אותיות משתתפות במשחק משנדמה לנו וששמות האותיות קצרים ופשוטים יחסית, אבל עדיין לא פשוטים מדי.

בתור התחלה, בואו נראה אילו אותיות מתקבלות כשמתחלים את המשחק עם א'. מהאות א' אנחנו מקבלים גם את ל' ואת פ'. מ-פ' אנחנו לא מקבלים משהו חדש – פ"א מורכבת רק מאותיות שכבר ראינו. מל' אנחנו מקבלים את מ' ואת ד'. מ' לא מוסיפה לנו משהו חדש, אבל דל"ת מוסיפה לנו את ת'. ת' מוסיפה לנו את ו', ואילו ו' לא מוסיפה לנו שום דבר חדש. אז סך הכל קיבלנו שבע אותיות: א ד ו ל פ מ ת (הנה לכם מסר שחבוי בא"ב העברי! מדהים, לא?). הנה האיותים שלהן שבהם משתמשים במשחק:

  1. אל"פ
  2. דל"ת
  3. וא"ו
  4. למ"ד
  5. מ"מ
  6. פ"א
  7. תא"ו

זה לא האיות הסטנדרטי (בדרך כלל כותבים ו"ו ות"ו). האיות הסטנדרטי פשוט לא מניב שום דבר מעניין (מקבלים נוסחאות נסיגה מסובכות יחסית שלא מנפיקות פיבונאצ'י). האיות שבו משתמשים כאן הוא כן ככל הנראה איות לגיטימי שקיים איפה שהוא ביקום בלי קשר למשחק הזה; נחזור לנקודה הזו בהמשך. בינתיים שימו לב שכל שאר האותיות בעברית פשוט לא מעורבות במשחק הזה – הן לא רלוונטיות ואפשר לשכוח מהן. אז ה"קסם" שיש כאן, אם יש קסם, נובע רק משבע האותיות הללו.

מה שנחמד הוא שאפשר לקחת את האלפבית הזה ולפשט אותו עוד יותר ועדיין לקבל משהו שמניב בדיוק את אותה סדרה. למעשה, האלפבית הפשוט ביותר שמניב את הסדרה הזו הוא האלפבית המלאכותי הבא:

  1. אא"פ
  2. פ"א

אלפבית שכולל רק שתי אותיות! נסו לייצר את הסדרה שמתקבלת כאן אם אתם צריכים שכנוע שאכן מתקבל פיבונאצ'י במקומות האי זוגיים; בהמשך אוכיח לכם שזה מה שקורה בצורה שכולם יוכלו לעקוב אחריה, גם לפני התיאוריה הכללית. בואו נשחק עכשיו משחק שבו אני מדגים איך אפשר לייצר מהאלפבית הפשוט הזה את האלפבית בן 7 האותיות שלעיל, מבלי לשנות את התכונה שלפיה א' מייצר את סדרת הפיבונאצ'י שלנו. זה כנראה יהיה השלב הקשה ביותר למעקב בחלק הזה של הפוסט, אבל למה שלא תנסו? הבונוס הוא שנלמד איך לייצר המון אלפביתים שבהם מתקיימת התכונה הפיבונאצ'ית, לא רק זה שלעיל.

התעלול הראשון שנעשה יהיה להוסיף אות חדשה שמתנהגת בדיוק כמו אות קיימת, ובכך לא משנה את הסדרה שנוצרת. נניח שאני רוצה להוסיף את האות ל' ורוצה שהיא תתנהג בדיוק כמו א'. מה השם שאתן לה? ובכן, לא"פ הולך לעבוד. זה יהיה האלפבית החדש שלי:

  1. אא"פ
  2. לא"פ
  3. פ"א

למה זה עובד? האינטואיציה היא של' היא אות שמייצרת אותיות בצורה הבאה: היא מייצרת א', היא מייצרת פ', והיא מייצרת את עצמה. ומה א' עושה? אם תחשבו על זה, היא עושה אותו דבר בדיוק: מייצרת א', מייצרת פ', ומייצרת את עצמה (כמובן, אולי נראה הגיוני יותר לומר שהיא מייצרת את עצמה פעמיים, אבל אז הסימטריה עם ל' פחות ברורה).

עכשיו לתעלול הבא שלי – לשנות קצת את השם של א':

  1. אל"פ
  2. לא"פ
  3. פ"א

כאן לא השתנה שום דבר מהותי כי החלפנו מופע אחד של א' בשם "אאפ" במופע אחד של ל', וכבר הסכמנו שא' ול' הן אותו הדבר. אבל ההחלפה הזו היא חיובית מאוד מבחינתנו כי סוף סוף השם של א' באמת נראה כמו השם שלו באלפבית הסופי שאנחנו מנסים לבנות. גם פ"א היא הצלחה. אז יש לנו בעיה רק עם ל' המסכנה.

בואו נתחיל להוסיף אותיות. נפתח עם מ':

  1. אל"פ
  2. לא"פ
  3. פ"א
  4. מ"מ

מ' מייצרת רק את עצמה, פעמיים. זה יוצר סדרה שונה מאשר יצרה אא"פ בהתחלה (כי שם היה גם פ' מעורב) או ממה שפ"א יצרה, ולכן קיבלנו פה אות חדשה שהיא לא שכפול של משהו קיים. עכשיו, נניח שהייתי מוסיף את ו' באיות הרגיל שלה, ו"ו – הייתי מקבל שכפול של מ'. כמו כן, אם הייתי מוסיף אחר כך את ת' באיות הרגיל שלה – ת"ו – הייתי מקבל עוד שכפול של מ' (כי ו"ו מצייתת לחוקיות של "יוצרת את עצמה ועוד ו' אחד" וגם ת"ו מצייתת לחוקיות של "יוצרת את עצמה ועוד ו' אחד"). אלא ששכפולים כאלו של מ' לא עוזרים לנו ולכן אנחנו מעדיפים את האיות האחר, עם הא' באמצע:

  1. אל"פ
  2. לא"פ
  3. פ"א
  4. מ"מ
  5. וא"ו
  6. תא"ו

וממה שכבר עשינו עד עכשיו אני מקווה שברור שו' ות' הן שכפולים האחת של השניה – שתיהן מייצרות את אותה סדרה.

תור מי עכשיו? דל"ת. בשלב הזה אנחנו כבר משופשפים מספיק כדי לראות די בקלות שנקבל ממנה את אותה סדרה כמו וא"ו ותא"ו: אם נתחיל עם דא"ד נקבל אות שמתנהגת בדיוק כמו וא"ו (מחזירה פעמיים את עצמה ופעם אחת א') ולכן מייצרת את אותה סדרה. עכשיו נחליף את הד' השני בת' השקול, ואת הא' שבאמצע בל' השקול:

  1. אל"פ
  2. לא"פ
  3. פ"א
  4. מ"מ
  5. וא"ו
  6. תא"ו
  7. דל"ת

ברשימה הזו 1-2 הן שקולות, וגם 5-7 הן שקולות. כל האותיות הן עם השמות הנכונים שלהן למעט למ"ד. כאן מגיע הקסם היחיד: איכשהו לא"פ ולמ"ד הן שקולות למרות שהאותיות שלהן מייצגות סדרות שונות. בגלל הל' המשותף שיש לשתיהן בהתחלה, השאלה היא קצת יותר פשוטה: למה א"פ ומ"ד הן שקולות. מכיוון שד' שקולה לו', יותר קל לשאול למה פ"א שקולה אל מ"ו. זה טיפה טריקי, אבל לא כל כך קשה לראות את זה. נחזור לרגע לתיאור המקורי שלנו של א' בתור אא"פ. עכשיו, מה קורה אם לוקחים את פ"א ופותחים אותה פעם אחת? מקבלים

פ א

פ א א א פ

כלומר, ממופע אחד של פ"א קיבלנו שני מופעים של פ"א, ובנוסף לכך עוד א' בונוס.

ומה קורה עם מ"ו? יקרה אותו דבר בדיוק: נקבל שני מופעים של מ"ו, ובנוסף לכך עוד א' בונוס:

מ ו

מ מ ו א ו

סדר האותיות הוא שונה, אבל הסדר לא חשוב. מה שחשוב הוא שאחרי שפותחים את זה פעם אחת, מקבלים שני מ'מים, שני ו'וים, וא' אחת. זה מסיים את המסע הארוך שהתחלנו עם הא"ב בן שתי האותיות אא"פ, פ"א. ה"קסם" של פיבונאצ'י נמצא, אם כן, כבר בא"ב הזעיר הזה – כל שאר השינויים שאני מבצע הם מהצורה של החלפה של אות אחת בשקולה לה, הוספה של אותיות חדשות עם שם פשוט, ובסוף החלפה גאונית של שתי אותיות בו זמנית. אפשר לשחק עם זה כמה שבא לכם ולבנות המוני אלפבתים מלאכותיים שיניבו כולם את סדרת פיבונאצ'י. האם יש משהו מיוחד בכך שאחד מהא"בים שנותנים אותה כך הוא אחד מהוריאנטים על כתיבת שמות אותיות בעברית? אתם תחליטו

אני עדיין חייב לכם הסבר למה האלפבית שכולל את אא"פ ואת פ"א נותן את סדרת פיבונאצ'י במקומות האי זוגיים. למרבה המזל די קל להראות את זה באופן מפורש. בואו נסמן ב-$latex A\left(n\right)$ את אורך המילה שמתקבלת מאא"פ אחרי שביצענו $latex n$ סיבובים של המשחק. בואו נסמן ב-$latex B\left(n\right)$ את אותו הדבר עבור פ"א. אז אני יודע ש-$latex A\left(0\right)=B\left(0\right)=1$ וכמו כן יש לי את שתי המשוואות הבאות:

$latex A\left(n\right)=2A\left(n-1\right)+B\left(n-1\right)$

$latex B\left(n\right)=A\left(n-1\right)+B\left(n-1\right)$

המשוואה הראשונה אומרת: אחרי סיבוב אחד עם א', אנחנו מחליפים אותו ב"א א פ" ועכשיו נשארו לנו רק עוד $latex n-1$ סיבובים. בסיבובים הללו ה-"א" הראשון יפתח לנו לסדרה באורך $latex A\left(n-1\right)$ וכך גם (בנפרד ממנו) ה"א" השני; ואילו ה-"פ" יפתח לסדרה מאורך $latex B\left(n-1\right)$. גם המשוואה השניה מחושבת באותו האופן.

כעת, שימו לב שאפשר "לפתוח עד הסוף" את המשוואה השניה על ידי הצבות חוזרות ונשנות של $latex B$:

$latex B\left(n\right)=A\left(n-1\right)+B\left(n-1\right)=A\left(n-1\right)+A\left(n-2\right)+B\left(n-2\right)=\dots=A\left(n-1\right)+\dots+A\left(1\right)+A\left(0\right)$

כלומר, $latex B\left(n\right)$ הוא בסך הכל סכום כל ה-$latex A$-ים עד ולא כולל $latex A\left(n\right)$. אפשר להציב את זה במשוואה הראשונה ולקבל:

$latex A\left(n\right)=2A\left(n-1\right)+A\left(n-2\right)+\dots+A\left(0\right)$

שימו לב שאני הצבתי את הנוסחה ש"פתחתי עד הסוף" לא ב-$latex B\left(n\right)$ אלא ב-$latex B\left(n-1\right)$ ולכן הסכום התחיל מ-$latex A\left(n-2\right)$.

עכשיו קחו את הנוסחה הזו והציבו במקום $latex n$ את $latex n-1$ ותקבלו:

$latex A\left(n-1\right)=2A\left(n-2\right)+A\left(n-3\right)+\dots+A\left(0\right)$

מה שמעניין כאן הוא שבשתי המשוואות שקיבלתי, ה"זנב" זהה – שתיהן מהצורה "משהו ואז הסכום $latex A\left(n-3\right)+A\left(n-4\right)+\dots+A\left(0\right)$". זה אומר שאם אני אחסר את המשוואה מהשניה כל ה"זנב" הזה יתבטל:

$latex A\left(n\right)-A\left(n-1\right)=2A\left(n-1\right)+A\left(n-2\right)-2A\left(n-2\right)$

נעביר אגפים ונפשט ונקבל:

$latex A\left(n\right)=3A\left(n-1\right)-A\left(n-2\right)$

וזו בדיוק הנוסחה לסדרת פיבונאצ'י במקומות האי זוגיים שחישבתי קודם! עכשיו אנחנו מבינים עד הסוף מאיפה היא הגיעה.

אחרי שהבנו איך זה קורה, אפשר לשאול את השאלה כמה זה נדיר – "מה ההסתברות שזה יקרה". הבעיה היא שלא ממש ברור איך מודדים הסתברות כזו, והדרכים שנראות מתבקשות נעות בין טעויות תמימות לבין הטעיות של ממש, כמו שיש בסרטון שקישרתי אליו ומציג את העניין. לב העניין בכך שכשאני שואל "מה ההסתברות שיקרה כך וכך" אני צריך להבהיר לעצמי מה בעצם ההגרלה שמתבצעת כאן – ואפשר לחשוב על שלל הגרלות שונות ומשונות שנותנות תוצאות שונות לגמרי ולא ברור מי מהן היא ההגרלה ה"נכונה".

הנה השאלה בצורה מסודרת: נניח שאני מגריל אלפבית כלשהו. מה ההסתברות שהסדרה שתתקבל מהאות א' תהיה סדרת פיבונאצ'י-במקומות-האי-זוגיים? נשמע סביר? ובכן, מה זה בכלל אומר, "אלפבית כלשהו"? כמה אותיות יהיו באלפבית? 22, כמו בעברית? אולי 26 כמו באנגלית? ולמה לא 7, בעצם? הרי ראינו שה"קסם" שיש בעברית נובע משבע אותיות בלבד. וכשאני אומר "אלפבית כלשהו", איך אני קובע מה יהיו השמות של האותיות? האם לבחור שמות שהאורך שלהם הוא מגודל שרירותי? כלומר, האם לאפשר אותיות שהשמות שלהן הם מאורך 1,000 אותיות? בעברית האותיות הרלוונטיות הן בעלות שמות מאורך 2 או 3 בלבד. אולי לבחור רק את האורכים הללו? והאם יש מגבלות נוספות על בחירת האותיות של השמות? בעברית האות הראשונה בשם של כל אות היא האות הזו עצמה (אל"ף מתחיל בא', בי"ת מתחיל בב' וכן הלאה). האם לדרוש את זה במפורש בהגרלה שאנחנו מבצעים?

כל השאלות הללו הן קריטיות. כאמור, הסיבה לכך שפיבונאצ'י צץ בעברית הוא שהסיטואציה היא ממש פשוטה. שיש מעט מאוד אותיות שמעורבות במשחק הזה, וכל שם של אות מתחיל באות הזו עצמה, וכדומה. אם נשנה קצת את הכללים הללו הסיכוי שנקבל סדרה פשוטה כמו פיבונאצ'י אכן יהיה אפסי; אבל איך מחליטים אילו כללים לקחת ואילו לא לקחת? כפי שאתם רואים, כל השאלות הללו לא מוגדרות היטב, ולכן כל השאלה של "מה ההסתברות שזה יקרה" היא בעייתית. עדיין, מי שלא מתחשק לו כשהוא רואה את זה לנסות כל מני הגרלות שונות ומשונות ולראות מה צץ – לא מבין אתכם. בחלק הבא נדבר על מה עושה מי שכן רוצה לבצע הגרלות שונות ומשונות.

לסיום החלק הזה אני רוצה לומר בכל זאת מילה על הסרטון שקישרתי אליו – ספציפית, אל ה"ניתוח" ההסתברותי שמתואר שם (הניתוח אינו בסרטון עצמו אלא מצורף כתגובה לסרטון בדף היוטיוב; הנה צילום מסך). הניתוח הזה הוא רמאות גמורה שהדבר הטוב היחיד שאפשר להגיד עליה הוא שייתכן שהיא נובעת מבורות במתמטיקה ולא מרצון לעבוד על הקוראים. אני לא אתעמק בו כי חבל על הזמן אבל אם מישהו רוצה לשאול שאלה קונקרטית עליו הוא מוזמן לעשות זאת בתגובות. החישוב הזה הוא דוגמה נאה במיוחד לצורך בהגדרה מסודרת של מרחב המדגם שלנו ושל המאורעות שאת ההסתברות שלהם אנחנו מודדים – כל נסיון לבצע את הפורמליזציה הזו עם מה שהוא מעולל שם פשוט לא הולך לעבוד (למשל, זה נראה שבמקום להגריל אלפבית ולראות מה קורה איתו, הוא מגריל בכל איטרציה במשחק את מה שכל אות הולכת לייצר). מה שכן מעניין שם הוא האופן שבו הוא מבצע את הסימולציה – הוא בוחר בתוך הסימולציה שמות לאותיות מאורכים שמתפלגים בדומה להתפלגות אורכי המילים בעברית באופן כללי. זה, כמובן, מאוד לא מציאותי; השמות של אותיות האלפבית העברי הן קצרות מאוד (ה-4 של גימל הוא היוצא מן הכלל באורכו). בואו נעבור לדבר עכשיו על איך מבצעים סימולציות ומה באמת הפרמטרים הסבירים לסימולציות שכאלו.

חלק שני שבו אנחנו כותבים קוד ומנפנפים בידיים

הדבר החשוב ביותר כשבאים לבצע סימולציות, כמובן, הוא למצוא דרך לחשב מהר את נוסחת הנסיגה עבור אלפבית שרירותי. כאן נכנס לתמונה ידע מתמטי לא טריוויאלי לחלוטין שעוסק בתיאוריה של כל הסיטואציה הזו – גם כדי להוכיח שבכלל תמיד מתקבלת נוסחת נסיגה, וגם כדי לדעת איך אפשר למצוא אותה. הידע הזה הוא היתרון המרכזי שיש לי על פני האדם המזדמן שנתקבל בסרטון הזה ותוהה אם מה שיש שם נכון או לא. הוא יכול לכתוב את האיברים הראשונים של מה שמתקבל מא' בעצמו, ואולי גם לכתוב תוכנית מחשב שמייצרת אותם, אבל מתי בדיוק הוא אמור להפסיק? אחרי שהוא ניסה את 1000 האיברים הראשונים וראה שיוצא אותו דבר?

מה שאני עושה הוא לכתוב סקריפט פייתון שמקבל אלפבית כלשהו, גם שרירותי ומונפץ, ומחשב את נוסחת הנסיגה עבור כל אות שלו. למה פייתון? כי אני מתבסס על ספריה מתמטית שנקראת Sympy והיא שימושית מאוד לחישובים שאני מבצע. הנה קטע הקוד המלא שמקבל את האלפבית (בתור מילון שבו המפתחות הן אותיות והערך שמותאם לכל מפתח הוא הכתיב של האות) ומוציא את רשימת נוסחאות הנסיגה:

def gf_to_recurrence_relation(gf):
    gf = gf.simplify()
    coeffs = Poly(fraction(gf)[1],x).coeffs()
    c = (-1 / coeffs.pop())
    coeffs = [co*c for co in coeffs]
    init_vals = Poly(gf.nseries(x,0,len(coeffs))).coeffs()
    init_vals.pop()
    init_vals.reverse()
    return (coeffs, init_vals)

def find_gfs(letters, letter_names):
    n = len(letters)
    m = Matrix([[letter_names[letters[j]].count(letters[i]) for i in range(n)] for j in range(n)])
    u = Matrix([[1] for k in range(n)])
    gfs = (eye(n) - x * m)**(-1) * u
    return gfs

def find_recurrence_relations(letter_names):
    letters = letter_names.keys()
    letters.sort()
    gfs = find_gfs(letters, letter_names)
    return [(letter, gf_to_recurrence_relation(gf)) for letter,gf in zip(letters,gfs)]

מה לעזאזל קורה בקוד הזה? ובכן, את זה אסביר בחלק השלישי. אני מראה אותו כאן רק כדי שתראו עד כמה זה קל לבצע את החישוב הזה, בהינתן ידע לא נרחב בתכנות ובמתמטיקה.

הדבר הראשון שעושים, כמובן, הוא להפעיל את זה על עברית (עם האיות החריג של תא"ו ושל וא"ו) ולראות שזה עובד. הנה חלק מהתוצאות שקיבלתי:

Letter: א, Recurrence: ([-1, 3], [1, 3])
Letter: ד, Recurrence: ([2, -7, 5], [1, 3, 9])
Letter: ו, Recurrence: ([2, -7, 5], [1, 3, 9])
Letter: ל, Recurrence: ([-1, 3], [1, 3])
Letter: מ, Recurrence: ([2], [1])
Letter: פ, Recurrence: ([-1, 3], [1, 2])
Letter: ת, Recurrence: ([2, -7, 5], [1, 3, 9])

אני מציג את נוסחת הנסיגה בתור זוג של רשימות. הראשונה היא רשימת המקדמים של נוסחת הנסיגה, מהקטן לגדול; השניה היא רשימת האיברים הראשונים בסדרה שמגדירה נוסחת הנסיגה. אז עבור א' יש לנו את הרשימה $latex \left[-1,3\right]$ שמתארת את נוסחת הנסיגה $latex A\left(n\right)=3A\left(n-1\right)-A\left(n-2\right)$ עם רשימת האיברים הראשונים $latex \left[1,3\right]$ שמתארת את $latex A\left(1\right)=1$ ו-$latex A\left(2\right)=3$, ואכן מתקבלים פה בדיוק מספרי פיבונאצ'י במקומות האי זוגיים. עבור ה' למשל מתקבלים אותם מקדמים של נוסחת הנסיגה אבל עם האיברים הראשונים $latex \left[1,2\right]$, וזה מניב את רשימת האיברים של פיבונאצ'י במקומות הזוגיים. אין עוד משהו ממש מעניין פרט לכך עבור עברית.

עכשיו, אם עשינו את זה בעברית אפשר לעשות את זה לשפות אחרות! האם מקבלים משהו נחמד? ובכן, ניסיתי לעשות את זה עבור אנגלית, רוסית, יוונית וערבית. פיבונאצ'י לא צץ שוב. עבור רוסית, יוונית וערבית כל סדרות הנסיגה שהתקבלו היו מסובכות יחסית. באנגלית קרה בדיוק ההפך – קיבלתי סדרות מאוד פשוטות. למשל, הסדרה $latex 1,2,3,\dots$ והסדרה $latex 1,3,5,7,9,\dots$ וכדומה, וכמובן שגם דברים מסובכים טיפה יותר כמו $latex 1,2,9,22,41,66,97,134,177,226$ (עבור y). מה השתבש? איפה ההבדל בין זה ובין עברית? ובכן, ברוסית, יוונית וערבית שמות המילים מסובכים יותר מאשר בעברית – ארוכים יותר, ומערבים יותר אותיות. באנגלית המצב שונה בצורה דרסטית: כל חמש האותיות שמייצגות תנועה, a,e,i,o,u הן בעלות "שם" בן אות אחת – הן עצמן. זה הופך את הסדרה שלהן לסדרה הטריוויאלית $latex 1,1,1,1,\dots$. שמות מרבית האותיות האחרות מבוססים על לקיחת האות והוספה של תנועה אחריה. למשל d היא dee. מכיוון ש-e מייצרת רק את עצמה, הסדרה שתתקבל מ-d היא d,dee,deeee,deeeeee וכן הלאה – קיבלנו את כל האי-זוגיים. ה"בעיה" הזו לא ייחודית לאנגלית – כל שפה עם אלפבית שמתבסס על זה הלטיני תהיה בעלת תכונה דומה (הסתכלתי למשל על צרפתית, שוודית, דנית והונגרית והגעתי למסקנה שאין טעם אפילו לנסות אותן). האם יש שפות נוספות שכדאי לנסות לחפש בהן? אתם מוזמנים להציע כאן הצעות, ורצוי כאלו שיבואו עם מילון מתאים שאני יכול כבר להזין לסקריפט שלי.

מהניסויים הללו אפשר לשער קריטריון לגבי מה צריך להיות האיפיון של אלפבית "טוב", כזה שפיבונאצ'י מתחבא בו. הנה הקריטריונים שחשבתי עליהם: שיהיו בו רק שבע אותיות (ליתר דיוק, שיהיו בו שבע אותיות שהשמות של כולן מורכבים רק מאותן שבע אותיות). שהשם של כל אות יהיה באורך 2 או 3. שהשם של כל אות יכלול את האות הזו עצמה. בהינתן שלושת הקריטריונים הללו, אפשר לבצע סימולציה – להגריל הרבה אלפביתים מלאכותיים, לחשב את נוסחאות הנסיגה עבורן ולראות מה קורה. סימולציה רצינית תצטרך לכלול מאות אלפי אלפבתים רציניים. אני רצתי על מדגמים קטנים בהרבה, כך שכל מה שאני כותב על הסימולציות יכול וצריך להילקח בערבון מוגבל מאוד; אני לא חושב שזה חשוב מספיק כדי להצדיק מחקר רציני יותר, אבל מי שסקרן תמיד יכול לכתוב את הקוד בעצמו.

התחלתי אם כן עם הקריטריונים שתיארתי לעיל. בניסוי הזה מה שקיבלתי הוא שבערך 10 אחוז מהאלפביתים יתנו את פיבונאצ'י במקומות האי זוגיים. שזה, לדעתי, לא רע. צריך לזכור שגם עבור עברית האיות הסטנדרטי לא עובד ונדרשו כמה "נסיונות" שונים (כלומר, כמה איותים שונים) כדי שנקבל אחד שבו התופעה צצה (עם הכתיב המוזר למראה של ת' בתור תא"ו). כמובן שעכשיו זו שאלה מעניינת לראות איך סיכויי ההצלחה משתנים כאשר משנים את הפרמטרים השונים.

כשניסיתי להגדיל את אורך השמות האפשרי עד 10 הסקריפט לא הצליח למצוא שום פיבונאצ'י וגם קרס בשלב מסויים מרוב חישובים. לא כל כך מפתיע, וממחיש יפה איזה חיים קלים עשו לעצמם מי שבחרו לבצע רק סימולציה כזו. כשחזרתי לאורך מקסימלי 3, אבל הרשיתי גם  אורך 1 (כמו באנגלית) אחוזי ההצלחה צללו ל-4.5%, כך שזו בהחלט נראית כמו תכונה שמקלקלת קצת. התעצלתי ולא טרחתי להפוך את התרחיש הזה לדומה עוד יותר למה שקורה באנגלית – שם אורך 1 שייך בלעדית לתנועות, והשמות של כמעט כל אות מורכבים בעיקר מתנועות. אין לי ספק שזה היה מוריד את הסיכוי עוד יותר.

ניסוי מתבקש אחר הוא להשאיר את אורך המילים ב-2-3, אבל להרשות לשם של אות לא להתחיל באותה האות. ציפיתי שזה יפגע בסיכויי ההצלחה, אבל לא שיערתי עד כמה – החישובים נהיו מסובכים פי כמה וכמה ואחוזי ההצלחה הפכו לאפסיים. עבור כל השפות האמיתיות שבדקתי התכונה הזו של אות שהיא הראשונה בשם שלה התקיימה ברוב האותיות; עכשיו נראה לי שהתכונה הזו ממש קריטית. האם אתם מכירים שפות שבהן זה לא מתקיים? מכל מקום ברור שסימולציה שלא דורשת את התכונה הזו במפורש היא עוד סוג של עבודה בעיניים.

ניתן להמשיך עם עוד ועוד סימולציות ואתם מוזמנים להציע כאלו בתגובות ואולי אוסיף אותן כאן בדיעבד, אבל כרגע נראה לי שמה שבאמת מעניין הוא מה לעזאזל עושה הקוד שלי ומה התיאוריה הכללית מאחורי כל העסק הזה. בואו נדבר על זה.

חלק שלישי ובו אנחנו מגיעים למתמטיקה

טוב, אז עכשיו בואו נפסיק עם הטיזינג ונסביר סוף סוף את המתמטיקה שהולכת פה. מה שיש לנו הוא מקרה פרטי של סיטואציה כללית שבקומבינטוריקה מתייחסים אליה בתור Transfer-matrix (זה שם שמופיע גם בשלל הקשרים אחרים; אם תחפשו אותו בויקיפדיה, למשל, בכלל לא תמצאו את הדבר הקומבינטורי שאני מתאר, שאותו אפשר למצוא למשל בפרק 4.7 ב-Enumerative Combinatorics של Stanely, חלק ראשון). קומבינטוריקה אנומרטיבית מתעסקת בספירה של איברים מסוג מסויים בהתאם לגודל $latex n$ שלהם (למשל, מספר התמורות מגודל $latex n$ הוא $latex n!$). מה אנחנו סופרים בסיטואציה של Transfer-matrix? הכי קל לדמיין את זה, לדעתי, הוא בתור ספירה של מסלולים בגרף. קחו גרף מכוון $latex G=\left(V,E\right)$ שבו מותר שיהיו קשתות מקבילות (כלומר, יותר מקשת אחת באותו כיוון בין זוג צמתים). קחו זוג צמתים $latex v,u\in V$ כלשהם ותשאלו את השאלה הבאה: מה מספר המסלולים מאורך $latex n$ מ-$latex v$ אל $latex u$ (כאשר מסלולים שעוברים בקשתות מקבילות נספרים בנפרד)? בעיית הספירה הזו היא בדיוק בעיית Transfer-matrix, ועל כל בעיה שמטופלת עם Transfer-matrix אפשר לחשוב כבעיה כזו.

אצלנו צמתי הגרף כוללים את כל האותיות באלפבית שלנו, ויש קשת מאות $latex a$ אל אות $latex b$ לכל מופע של $latex b$ באיות של $latex a$. הנה הגרף עבור החלק הרלוונטי של השפה העברית עבורנו:

fib2

המספר שאנחנו סופרים בסופו של דבר הוא את מספר המסלולים מהאות א' אל כל האותיות האפשריות. מה אומר מסלול מאורך 3, למשל, מהאות א' לאות אחרת? הוא מתאר את האופן שבו האות האחרת הזו נוצרת מתוך א' – את מי א' גזר שאחר כך גזר אות אחרת שבסוף גזר את האות שבקצה המסלול.

איך מחשבים את זה? אני מניח שדי ברור שמאוד בזבזני לייצר את כל האותיות בפועל, כפי שעושים בסרטון כדי לעשות רושם. מה שעושים במתמטיקה הוא להשתמש באלגברה לינארית – ספציפית, כפל מטריצות. בפוסט שלי על כפל מטריצות תיארתי במדויק את האופן שבו משתמשים בכפל כזה בדיוק לצורך פתרון בעיית ספירת המסלולים הזו, כך שלא אחזור על זה כאן. הנה השורה התחתונה: אם $latex A$ היא המטריצה שמייצגת את הגרף, דהיינו $latex A_{ij}$ כוללת את מספר הקשתות מ-$latex v_{i}$ אל $latex v_{j}$, אז $latex A^{n}$ מכילה את מספר המסלולים מאורך $latex n$: $latex \left(A^{n}\right)_{ij}$ הוא בדיוק מספר המסלולים מאורך $latex n$ מ-$latex i$ אל $latex j$. לכן, אם אנחנו רוצים "לחלץ" מהמטריצה את מספר המסלולים מאורך $latex n$ מצומת כלשהו אל כל הצמתים בגרף, נגדיר $latex u=\left[\begin{array}{c}1\\1\\\vdots\\1\end{array}\right]$ ונחשב את הכפל $latex A^{n}\cdot u$. התוצאה תהיה וקטור שבכניסה ה-$latex i$ שלו יש את מספר המסלולים מאורך $latex n$ מ-$latex v_{i}$ אל כל הצמתים בגרף.

העניין הוא שהקומבינטוריקה לא עוצרת כאן. ראינו איך אפשר לחשב מספר עבור $latex n$ ספציפי, אבל הקומבינטוריקה רוצה למצוא מידע על כל ה-$latex n$-ים בבת אחת. נוסחה סגורה שתלויה ב-$latex n$ היא דבר אחד שאפשר לרצות, ולמעשה יש כזו; אבל היא תהיה כל כך מבורחשת שכבר נצטער שביקשנו את זה. אפשר לשאול האם יש לנו במקרה הזה נוסחת נסיגה. אני טענתי קודם שכן, תמיד יש נוסחת נסיגה; בואו נבין עכשיו למה זה כל כך ברור.

הקסם פה הוא שבהינתן מטריצה מעל שדה, יש נוסחת נסיגה עבור חזקות של המטריצה. כלומר, החל ממקום מסויים אפשר לתאר את $latex A^{n}$ בתור צירוף לינארי של חזקות קטנות יותר. הנה דרך מיידית לראות את זה, שדורשת רק מעט מאוד אלגברה לינארית: אם $latex A$ היא מסדר $latex k\times k$ היא איבר של מרחב וקטורי ממימד $latex k^{2}$ (קחו את כל המטריצות $latex e_{ij}$ שיש בהן 0 בכל מקום למעט 1 בכניסה $latex i,j$; זו קבוצה בלתי תלויה שפורשת את המרחב). מכאן שאם ניקח $latex k^{2}+1$ איברים במרחב הזה הם יהיו תלויים לינארית. אז בואו ניקח את $latex A^{0},A^{1},A^{2},\dots,A^{k^{2}}$. קיים צירוף לינארי לא טריוויאלי $latex \sum\lambda_{n}A^{n}=0$; ניקח את החזקה הגבוהה ביותר של מטריצה שהמקדם שלה שונה מאפס, נחלק במקדם הזה את המשוואה, נעביר אגף, והופס, קיבלנו נוסחת נסיגה. מהנימוק הזה רואים שנוסחת הנסיגה תכלול לכל היותר $latex k^{2}$ צעדים אחורה; אבל מתמטיקה טיפה יותר מתקדמת מראה שהמצב עוד יותר פשוט. משפט קיילי-המילטון אומר שהפולינום המינימלי שמאפס את $latex A$ מחלק את הפולינום האופייני של $latex A$, שלא חשוב כרגע מה הוא אבל הדרגה שלו היא $latex k$; זה אומר שקיימת נוסחת נסיגה שמערבת לכל היותר $latex k$ איברים אחורה. אם נחזור לעברית, אז בגרסה שבה יש לנו רק 7 אותיות, זה אומר שנוסחת הנסיגה שלנו תהיה לכל היותר בת 7 איברים אחורה. זה "שדה המשחק" שלנו מלכתחילה; אין שום סיכוי, עבור שום אלפבית שבעולם מהגודל הזה (ולא משנה כמה מסובך האיות של שמות המילים בו), שנקבל נוסחאות נסיגה מסובכות יותר, או משהו שבכלל לא ניתן לתיאור על ידי נוסחת נסיגה.

איך מוצאים את נוסחת הנסיגה בפועל? אפשר למצוא את הפולינום המינימלי של המטריצה, אבל יש דרך אחרת, שנראית פסיכית יותר והיא כנראה יעילה יותר. מה שאני הולך למצוא הוא את הפונקציה היוצרת של הסדרות הרלוונטיות; מהפונקציה היוצרת אפשר "לקרוא" את נוסחת הנסיגה. את כל זה תיארתי כבר בפוסט קודם, שבמקום לדבר על מסלולים בגרף דיבר על מילים שמתקבלות על ידי אוטומט סופי; אם חושבים על זה שניה ברור שזה אותו הדבר. החישוב שאני עושה בפועל הוא זה: לוקח את $latex A$; כופל אותה בפולינום $latex x$ (פולינום ממעלה 1 עם מקדם חופשי 0 ומקדם מוביל 1); מפחית את התוצאה ממטריצת היחידה $latex I_{k}$; ואז מחשב את ההופכי של כל העסק הזה, כלומר את $latex \left(I_{k}-xA\right)^{-1}$. כדי שתהיה משמעות לחישוב הזה צריך להבין שעברנו לעבוד בחוג המטריצות מעל שדה הפונקציות הרציונליות עם מקדמים ששייכים לשדה שמעליו היינו קודם (נאמר, הרציונליים). זה אומר שאחרי ביצוע החישוב, הכניסות של המטריצה שנקבל יהיו פונקציות רציונליות, ואז נבצע את הכפל $latex \left(I_{k}-xA\right)^{-1}\cdot u$ ונקבל וקטור של פונקציות רציונליות, שאפשר להוכיח שהן הפונקציות היוצרות של הסדרות הרלוונטיות.

כאן נגמר הקסם של האלגברה הלינארית ומתחיל הקסם של ניתוח פונקציות יוצרות רציונליות, שגם אליו לא אכנס כרגע. הפאנץ' הוא זה: עבור סדרה שמיוצגת על ידי פונקציה רציונלית, המכנה של הפונקציה הרציונלית מקודד את נוסחת הנסיגה. למשל, אצלנו עבור א' מתקבלת הפונקציה היוצרת הבאה:

$latex \frac{1}{x^{2}-3x+1}$

מה שעושים תמיד הוא לקחת את סדרת המקדמים של הפולינום במכנה, להעיף ממנה את המקדם החופשי, לכפול הכל במינוס 1, והתוצאה שמתקבלת (כשקוראים אותה החל מהמקדם המוביל) היא סדרת המקדמים של נוסחת הנסיגה. מתמטיקה בפעולה, אנשים!

אם תסתכלו על הקוד תראו שזה גם בדיוק מה שאני עושה. כמובן, זה עדיין לא מוצא את כל המידע על נוסחת הנסיגה – צריך גם לדעת את האיברים הראשונים של הסדרה. כדי לדעת את זה, מפתחים את הפונקציה הרציונלית לטור טיילור ומוצאים את האיברים הראשונים (גם את זה הקוד שלי עושה). כאן המונה של הפונקציה בא לידי ביטוי – מונים שונים יגררו ערכי התחלה שונים. עבור פ', למשל, הפונקציה היוצרת היא

$latex \frac{1-x}{x^{2}-3x+1}$

זה משחק נחמד, להבין איך המונה בדיוק משפיע.

זו הסיבה שבגללה כל הסיפור הזה נראה לי מגוחך מלכתחילה. אני יכול להבין את ההתלהבות של מי שלא ברור לו שאמורה להיות חוקיות כלשהי בסדרת המספרים שמופקת במשחק המוזר הזה, אבל לי היה ברור מלכתחילה שיש חוקיות של נוסחת נסיגה. היה משהו מפתיע בכך שהתקבלה נוסחת נסיגה פשוטה כל כך – שני איברים אחורה במקום 22 – אבל כפי שראינו בתחילת הפוסט, קצת בדיקה מראה בדיוק מה הגורמים שמביאים לכך (העובדה שיש רק 7 אותיות במשחק, ושיש מידה לא מעטה של סימטריה גם ביניהן, ומיעוט הקשתות באופן כללי). עבורי ההילה המיסטית נעלמה, אבל הכיף שבלדבר על דברים מגניבים במתמטיקה שמעורבים בסיפור הזה נותר.

34 תגובות בנושא “האם סדרת פיבונאצ'י מסתתרת באלפבית העברי?”

  1. מאמר מעניין. על המתמטיקה הרשיתי לעצמי לוותר. מכל מקום, אלמלא האיות המוזר של ת"ו (תא"ו) שאינו תקני כלל, עורך הסרטון היה יכול לטעון שהשימוש באותן ז' אותיות, העובדה שיש ביניהן סימטריה וחפיפה ומיעוט הקשתות הן פרי תכנון אלוהי שנועד להצפין בתוכו את הסדרה. אכן, העובדה שהאיות הזה של אחת משבע האותיות אינו קיים במסורת העברית מלמדת שאין תכנון כזה והוא פרשנות אישית של יוצר הסרטון בלבד המבוססת על האיות שיצר.

  2. אפשר לטעון מה שרוצים על אלוהים. זה לא מעניין. יש סיבה שבכלל לא טרחתי להיכנס לדיון הזה בפוסט. מי שצריך דבר כמו זה כדי להאמין, תנחומי, אבל שיהיה לו לבריאות.

    השאלה שעניינה אותי הייתה האם מבחינה מתמטית התופעה הזו חריגה או מוזרה. התשובה: נההה.

  3. השוחד יעור פקחים ויסלף דברי צדיקים - ועל אחת כמה וכמה את מי שאינם ×¤×§× הגיב:

    ל-אליהו גליל: איות מילוי א' מופיע בזוהר, ראה פירוש הרמ"ז על זוהר במדבר – עמוד 173. כמו גם במקורות קבלה אחרים. בדיקה פשוטה הייתה מגלה זאת.

    ל-גדי, אתה טוען שלא נכנסת לדיון לגבי ה', אבל נכנסת ובצורה מאד משוחדת המניחה הנחות מראש (למשל בפסקה הראשונה והשלישית כבר רואים זאת בבירור).
    אפילו לשיטתך המוצגת בעמוד אינטרנט זה, שאר השפות שבדקת לא מכילות את סדרת פיבונאצ'י באותיות שלהן. אז התופעה יוצאת דופן וייחודית לשפה העברית על פי דבריך הכתובים כאן.

    "ובכן, ניסיתי לעשות את זה עבור אנגלית, רוסית, יוונית וערבית. פיבונאצ'י לא צץ שוב. עבור רוסית, יוונית וערבית כל סדרות הנסיגה שהתקבלו היו מסובכות יחסית. באנגלית קרה בדיוק ההפך – קיבלתי סדרות מאוד פשוטות. למשל, הסדרה 1,2,3,… והסדרה 1,3,5,7,9,… וכדומה, וכמובן שגם דברים מסובכים טיפה יותר כמו 1,2,9,22,41,66,97,134,177,226 (עבור y). מה השתבש? איפה ההבדל בין זה ובין עברית? ובכן, ברוסית, יוונית וערבית שמות המילים מסובכים יותר מאשר בעברית – ארוכים יותר, ומערבים יותר אותיות. באנגלית המצב שונה בצורה דרסטית: כל חמש האותיות שמייצגות תנועה, a,e,i,o,u הן בעלות "שם" בן אות אחת – הן עצמן. זה הופך את הסדרה שלהן לסדרה הטריוויאלית 1,1,1,1,…. שמות מרבית האותיות האחרות מבוססים על לקיחת האות והוספה של תנועה אחריה. למשל d היא dee. מכיוון ש-e מייצרת רק את עצמה, הסדרה שתתקבל מ-d היא d,dee,deeee,deeeeee וכן הלאה – קיבלנו את כל האי-זוגיים. ה"בעיה" הזו לא ייחודית לאנגלית – כל שפה עם אלפבית שמתבסס על זה הלטיני תהיה בעלת תכונה דומה (הסתכלתי למשל על צרפתית, שוודית, דנית והונגרית והגעתי למסקנה שאין טעם אפילו לנסות אותן). האם יש שפות נוספות שכדאי לנסות לחפש בהן? אתם מוזמנים להציע כאן הצעות, ורצוי כאלו שיבואו עם מילון מתאים שאני יכול כבר להזין לסקריפט שלי."

    בודאי שסדרת פיבונאצ'י מופיעה באותיות האלף-בית בזכות הצורה שבה שמות האותיות בשפת הקודשת כתובות ובנויות, שכן, אם האותיות לא היו בנויות כך (או בצורה דומה), אז לא הייתה מופיעה סדרת פיבונאצ'י כפועל יוצא של מבנה האותיות בעברית המקראית. ראה תגובתו של פרופסור דניאל מיכלסון לגבי התופעה המוצגת בסרטון זה כמופיע במכון "המטרה אמת". כמו כן, נוספו פרמטרים נוספים של התאמות אליהם לא התייחסו לא אתה ולא ביוטיוב בחישוב ההסתברות, אשר מורידים את הסיכוי לתוצר מקרי עוד יותר (נוצרו מילים קיימות בשפה העברית, התאמה לדבר קל יחסית אך עדיין התאמה: ערכים מספריים ללא אפס של האותיות לסדרת פיבונאצ'י).

    מה שעשית כאן דומה לשאלת שאלה כזו:
    אם יש מדפסת בחדר, היא מחוברת לחשמל ולמחשב ויש בה דפים ודיו וכל מה שצריך כדי להדפיס דפים אז מה הפלא שהיא מדפיסה דפים? כשל לוגי – המסקנה המוצגת בשאלה אינה נובעת מהתפיסה של השאלה הקשורה לבדיקת הממצא. זהו הלך רוח מחשבתי ברור שבו אדם יורה את החץ ואז מסמן מטרה ומתעלם מהממצאים שאסף בדרך כפי שנח למסקנה שלו שהוכנה מראש.

    במילים אחרות: זו בכלל לא השאלה הנכונה, השאלה הנכונה היא מה הסבירות שבאופן מקרי החלקים המסוגלים להרכיב את המדפסת יגיעו למצב שבו הם מחוברים בצורה הנכונה ומסונכרנים עם המחשב כדי יצירת מכונה המדפיסה דפים ללא תכנון.

    או במקרה שלנו: מה הסבירות שבאופן מקרי שמות האותיות של האלף-בית המועברים במסורה מהעת העתיקה כתובים בצורה הספציפית הזו – התואמת לסדרת פיבונאצ'י ב-4 אותיות בצורה רקורסיבית מלאה ללא תכנון? על זה נוספות שאלות כגון לאחר שיש התאמה, מה הסבירות שהאותיות מחוברות לידי מילים בשפה עצמה וכן הלאה.

    לגבי חישוב בשיטת מונטה קרלו, יש כאן שתי השערות, האחת שהופעת הסדרה זוהי תוצאה של תכנון, השנייה (השערת האפס שלך) שזה מקרי, כלומר תוצאה של חוסר תכנון. כדי לבדוק את זה אתה אמור לנסות ולקחת כמה שיותר גורמים מקריים/חופשיים ומשוחררים מתבניות ולשחזר את הצורה שבה בן אנוש שישב בחדר ויבקשו ממנו לתת שמות לתוים, בצורה שרירותית ייתן אותם (בהתאם לפרמטרים אנושיים ותוספות הקשורות ל'מקרה'/רנדום) כלומר לנסות לעשות סימולציה של שחזור המקרה ללא תכנון מודע להופעת הסדרה באותיות. כביכול מקביל להושבת אלפי או עשרות אלפי אנשים שיבחרו באופן כפי שמתחשק להם את שמות האותיות ואיותן. כאן נכנסים שיקולים אנושיים הנובעים מהנתונים העומדים בפני האנשים והלך הרוח והחשיבה שלהם.

    לצורך כך, מי שיצר את התוכנה המוצגת ביוטיוב השתמש בהלך הרוח של מחשבת התורה כאשר לקח בחשבון את תדירות האותיות והסתברות אורך המילים בכדי לדמות תהליך יצירת שמות לאותיות, בהנחה שמי שנתן שמות לאותיות עשה זאת על פי רוח התורה והמקרא – קרי, היה פועל בצורת מחשבה דומה לזו שפעלה בשאר המילים בתורה והמקרא, כראוי ונכון לעשות (לטובת השערת האפס שלך – 'מקרי').
    כלומר אם היו ממציאים עוד מילה מקראית, כיצד הייתה בנויה? עד כמה שאנו יכולים לומר (כשמניחים את השערת האפס שלך, דהיינו 'מקריות'), או רנדומאלי לגמרי או על בסיס הקריטריונים של המקרא. בוודאי שאם היינו מניחים ""רנדומאליות מוחלטת"" אז המובהקות של מדגם המבוסס על שיטת מונטה קרלו היה מניב תוצאות משמעותיות בהרבה גם מאלו המוצגות ביוטיוב.

    הדבר היחיד שאולי ניתן לטעון בצדק בהקשר זה וכפי שהזכרת בדבריך, זה שהפרמטר של אות ראשונה כמתחילה של שם האות עצמה זהו פרמטר שניתן לפקפק לגבי האם יש או אין להוסיפו בשיטת מדידה זו, על בסיס הופעת התופעה בשפות שונות. כמו כן, עצם הופעה של אות אחת באורך 4 כבר מצדיק הגרלה של אותיות באורך זה, כמו כן האות צד'י מופיעה בחלק מהספרות העתיקה עם האות ק' בסוף "צדיק" (4 אותיות).

    לאחר הוספת הקריטריון הזה (אות ראשונה בשם האות), אשר נראה שיש לך על מה לבסס את הצבתו בצורה מוצדקת – בדיקה הסתברותית עדיין תניב תוצאה מובהקת מאד לכך שהתוצאה של מבנה האותיות בעברית המקראית המייצרות את סדרת פיבונאצ'י על שני צדדיה ב-4 אותיות זוהי תוצאה הנובעת מתכנון והיא אינה מקרית.

    התבקשתי להגיב לך כדי שתהיה כאן תגובה מושכלת לדבריך, לא תהיה תגובה נוספת מצידי מכיוון שכבר הוכחת כיצד אתה ניגש לנושא: "השוחד יעור פקחים ויסלף דברי צדיקים" (שמות כג', ח') (ועל אחת כמה וכמה את מי שאינם פקחים / צדיקים) ומי שרוצה יכול לקרוא את דבריו של פרופסור דניאל מיכלסון.

    אסיים ואומר שלפי שיטת המחשבה הניכרת מדבריך הכתובים כאן – ראינו בהגדה של פסח בדיוק במה מדובר:
    "רשע מה הוא אומר?
    'מה העבודה הזאת לכם?'
    לכם ולא לו.

    ולפי שהוציא את עצמו מן הכלל כפר בעיקר
    ואף אתה הקהה את שיניו ואמור לו
    בעבור זה עשה ה' לי בצאתי ממצרים, לי ולא לו.
    אילו היה שם לא היה נגאל."

  4. כתבת:

    ברשימה הזו 1-2 הן שקולות, וגם 5-7 הן שקולות. כל האותיות הן עם השמות הנכונים שלהן למעט למ"ד. כאן מגיע הקסם היחיד: איכשהו לא"פ ולמ"ד הן שקולות למרות שהאותיות שלהן מייצגות סדרות שונות. בגלל הל' המשותף שיש לשתיהן בהתחלה, השאלה היא קצת יותר פשוטה: למה א"פ ומ"ד הן שקולות. מכיוון שד' שקולה לו', יותר קל לשאול למה פ"א שקולה אל מ"ו.

    ומכאן אתה ממשיך להוכיח למה פ"א שקולה אל מ"ו. אבל אתה לא אמור להוכיח את פ"א אלא את א"פ. איכשהו התחלף לך סדר האותיות, או שאני מפספס משהו.

  5. אמיתי: תחשוב על זה שניה. אין שום הבדל בין א"פ ובין פ"א מבחינת הסדרה המספרית הנוצרת.

  6. אני מאוד אוהב את הבלוג שלך, ומעיין בו הרבה..
    אבל אני מצטער, הדבר האחרון שעשית פה, זה להוכיח שזה לא חריג..

    נתחיל בטענה שסדרת פיבונאצ׳י היא סתם סדרה:
    הטבע כבר הוכיח שזו סדרה שרחוקה מלהיות סתם סדרה, יחס הזהב שנוצר ממנה, התכונות המיוחדות שכבר ההודים שמו לב אליהן, אני בטוח במליון אחוז שאתה מודע לחשיבות הסדרה הזו ושהיא ממש לא עוד ״סתם סדרה״

    בטענה שליצור סדרה כזו זה ״נההה״:
    אשמח אם תוכיח זאת ע״י דוגמה, כמו בשפה האנגלית, רוסית, איטלקית, ערבית, לטינית מצידי..
    אם זה כלכך פשוט זו משימה פשוטה, ואתה מביא דוגמאות מדהימות בטורים שלך, וכותב דברים מאוד מעניינים – פעם ראשונה שאני נתקל בטענה כלכך לא מבוססת.
    וכן, קראתי את הפוסט, אבל אני מצטער – זה רחוק מלהפריך את הטענה שבאת להפריך..

    כל החיים שלי מאז שאני ילד אני שם לב לתבניות, ״מגלה״ לעצמי סדרות כמו פיבונאצ׳י וגם יותר מסובכות סתם כי זה מה שהמוח שלי עושה, ואני תמיד נפעם מסדרות מעניינות..

    הם הביאו פה מקרה מרתק ומעניין, ואשמח אם תוכל להפריך אבל אותי לא סיפקת..

    כך או כך – כל הכבוד, עוד טור מרתק!

  7. אנסה להסביר שוב: אני לא מנסה "להפריך" משהו כי אין פה טענה שיש מה להפריך בה. אני מנסה לעשות משהו יותר מעניין – להבין מה הסיבות שבגללן התופעה הזו צצה. בפוסט רואים, למשל, למה בשפות שמבוססות על אלפבית לטיני הסיכוי של התופעה הזו לצוץ הוא נמוך משמעותית יותר (ומצד שני, יוצאות לנו סדרות פשוטות עוד יותר, אם "פשוט זה טוב" הוא הקריטריון).

    אם מישהו רואה את הסיבות שבגללן הדבר הזה צץ בעברית, ולאחר מכן עדיין סבור שהעובדה שהדבר הזה צץ בעברית אומרת משהו חוץ-מתמטי, שיהיה לו לבריאות. זו לגמרי הבעיה שלו ואין לי עניין לשנות את דעתו.

    1. זה בדיוק העניין, אין דבר כזה חוץ-מתמטי.
      מתמטיקה היא אמת, זו דרך שבה כל דבר בעולם הזה מתבטא, מהדברים הכי קטנים ועד לדברים הכי גדולים שמתרחשים..
      אני חושב שזה דווקא מרתק ומדהים, בדיוק כמו מציאת עדות לסדרה הזו בהמון דברים בטבע, ויחס הזהב בפני עצמו.
      בניגוד לסדרות אחרות שהן פשוטות או מורכבות, הסדרה הזאת היא סוג של בסיס, כמו שאמרתי אני מגיל קטן מחפש/מוצא תבניות/"פטרנס" בכל דבר שאני רואה או מתעסק בו..
      והסדרה הזאת תמיד הרגישה לי כמו הבסיס האולטימטיבי של בניה, של התפתחות וגדילה, של צמיחה מקיים וההבנה שכל "אבן" נוספת בחומה חייבת להישען על האבן שקדמה לה (נוסחת נסיגה..), לא סתם זו הדוגמה האולטימטיבית כשמדברים על נוסחאות נסיגה או רקורסיה..

      בכל מקרה, מרתק כרגיל!

  8. להראל: אתה צודק, לא הייתה כאן כל הפרכה אלא שמיניות באוויר לנסות ולומר את המסקנה שהכותב (גדי) כל כך רצה להגיע אליה והיא "התופעה הזו חריגה או רצינית? נההה" הוא בעצמו ראה שזה לא קורה בשפות אחרות, אז מה הוא אומר: שעצם זה שזה מופיע בעברית זה לא רציני? (המילים שלו).

    מה הסבירות שההודעה הזו תכתב מעצמה? נמוך מאד. אבל עכשיו, אחרי שהיא נכתבה, לפי הקריטריונים של גדי – כי הרי שזה ברור שזה יקרה אם לוחצים על המקלדת בצורה הספציפית הזו אז מתקבלת הודעה כזו. אם גדי היה רוצה לבדוק את זה והיה רוצה להוכיח שההודעה הזו נכתבה באופן מקרי, הוא היה עושה סימולציה ממוחשבת ומכריח את המחשב לבחור את המילים המופיעות בהודעה שהמחשב יוצר לפי המילים המופיעות בהודעה הזו בדיוק ברצף הזה. הדבר היחיד שהיה מאפשר למחשב לעשות זה לשים את הפסקאות בסידורים שונים ואז בודק מה הסבירות לקבלת הודעה כמו זו באופן "בלתי מכוונן". … תכף נראה שזה דומה מאד למה שגדי עשה עם סדרת פיבונאצ'י באותיות האלף בית. רק אומר שכמובן שהודעה כמו זו, הסבירות שלה להכתב באופן מקרי ולא מכוון נמוך בהרבה כמובן.

    כמובן שבפועל צריך לבדוק מה הסבירות בתנאים שאינם מכוונים, כי זוהי השאלה…. השאלה היא האם סדרת פיבונאצ'י המופיעה באותיות האלף בית (עובדה מתמטית) זוהי תופעה כתוצר מתכנון או לא?

    בפועל אם היינו מושיבים אנשים ומבקשים מהם להמציא שמות לאותיות האלף בית, כמה אנשים היו ממצאים שמות שמכילים את סדרת פיבונאצ'י בצורה מלאה?
    זו צריכה להיות שאלת המחקר ההסתברותי וזה מה שעשו כאן (ציטוט לקוח מהיוטיוב):
    "חישוב הסתברות קבלת ההתאמה לסדרת פיבונאצ'י במקרה:

    יצרנו סימולציה ממוחשבת שמסנתזת קבוצות של שמות של אותיות המתחרות באותיות האלף בית המקוריות. המחשב בחר את שמות האותיות בצורה רנדומאלית על בסיס יחס שכיחות האותיות בתורה וכן בחר את אורך המילים על בסיס שכיחות אורך המילים בתורה. כשעשינו זאת הגדלנו מאד את ההסתברות מכיוון שהשתמשנו בפרמטרים של השפה העברית אשר הוכיחו כעובדים ומייצרים את סדרת פיבונאצ'י, אך עשינו זאת כדי שיהיה לנו בסיס להשען עליו ולבחון את ההסתברות.

    המחשב יצר 100,000 קבוצות עם שמות של אותיות ע"פ הקריטריונים הנ"ל ונמצא ש12 מתוך 100,000 קבוצות הכילו את סדרת פיבונאצ'י משני הצדדים (כלומר אות אחת לצד אחד ואות אחת לצד השני), עדיין לא התקבלה אף תוצאה שבה יש 4 אותיות כפי שיש בשפה העברית.

    כלומר הסיכוי לקבלת 2 אותיות בלבד הוא 12:100,000 על בסיס הסימולציה שהרצנו.

    עוד לא הצלחנו להשיג 4 אותיות כפי שיש באותיות האלף בית, וכבר ניסינו מעל 250,000 פעמים.

    בקיצור הסבירות ~0

    וזה עוד לפני שלוקחים בחשבון את ההתאמה למילים בשפה העברית(!!) ואחרי זה למילים ספציפיות שתואמות לסדרת פיבונאצ'י(!!) ועוד שאר ההתאמות.
    אין שום סיכוי שזה מקרי!

    בברכה רבה,

    אורן

    נ.ב
    לינק להורדת הסימולציה הממוחשבת:
    https://www.dropbox.com/s/6xerokhgs1wop08/fibonacci4.zip?dl=0
    "

    התוצאה… אותה גדי מאד לא אוהב היא מה שמניע אותו לצמצם את מרחב החופש, ובמילים אחרות הוא מנסה לומר שזה היה חייב להיות ככה. כשבפועל ניתן לבדוק האם באמת זה חייב היה להיות ככה או לא ועובדה שבשפות אחרות (אותן גדי בדק) זה לא קורה. וכפי שכתב מישהו למעלה:
    "לגבי חישוב בשיטת מונטה קרלו, יש כאן שתי השערות, האחת שהופעת הסדרה זוהי תוצאה של תכנון, השנייה (השערת האפס שלך) שזה מקרי, כלומר תוצאה של חוסר תכנון. כדי לבדוק את זה אתה אמור לנסות ולקחת כמה שיותר גורמים מקריים/חופשיים ומשוחררים מתבניות ולשחזר את הצורה שבה בן אנוש שישב בחדר ויבקשו ממנו לתת שמות לתוים, בצורה שרירותית ייתן אותם (בהתאם לפרמטרים אנושיים ותוספות הקשורות ל'מקרה'/רנדום) כלומר לנסות לעשות סימולציה של שחזור המקרה ללא תכנון מודע להופעת הסדרה באותיות. כביכול מקביל להושבת אלפי או עשרות אלפי אנשים שיבחרו באופן כפי שמתחשק להם את שמות האותיות ואיותן. כאן נכנסים שיקולים אנושיים הנובעים מהנתונים העומדים בפני האנשים והלך הרוח והחשיבה שלהם.

    לצורך כך, מי שיצר את התוכנה המוצגת ביוטיוב השתמש בהלך הרוח של מחשבת התורה כאשר לקח בחשבון את תדירות האותיות והסתברות אורך המילים בכדי לדמות תהליך יצירת שמות לאותיות, בהנחה שמי שנתן שמות לאותיות עשה זאת על פי רוח התורה והמקרא – קרי, היה פועל בצורת מחשבה דומה לזו שפעלה בשאר המילים בתורה והמקרא, כראוי ונכון לעשות (לטובת השערת האפס שלך – 'מקרי').
    כלומר אם היו ממציאים עוד מילה מקראית, כיצד הייתה בנויה? עד כמה שאנו יכולים לומר (כשמניחים את השערת האפס שלך, דהיינו 'מקריות'), או רנדומאלי לגמרי או על בסיס הקריטריונים של המקרא. בוודאי שאם היינו מניחים ""רנדומאליות מוחלטת"" אז המובהקות של מדגם המבוסס על שיטת מונטה קרלו היה מניב תוצאות משמעותיות בהרבה גם מאלו המוצגות ביוטיוב."

    אז מה גדי עושה? הוא אומר שאם היינו מושיבים אנשים ומבקשים מהם להמציא שמות לאותיות, לצורך הניסוי הוא היה מכריח אותם לבצע את זה תחת שני הקריטריונים הבאים:
    1. כשאתם באים להמציא שמות לאותיות, אתם חייבים לבחור אורך מילה של 2 או 3 אותיות בלבד, אסור לשנות מזה. (למרות שבשפות אחרות יש גם אורך של אות אחת, ולמרות שבשפה העברית הן באותיות עצמן יש 4 אותיות לחלק מהשמות ולמרות שכשממציאים שמות ניתן להמציא שמות גם של 7 אותיות ואף 10 אותיות כמופיע במקרא עצמו ולמרות שבשפות אחרות שמות של אותיות מאוייתים גם עם 5 ו6 אותיות ויותר).
    2. המילים חייבות להתחיל מהאות עצמה. (קריטריון הגיוני).

    מה הסבירות שאנשים שסתם ממציאים שמות לאותיות יגבילו את עצמם דווקא לאורך 2 או 3 בשביל לרצות את גדי??? גבוה מאד אם הוא יכריח אותם כפי שהוא מכריח את תוכנת המחשב שלו. זוהי רמאות פומבית ברורה (בה הוא מרמה את עצמו ועל הדרך את קוראיו). הרי שהסימולציה אמורה לשחזר את התנאים של ייצור האלף-בית כפי שהיו כאשר כתבו את שמות האותיות במקור וגדי לא היה שם כדי לאלץ את האילוצים שלו. זה בלתי הגיוני בעליל שאנשים סתם יגבילו את עצמם לאורכי מילים 2-3 כדי לרצות את גדי, עובדה שיש אותיות ששמותן באורך 4, עובדה שבשפות אחרות יש אותיות באורך 1 וגם יותר מ-4. כמו כן, עובדה שבשפה המקראית יש מילים ארוכות יותר (כמו למשל בפורטוגזית, ערבית, ספרדית ועוד), אמנם כל זה לא משנה לגדי כי הוא רוצה להגיע למסקנה שלו בכח. כמו כן, אפילו עם האילוצים של גדי, מובהקות של 90 אחוזים ומעלה טובה מאד והוא בעצמו טוען שכאשר ניסה אותיות באורך 1-3 וכל אות מתחילה משמה הוא הגיע למובהקות של 95%. (4.5%)

    דבר אחד גדי אמר בצדק: שאנשים שיבואו להמציא שמות לאותיות, אולי הסבירות שהם יתחילו את שם האות באות עצמה באופן עקבי במהלך כתיבת שמות האותיות גבוהה. אז בסימולציה הייתי מוסיף קריטריון כזה שכאשר הוא מופעל בצורה כזו או שהוא עובד על כל השמות בקבוצה מסוימת או עובד באקראי לחלוטין באותה קבוצה, כאשר הסבירות שיפעל בצורה עקבית בקבוצות המילים היא נניח 80 אחוזים או יותר, בהתאם לשכיחות התופעה בשפות אחרות.

    במצב כזה, המתאר את המציאות טוב – הסבירות יוצאת נמוכה מאד. אז אלא אם כן אנחנו מקבלים את הקריטריון המאולץ של גדי, התופעה הזו מכוונת – חד משמעית.

    לדעתי גדי, מבלי לשים לב, רק חיזק את טענת יוצר הסרט, כי רואים איזה מאמץ מלאכותי הוא עשה רק כדי להגיע למצב של "נההה" בלי משהו קונקרטי לומר אפילו אחרי כל המאמצים שלו.

    לסיכום: (א) גדי הראה שבשפות אחרות סדרת פיבונאצ'י לא מופיעה. (ב) בדיקה לפי קריטריונים הגיוניים מראה שהתופעה מכוונת.

    בברכה רבה,
    שימי

    1. אורן, בכל ים המלל שלך יש לדעתי רק דבר אחד שיש טעם לשאול עליו: מהיכן ההנחה ששמות האותיות אמורות להתפלג (מבחינת אורך ותדירות אותיות) כמו שאר המילים בעברית? יש שפה כלשהי שבה זה המצב? (בכל השפות שבדקתי זה חד משמעית לא היה המצב; למשל, באנגלית כמעט כל שמות האותיות הן מהצורה של האות עצמה, ואחריה תנועה בודדת).

  9. ציטוט דבריו של פרופסור במחלקה למדעי המחשב ומתמטיקה שימושית במכון ויצמן, דניאל מיכלסון (לפי פרסומו בפורום של המטרה אמת):
    "המופת של אלף (ממצא של רב יצחק גינזבורג, מופיע בספר של יניב צפונות בתורה חלק ה' עמ' 231 בשם טור האהבה באותיות אל.
    המופת הוא שאות א' במילוי אלף, במילוי אלף למד פא, במילוי אלף למד פא למד ממ דלת פא, במילוי וכו' כאשר מילו של ת' הוא תאו ושל ו' ואו, מספר אותויות בשורות אלו יוצרים טור אברים זוגיים בטור פיבונצ'י 1,3,8,21,55 וכו' עד אינסוף! וכן הדין אם מחליפים א' ב- ל'. ואם מתחילים בפ' מקבלים אברים זוגיים של התור. מה הסיבה לכך? אותיות אשר מופיעיות בשורות אלו הם א,ל,פ,ד,מ,ת,ו. התופעה לא תלויה בסדר האותיות אלא רק במספר של כל אות בשורה. נמספר את האותיות הנ"ל מ-1 עד 7 ולכל שורה של אותיות אלו נתאים ווקטור עמוד של 7 מספרים
    x=(x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7)'
    כאשר x1 זהו מספר הופעות א' בשורה, x2 מספר הופעות ל' וכו', x7 מספר הופעות ו'. ווקטור y אשר מתאים לשורה הבאה מקושר לווקטור x ע"י משוואה y=Ax כאשר A מטריצה 7 על 7
    1 0 1 0 0 1 1
    1 1 0 1 0 0 0
    1 0 1 0 0 0 0
    A= 0 1 0 1 0 0 0
    0 1 0 0 2 0 0
    0 0 0 1 0 1 0
    0 0 0 0 0 1 2

    . למטריצה A ישנן 7 ערכים עצמיים λ1=1 עם ווקטור עצמי e1=(0 0 0 0 0 1 -1)', ע"ע λ2=2 עם ווקטור עצמיe2=(0 0 0 0 1 0 0) , ע"ע λ3, λ4 שורשים של משוואה λ2-3λ+1=0 וע"ע λ5,λ6,λ7 שורשים של משוואה λ3-3λ2+2λ+1=0. משוואה ראשונה היא המשוואה האופיינית לסדרה xn+2=3xn+1-xn. זאת סדרה אשר יוצרת אברים זוגיים או אי זוגיים של טור פיבונצ'י תלוי בערכים התחלתיים שלה. סדרה כללית המוגדרת ע"י משוואה xn+1=Axn מיוצגת ע"י סכום של שבע סדרות הנדסיות
    xn=∑_(i=1)^7▒c_i λ_i^n e_i
    כאשר מקדמים ci הם ווקטורים. כדי שסדרה xn תתאים לטור פיבונצ'י צריך שכל המקדמים יהיו 0 פרט ל – c3 ו- c4. אבל אנו מחשבים רק מספר אותויות בכל שורה, לא כל רכיב ורכיב בשורה, כלומר אנו מחשבים את המספרים f0xn כאשר f0=(1 1 1 1 1 1 1). והנה מתברר שוקטור f0 ניצב לווקטורים ei, i=1,5,6,7. לכן על מנת שסדרה f0xn תתאים לתור פיבונצ'י צריך שבסכום הנ"ל c2=0. מרחב ווקטורים
    V2=Sp(e1,e3,e4,e5,e6,e7)
    ניצב לווקטור עצמי שמאלי f2=(0 0 0 1 -1 1 1) של מטריצה A המתאים לערך עצמי 2. לכן אם ערך התחלתי x0 יהיה ניצב ל- f2 אז גם xn יהיה ניצב לו. ברור שכל הווקטורים המתאימים לשורות אותיות המכילות א ל ו- פ בלבד כגון מילה "פלא" יהיו מן הצורה (x1 x2 x3 0 0 0 0 ) ולכן ניצבים לווקטור f2. לכן סדרת שורות אותיות הנוצרת מהם תקיים את המופת שמספר אותיות בשורה יהיה תואם את טור פיבונצ'י של אברים זוגים או אי זוגיים. גם מילה "דמ" אשר מיוצגת ע"י ווקטור (0 0 0 1 1 0 0)' ומילה "מת" אשר מיוצגת ע"י וקטור (0 0 0 0 1 1 0)' תהיה בעלת תכונה זאת. וכן מילה "אדם" או "אמת" או "תלם".
    האם תכונות אלו מתקיימות עבור אותיות אחרות של אלף בית? נסדר את אותיות אלף בית בסר הבא:

    אלף למד פא דלת ממ תאו ואו ; הא כף יוד קוף; בית גימל חית טית צדי סמך; נון; זין עין שין; ריש.

    חלקנו את האותיות ל- 6 קבוצות. קבוצה ראשונה הם שבע אותיות הנוצרות ע"י א'. קבוצה שניה הן ארבע אותיות המתקבלות ע"'י תוספת אות אחד לקבוצה ראשונה. קבוצה שלישית מתקבלת ע"י תוספת אות אחת לקבוצה ראשונה ושניה- אצל 5 אותיות מופיעה רק אות י' מקבוצה שני ואצל סמך מופיע אות כ מקבוצה שניה. בקבוצה רביעית רק אות נון אשר מוסיפה פעמים נ' לאות ו' מקבוצה ראשונה. לכן אפשר לכלול אותה בקבוצה שניה אלא בגלל כפילות של נ', לאות זאת מתאים ערך עצמי 2. קבוצה חמישית מוסיפה אות ל- ין מקבוצות קודמות וקבוצה ששית מוסיפה אות לקבוצות קודמות. לכן ע"ע של מטריצה A22 הם ערכים עצמיים של מטריצה A7=A ועוד ערך עצמי בודד λ=2 (המתאים ל-נ') ו- 14 ערכים עצמיים λ=1.
    מכל אותיות אלו רק הא ו- כף מתאימים לסידרת פיבונצ'י. ה' יוצרת סדרה זהה לסידרה של פ'. אכן הפרש ה-פ ע"י מילוי נשאר ה-פ. לכן ה' יוצרת סידרת אברים זוגיים של טור פיבונצ'י. כף נותנת סידרה אשר מתאימה למספר קבוע ועוד סכום הסדרה אשר מתאימה ל- פ'. כתוצאה מקבלים סידרה של אברים זוגיים של טור פיבונצ'י עוד 1: 2,4,9,22,55 וכו'. אות יוד מוסיפה קבוע לסכום אברים של סדרה הנוצרת ע"י וד. סדרה אחרונה לא ניצבת לווקטור f2 ולכן היא כוללת חזקות של λ2=2 וכן קוף מביאה לסדרה אשר נוצרת ע"י וף אשר איננה ניצבת ל- f2 וכוללת חזקות של 2. סדרות הנוצרות ע"י בית, גימל חית טית צדי כוללות סכום של סדרה של יוד ולכן הן כוללת חזקות 2n ואבר לינארי an+b. סדרה הנוצרת עי" סמך כוללת סכום של סדרת כ' אשר איננה כוללת חזקות של 2 ו- סכום של סדרת מ' אשר כוללת חזקות של 2. נון יוצרת סדרה an2n+b2n. זין עין שין כוללות כולם סדרות מסוג זה. וכן סדרה של ריש. מילה המורכבת מאותיות נ, ז ע ש ר לא יכולה לבטל את האבר an2n כי מקבלים קומבינציה לינארית שלו עם מקדמים חיוביים. מילה "מים" מבטלת את חזקה של 2 ומקבלים סדרה 3,8,21 וכו' כפול 2 פלוס 1. מילה "ימס" מבטלת תור חזקות של 2 אבל ישנו אבר לינארי בסדרה. מתקבל הסדרה 7,18,47 וכו' פלוס n.

    מה המבנה של מטריצה A אשר גורם מופת זה? מה סיכוי של מטריצה 5 על 5 עם 1 באכלסון ושני אחדים נוספים בכל עמוד להיות בעלת ע"ע (3+sqrt(5))/2? אנו יכולים להניח שעמודה ראשונה היא (1 1 1 0 0)'. נניח שעמודה שניה (1 1 0 0 0). בעמודה שלישית רביעית חמישית יש לנו 12 על 12 על 12 אפשרויות. מתוך 123 אפשרויות, 66 נתנו ע"ע הנ"ל! אבל אם בעמודה שניה שלש פעמים 1 ולא פעמים אז אין אף מטריצה עם ע"ע הנ"ל.

    מה היסתברות של נס זה? נכפיל ווקטור יחידות f0 מימין במטריצה A פעמים
    f0A=3f0-(0 0 1 0 1 0 0);
    (1) f0A2=3f0A-(0 0 1 0 1 0 0)A=
    3f0A-(1 1 1 0 2 0 0)=
    3f0A-f0+(0 0 0 1 -1 1 1)=
    3f0A-f0+f2
    כאשר f2 הוא ווקטור עצמי ימני של מטריצה A המתאים לע"ע 2. אם וקטור התחלתי x0 ניצב ל- f2, אז כל ווקטורים xn=Anx0 ניצבים ל-f2. לכן מזהות
    (2) f0A2=3f0A-f0+f2
    מקבלים
    (3) f0xn+2=3f0xn+1-f0xn+f2xn=3f0xn+1-f0xn;
    מכאן סדרה f0xn מקיימת משוואה של סידרה של רבוע של פיבונצ'י
    (4) yn+2=3yn+1-yn
    סדרה מסויימת תלויה בערכים התחלתיים y1,y2. אם מתחילים באות א' או ל' אז y1=1,y2=3 ואברים הבאים 8, 21 וכו'. ואם מתחילים באות פ' אז y1=1,y2=2 ואברים הבאים 5,13 וכו'.

    הנס הוא שווקטור שהתקבל בשורה רביעית של (1) אכן פרופרציונאלי ל-f2. לכאורה לשם כך צריכות להתקיים שש משוואות לינאיריות בלתי תלויות. אבל רכיבים של ווקטורים הם מספרים שלמים קטנים, לא יותר מ-2.
    ננתח את הנס לשלביו. בשורה ראשונה של (1) מספר 3 הוא מספר אותיות במילוי רוב האותיות פרט ל- פא ו- ממ. לכן התקבלה שארית ווקטור (0 0 1 0 1 0 0) שבו רק שני רכיבים שונים מאפס והם 1, כנגד אותיות פ' ו- מ'. הכפלת ווקטור זה במטריצה A נתנה ווקטור (1 1 1 0 2 0 0) אשר שלשה רכיבים ראשונים שלו 1. דבר זה גרם לכך שבשורה רביעית ב- (1) נוצר ווקטור עם שלשה רכיבים ראשונים 0. מדוע זה קרה? רכיב ראשון 1 בא מ-פ' של אלף. אין בזה מופת כי קבענו אות שלישית של אלפ בתור רכיב שלישי בווקטור x. זה שבשורה חמישית רכיב ראשון 0 נובע מכך ש- אלף שלש אותיות ולא ארבע. רכיב שלישי 1 נובע מכך שאבר A33=1. אין זה מופת כי מילוי של כל אות מתחיל מן האות אצמו. אבל כדי שבשורה חמישית רכיב 3 יהיה0 צריך שמלואי של פ' לא יכלול מ' כלומר פמ במקום פא. אבל כדי לקיים רכיב שני 1 בוקטור הנ"ל,צריך ש- "למד" יכלול את מ'- שמלואי שלה יהיה באורך 2, ולא יכלול את פ'. סיכוי לכך באופן מקרי (אם מניחים ששתי אותיות נוספות של למד הם מתוך 7 אותיות של אלפדמתו הוא 4/15.
    נמשיך בניתוח הנס. בשורה רביעית החסרנו מווקטור (1 1 1 0 2 0 0) את וקטור יחידה וקיבלנו
    ווקטור (0 0 0 1 -1 1 1). מדוע שלשה רכיבים ראשונים של f2 הם אפסים? הסיבה היא שמטריצה של ארבע שורות תחתונות של מטריצה A-2I היא בעלת דרגה 3. אכן 4 עמודות שלה הן אפסים. עמודה ראשונה 0 בגלל הגדרת ווקטור x. עמודה שלישית 0 בגלל שמילה פא לא כוללת אותיות חוץ מ-אלפ. שורה חמישית 0 משום שמ' נקראת ממ ואין בה אותיות נוספות. עמודה שביעית 0 משום ש-ואו ישנו וו כפולה ואות שניה בה היא מתוך שלש אותיות הראשונות של אלפדמתו. לכן נתן היה להחליף "ואו" ב- "ולו" או "ופו". במקרה אחרון וקטור (1 1 1 0 2 0 0) ישתנה ל- (1 1 1 0 2 0 1) ונוסחה (2) לא תתקים. ישנן 20 אפשרויות של מילוי ו' ע"י תוספת שתי אותיות מתוך 7 לא כולל וו. מתוכם 3 מקיימות את התנאי ששלשה רכיבים ראשונים של f2 שוות ל- 0. לכן הסיכו של נס זה 3/20.

    הנס האחרון הוא התאמה של ארבעה רכיבים אחרונים (1 -1 1 1). נניח וקטור אחרון נתון. והשאלה היא מה הסיכוי שארבע רכיבים של וקטור בשורה רביעית של (1) שווים לו. ארבעה רכיבים של ווקטור בשורה שניה של (1) נמצאים בהכרח בתחום 0,1,2. אחרי החסר וקטור יחידה מקבלים תחום -1,0,1. הסתברות לפגוע בכל רכיב היא 1/34. מאחר ונתן להכפיל ווקטור הנ"ל ב- -1 אז הסתברות היא 2/34≈0.025. זאת תוצאה דומה למה שקבלנו ע"י בדיקת כל מטריצות 5 על 5. מכפלה של שלשת המספרים שהדגששנו היא כ- 1/1000."

    פרופסור דניאל מיכלסון חישב את ההסתברות לפי 1 ל 1000 (בקירוב) עד כמה שאני מבין. לפי חישביו זה מתוכנן ולא מקרי וגדי מטעה.

  10. תגידו, יהוה, כשהוא תכנן את שמות האותיות, לא היה יכול לסדר את כל סדרת פיבונאצ'י? הוא מסוגל רק לחצי, או שהוא כבר היה עייף אחרי כל השבוע? פייר – מאכזב קצת.

    וכעת אתגר לקורא – האם אתה יכול להציע אלפבית יותר מושלם מזה של אלוהים? הפרס המובטח – מישהו שימצא את האיות המוצע בספר קדום כלשהו.

  11. תום. אותיות מות, חבל להשתמש בהן בצורה הזו – אך זה מה שקורה כשעושים דברים הפוך. "מעניין מאד" שאתה משתמש בשם השם לשווא וממשיך דבריך רק כדי לומר שטות. סדרת פיבונאצ'י מופיע במלואה, כל איברי הסדרה מופיעים באותיות האלף-בית, כנראה שהתפספס לך…

    הציטוט מלמעלה נראה מתאים מאד פה… מי שמתנהג כך ומזלזל בהיסטוריה שלו בצורה כזו ובאחים שלו ובכלל באחרים אכול שנאה מבפנים וכואב לי עליך – אם היית במצרים לא היית נגאל.

  12. תום, מי שעקב אחרי הפוסט יכול כנראה להציע בקלות אלפבית "מושלם" שכזה. כל מה שצריך הוא להרחיב את דוגמת ה"אא"פ/פ"א". פיבונאצ'י נשיג בכל אלפבית שבו יש אותיות משני סוגים, שאסמן A,B: כל אות מסוג A צריכה להיות עם שם בן 3 אותיות ששתיים מהן הם A והשלישית היא B, וכל אות מסוג B צריכה להיות עם שם בן 2 אותיות, אות A אחת ואות B אחת. במקרה הזה, *כל* אות באלפבית תיתן את פיבונאצ'י: A יתנו פיבונאצ'י במקומות האי זוגיים ו-B יתנו במקומות הזוגיים. הנה התחלה של בניה כזו, ומי שמשעמם לו יכול להרחיב אותה ל-22 אותיות:

    "א" : "אלפ",
    "ב": "בלה",
    "ג": "גמד",
    "ד": "דא",
    "ה": "הא",
    "ו": "ויה",
    "י": "יוד",
    "ל" : "למד",
    "מ": "מדא",
    "פ" : "פל"

  13. לגבי כל סדרת פיבונאצ'י, חשבתי להתייחס לזה בפוסט אבל זה כל כך מופרך שזה נראה לי מיותר: מכיוון שהיא מתחילה ב-1 כפול, ברור שיהיה צורך במשהו מאוד מוזר כדי שהיא תעבוד כולה (אות עם שם שהוא אות בודדת *ששונה ממנה*)

  14. אני חושב שזו טעות לשאול מה הסיכוי ליצירת הסדרה משפה בהינתן קריטריונים מסוימים.
    אפשר להניח שמבחינת יוצר הסרטון השאלה היא מה הסיכוי שלשפה נתונה יהיו הקריטריונים המסוימים הללו ובתוכם הסדרה הזו. זו שאלה שהרבה יותר קשה לענות עליה כי היא היסטורית, פיזיולוגית או תאולוגית.
    ההבהרה לדעתי אמורה להיות בבדיקה מה הסיכוי שתיווצר סדרה כלשהי בשפה נתונה (למיטב הבנתי זה תמיד יקרה), כיוון שלסדרת פיבונאצ'י *אי-זוגית* אין לכאורה שום משמעות יותר מכל סדרה אחרת.
    אבל מאד נהניתי מהפוסט (למרות שלא סיימתי את כולו..).

  15. המצחיק הוא… המסקנה של הכותב נפסלה מתמטית וגם במבחן המציאות… לא נמצאה הסדרה הפיבונאצ'ית בשפות אחרות.

  16. שלום גדי,

    עדיין לא קראתי אבל נראה מרתק, האם תוכל בבקשה לכתוב פוסט אשר מתייחס לפחות לטענות המרכזיות בסרטון הבא?

    האמת יוצאת לאור! הוכחה מתמטית מדעית שהתורה אמת וניתנה ע"י בורא עולם:
    https://www.youtube.com/watch?v=oxNpIQwO-vs

    אשמח מאד לקרוא התייחסות שלך לטענות המופיעות שם.

    תודה!

  17. שימי, גם אם תקח קבוצת אנשים שימציאו אלף בית יש סיכוי טוב שימציאו תואם פיבוניצי.
    מאוד הגיוני שהאות תתחיל בצליל שלה, כך ידעו מה הגיתה לפי השם. ברגע שלאלף בית העברי אין כמעט אותיות ניקוד כמו לכל השפות הלטיניות (כי זו שפה שמית עתיקה ורצו לחסוך מקום בחריטה) ורוצים שלכל אות תהיה הברה אחת או מקסימום שתיים זה עומד ברוב התנאים. הדבר הנכון אם רוצים זה לבדוק שפות שמיות שאני מנחש שיעמדו בסטטיסטיקה (אכדית, אשורית ומסתמא יש עוד)
    לסיכום, כל מי שמאמין בבורא עולם שנתן לנו את שפלת הקודש בא נברא העולם לא צריך את הקוריוזים (הנחמדים!), מי שלא מאמין זה לא מה שישנה משהו אם הוא חושב מעט.
    תום – ילד גדול….

  18. סידרת פיבונאצ'י מספקת הרבה קוריוזים. אני לא יודע איך מוכיחים את אמיתותם או איך מבטלים את ההוכחה. גדי, כבר השארתי שאלה במקום אחר בבלוג שלך ולא קיבלתי תשובה, אחזור עליה כאן.
    יש לי "הוכחה" שמי שהמציא את הבסיס העשרוני. התייחס לסידרת פיבונאצ'י.
    נתבונן במספרי הסדרה לפי סדרם על בי בסיס עשרוני.
    1. 1
    2. 1
    3. 2
    4. 3
    5. 5
    6. 8
    7. 13
    8. 21
    9. 34
    10. 55
    11. 89

    89 הוא בעצם 100-11 זה גורם גם לתופעה נוספת.
    10/89 בשבר עשרוני (מחזורי אינסופי) בעצם נותן את סכום כל אברי הסידרה כאשר תעשה כל אחד מהם כפול 10 בחזקת מינוס מקומו בסדרה.

    כמובן שאם היינו בוחרים לספירה בסיס אחר (למשל 5) לא היינו מקבלים את התוצאה הזו. (!)

    איך מחשבים את הסיכוי שזה במקרה. ומה הסבירות שזה אכן נכון? (???)

  19. על המאמר שהובא בפוסט זה ופעוד כמה מקומות הובאו דברים דומים, אני מתנגד עקרונית לשימוש בזה כדי להוכיח. התורה לא נכתבה היום ויש כללים איך לומדים אותה. לא כל אחד יכול להמציא מעצמו רמזים ולהחליט שזה נכון בגלל מתטיקה. ההוכחות שהתורה ניתנה על ידי בורא העולם אינם מכוח דברים שלא ידעו אותם לפני אלפיים שנה. בכל הדורות חקרו כל החכמים ובפרט המאמינים בתורה ואם היגיעו למסקנה שזו האמת אין בכוח אדם להוכיח את ההיפך וודאי שאין הצדקה לכפור בה בגלל שיש מביאי ראיות שאינם ראיות.
    אני יכול להביא הוכחה מעניינת אחרת (לא ראיתי אותה באתרים של מחזירים בתשובה, מעניין אם מזכירים אותה) יש גמרא שכתוב בה כך כי קא ניחא נפשיה דרבי יהושע בן חנניה אמרו ליה רבנן מאי תיהוי עלן מאפיקורוסין אמר להם (ירמיהו מט, ז) אבדה עצה מבנים נסרחה חכמתם כיון שאבדה עצה מבנים נסרחה חכמתן של אומות העולם ואי בעית אימא מהכא (בראשית לג, יב) ויאמר נסעה ונלכה ואלכה לנגדך (קישור https://he.wikisource.org/wiki/%D7%97%D7%92%D7%99%D7%92%D7%94_%D7%94_%D7%91) האם אי פעם ניצחו האפיקורסים את חכמי ישראל בטענותיהם? ומי יכול לצפות מראש כזה דבר?

  20. אתה מגיב על ההודעה הראשונה או השניה? הראשונה קשורה למתמטיקה דרך סדרת פיבונאצ'י. וכל מה שכתבתי שם קשור למתמטיקה. אמנם מדובר לכאורה בלא יותר מקוריוז אבל השאלה איך זה מתבטא בתורת ההסתברות. השנייה היא כתגובה על עצם ההתייחסות לנושא הנומרולוגיה כניסיון להוכיח תורה מן השמיים לא התכוונתי לדון בזה רק להגיד את דעתי כמו שהרבה אחרים עושים. זה באמת לא בא כשאלה אלא יותר כאמירה.
    עכשיו מה עם השאלה בהודעה הראשונה?

  21. כעת אני חושב שזה בכלל קשור לכך שיחס הזהב הוא 1+שורש 5 לחלק ל2. אולי זה גורם קשר לתוצאה הזו.
    אכתוב את זה בצורת בעייה מתמטית. (אני לא יודע להשתמש כאן עם סמלים אז אאלץ לכתוב בעברית)
    (שורש של 5 +1) בחזקת (X+1)פחות (1-שורש של 5) בחזקת (X+1) לחלק ל[2בחזקת (X+1)כפול שורש של חמש]=X בחזקת 2 פחות X פחות 1 כמה זה X האם התשובה חד משמעית? איך מחשבים את זה. (התוצאה 10 היא לפחות אחת מהתוצאות הנכונות)
    גדי אני מקווה שעכשיו אתה מבין אותי ותוכל לעזור לי. תודה רבה.

  22. סתם למי שמעניין אותו אלף היא גם גימטריא 111 וגם הגימטריאות הקטנות שלה הם לפי האיברים הלא זוגייםן הראשוניים בסדרת פיבונאצ'י 1,3,8
    עוד מידע מעניין המספרים של סדרת פיבונאצי "אוהבים" יהדות המספר 5 (חמישה חומשי תורה) הוא המספר החמישי בסדרה (למה דווקא 5) המספר השביעי בסדרה (שבעה ימי השבוע ועוד הרבה) הוא 13 (גם הוא מספר קדוש ליהדות בר מצווה למשל הוא בגיל 13). אני לא מתמטיקאי ולא יודע איך מחשבים את הסיכוי שכל זה במקרה (את זה גדי כנראה יידע לעשות) אבל מה שאני יכול לומר הוא שמשום מה ,יהודים שבקיאים בעיקר בתלמוד לא יודעים על סידרת פיבונאצ'י, מה שאומר שכנראה כל הרעיונות הללו הם לא יותר מקוריוז.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *