קבוצת קנטור, ואיך לכל הרוחות המימד שלה הוא בערך 0.63?

מהו מימד? זו שאלה שכבר התייחסתי אליה בעבר, ואז אמרתי כי “יש הגדרות שונות לאותו מושג אינטואיטיבי, שמנסות להשיג מטרות שונות”. אז עסקתי בהגדרה הנאיבית והפשוטה ביותר של מימד, ואילו הפעם אני רוצה לדבר על הגדרה מסובכת יותר, שנוטה לגרום לאנשים לחוש תחושת “מה לעזאזל” כשהם שומעים לראשונה על תוצאותיה - מימד פרקטלי. ומדוע “מה לעזאזל”? כי המימד הפרקטלי של קבוצות עשוי שלא להיות מספר טבעי - למעשה, ברוב המקרים הוא אינו טבעי, אלא מספר אי רציונלי כלשהו. כך למשל קבוצת קנטור, שאותה אציג בפוסט הזה, היא בעלת מימד פרקטלי של בערך \( 0.63 \). מה ההגיון שמאחורי דבר כזה?

נתחיל בהגדרת קבוצת קנטור. ההגדרה נראית מוזרה למדי, וקרוב לודאי שתתהו בשביל מה כל זה טוב; ובכן, לצורך כך יהיה צורך בפוסט נפרד שמתאר את האופן שבו גאורג קנטור גילה את תורת הקבוצות, על המוזרויות שבה, כחלק ממחקר “קלאסי” באנליזה מתמטית. השימוש שלו בקבוצת קנטור (שלא התגלתה על ידו) היה כדי לתת דוגמה פתולוגיות ונוגדת אינטואיציה, בשל התכונות המעניינות שלה שעל חלקן אדבר כאן.

ובכן, מהי קבוצת קנטור? הבניה שלה ניתנת לתיאור באופן אלגוריתמי למדי. מתחילים עם הקטע \( \left[0,1\right] \) בישר הממשי, שאותו נסמן \( C_{0} \). כעת מורידים ממנו את השליש האמצעי, אך מותירים את נקודות הקצה. כלומר, מורידים מ-\( C_{0} \) את \( \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) \). התוצאה? \( C_{1}=\left[0,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},1\right] \).

כעת קיבלנו קבוצה, \( C_{1} \), אשר מורכבת משני קטעים. הבה ונתעלל בהם באותו האופן שבו התעללנו ב-\( C_{0} \) - מכל אחד משניהם נוריד את השליש האמצעי. כלומר, מ-\( \left[0,\frac{1}{3}\right] \) אנחנו מורידים את \( \left(\frac{1}{9},\frac{2}{9}\right) \), ואילו מ-\( \left[\frac{2}{3},1\right] \) אנחנו מורידים את \( \left(\frac{7}{9},\frac{8}{9}\right) \). התוצאה? \( C_{2}=\left[0,\frac{1}{9}\right]\cup\left[\frac{2}{9},\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\frac{7}{9}\right]\cup\left[\frac{8}{9},1\right] \). קיבלנו כעת ארבעה קטעים. שימו לב שכולם מאותו האורך, ולמעשה - שקל לתאר במפורש מהם. לצורך כך אכתוב את \( C_{2} \) שוב, בצורה אחידה יותר: \( C_{2}=\left[\frac{0}{9},\frac{1}{9}\right]\cup\left[\frac{2}{9},\frac{3}{9}\right]\cup\left[\frac{6}{9},\frac{7}{9}\right]\cup\left[\frac{8}{9},\frac{9}{9}\right] \). אפשר אם כן לחשוב על \( C_{2} \) כעל מה שמתקבל כאשר קוצצים את \( \left[0,1\right] \) לתשעה חלקים שווי אורך, מעיפים לפח את חלקם ומשאירים את היתר.

השלב הבא יניב את \( C_{3} \), שתהיה מורכבת משמונה קטעים, כל אחד מאורך \( \frac{1}{27} \) (כי ב-\( C_{2} \) היו ארבעה קטעים וכל אחד מהם חולק לשלושה חלקים שהאמצעי מביניהם נזרק). ב-\( C_{4} \) כבר יהיו 16 קטעים מאורך \( \frac{1}{81} \), ובאופן כללי: \( C_{n} \) תורכב מ-\( 2^{n} \) קטעים, כל אחד מאורך \( \frac{1}{3^{n}} \). מה קיבלנו? סדרת קבוצות, \( C_{0},C_{1},C_{2},\dots \) כך שכל קבוצה מוכלת בקודמת - \( C_{0}\supset C_{1}\supset C_{2}\supset\dots \). קבוצת קנטור מתוארת בתור מה שמתקבל “בסוף” התהליך האינסופי הזה; כדי להגדיר זאת באופן מתמטי מדוייק, מגדירים אותה בתור החיתוך של כל אינסוף הקבוצות הללו, דהיינו \( C=\bigcap_{i=0}^{\infty}C_{i} \). במילים - קבוצת קנטור \( C \) תכיל את כל הנקודות שאינן מסולקות אף פעם מ-\( \left[0,1\right] \), בכל התהליך שתיארנו - אלו בדיוק הנקודות שנמצאות בכל קבוצה \( C_{n} \) שמתקבלת במהלך התהליך. השאלה היא מהן הנקודות הללו, ואם הן בכלל קיימות.

הנה ציור המדגים את שלבי הבניה הראשונים של הקבוצה:

כמו שאפשר לראות, מהר מאוד הקבוצה הופכת להיות דלילה למדי, בלי קטעים “שמנים”. דרך פורמלית לתאר זאת היא על ידי חישוב המידה הכוללת של כל הקטעים שמוצאים מתוך הקבוצה. מידה של קטע, לצורך הדיון הזה, תהיה פשוט אורכו - אין לנו צורך בהגדרה מורכבת יותר. באיטרציה הראשונה מסולק מ-\( C_{0} \) הקטע \( \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) \) שאורכו \( \frac{1}{3} \); באיטרציה השניה מסולקים הקטעים \( \left(\frac{1}{9},\frac{2}{9}\right) \) ו-\( \left(\frac{7}{9},\frac{8}{9}\right) \) - שני קטעים שאורכם \( \frac{1}{9} \); ובאופן כללי, באיטרציה ה-\( n \) מסולקים \( 2^{n-1} \) קטעים שאורכם \( \frac{1}{3^{n}} \) כל אחד, ולכן האורך הכולל שלהם הוא \( \frac{2^{n-1}}{3^{n}} \). שימו לב שכל הקטעים הללו זרים זה לזה, ולכן המידה של האיחוד של כולם שווה לסכום המידות שלהם, ולא סתם מהווה חסם עליון עבורו, ומכאן שניתן לחשב אותה במדוייק: המידה הכוללת של כל הקטעים שאותם מוציאים מקבוצת קנטור היא \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^{n}} \), או בסימון פשוט מעט יותר, \( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{3^{n+1}} \). אלא שאת הסכום הזה ניתן לחשב במדוייק, אם שמים לב לכך שזהו פשוט טור הנדסי אינסופי מתכנס: \( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{3^{n+1}}=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{1}{3}}=1 \).

אם כן, מה שקיבלנו הוא שבמהלך בניית קבוצת קנטור, הוצאנו מ-\( \left[0,1\right] \) את “כל האורך”. זה גורר מיידית שמידת קבוצת קנטור היא אפס, שכן \( \mu\left(C\right)+\mu\left(\overline{C}\right)=\mu\left(C\cup\overline{C}\right)=\mu\left(\left[0,1\right]\right)=1 \) (למעשה, זה תלוי בהגדרה שלנו של מידה, כי ייתכן שקבוצת קנטור לא תהיה מדידה - אך עם מידות סטנדרטיות, ובפרט מידת לבג שהיא מה שאני חושב עליו כל הזמן, אין בעיה שכזו).

התוצאה הזו אינה מוזרה לכשעצמה, והיא אף מסתדרת עם האינטואיציה שלנו לגבי האופן שבו כל הקטעים ה”שמנים” סולקו מ-\( C \); אולם הזבנג הראשון מגיע כשבודקים מי הנקודות שנותרו ב-\( C \) ומגלים שנותרו המון מהן - למעשה, \( C \) מכילה מספר שאינו בן מניה של נקודות. במילים אחרות, ה”גודל” של \( C \) שווה ל”גודל”של \( \left[0,1\right] \)! אפשר לתת התאמה חד-חד ערכית ועל בין כל נקודה של \( \left[0,1\right] \) ובין כל נקודה של \( C \)! זוהי המחשה חזקה מאוד לאופן שבו מושג ה”גודל” (או יותר במדוייק - העוצמה) של קבוצה הוא מנותק ממושג המידה של קבוצה (הוא אינו בלתי תלוי לחלוטין - כבר הראיתי כאן בעבר כי קבוצה בת מניה היא בהכרח ממידה אפס; מה שמפתיע כאן הוא שגם קבוצות שאינן בנות מניה עשויות להיות ממידה אפס).

בואו נבדוק איך נקודה יכולה לשרוד את הבניה של קבוצת קנטור. למשל, הנקודה \( \frac{1}{3} \). בסיבוב הראשון היא נותרת בחיים כי היא נקודת הקצה הימנית של הקטע השמאלי מבין השניים שמתקבלים; בסיבוב השני הקטע הזה נחתך במרכזו לשתי חתיכות, ו-\( \frac{1}{3} \) תהיה בקצה החתיכה הימנית, הרחק משדה הקטל. גם בסיבוב הבא החתיכה שבה היא נותרה תיחתך לשניים, אבל \( \frac{1}{3} \) תהיה בקצה, הרחק משדה הקטל; וכן הלאה וכן הלאה. כלומר, הסכנה האמיתית ל-\( \frac{1}{3} \) נשקפה לה רק בסיבוב הראשון, שם היא הייתה על קצה שדה הקטל; אבל משם ואילך אין לה שום סכנה, והיא תמיד מרוחקת מרחק כלשהו מהקטל - מרחק של \( \frac{1}{3^{n}} \). אמנם, זה מרחק ששואף לאפס, אבל זה מבטיח ש-\( \frac{1}{3} \) תהיה בכל קבוצה \( C_{n} \), ולכן תהיה לבסוף גם ב-\( C \).

אבל \( \frac{1}{3} \) היא דוגמה משעממת, שכן היא מתקבלת מתישהו כנקודת קצה של אחד מהקטעים ב-\( C_{n} \) כלשהי (במקרה שלנו, ב-\( C_{1} \)). המשחק המחשבתי שעשינו מראה שכל נקודת קצה כזו תישאר, אבל מספר הנקודות הללו הוא זניח - בן מניה. הסיבה לכך היא שב-\( C_{n} \) יש בסה”כ \( 2^{n+1} \) נקודות קצה שכאלו (ב-\( C_{n} \) יש \( 2^{n} \) קטעים, כל אחד עם \( 2 \) נקודות קצה), ולכן מספר נקודות הקצה הכולל לכל \( C_{n} \) הוא סופי, ולכן מספר נקודות הקצה הכולל לכל ה-\( C_{n} \)-ים ביחד הוא בן מניה (איחוד בן מניה של קבוצות סופיות הוא בן מניה). בקיצור, הרוב המוחץ של הנקודות ב-\( C \), אם היא אכן לא בת מניה כפי שאני טוען, מגיע מנקודות שאינן נקודות קצה. זה כבר משוגע למדי ונוגד אינטואיציה בצורה חריפה - הרי אמרנו שמסלקים מ-\( C \) את כל ה”תוכן”- אנחנו מוציאים מתוכה קווים שאורכם הכולל הוא 1 - איך ייתכן שיוותרו ב-\( C \) נקודות שאינן נקודות קצה? אינטואיטיבית הן צריכות להיות ב”אמצע” הדרך בין שתי נקודות קצה, כלומר על קו כלשהו!

הבה ונתבונן בנקודה \( \frac{1}{4} \). מכיוון ש-\( \frac{1}{4}<\frac{1}{3} \), הרי ש-\( \frac{1}{4} \) נופלת בתוך \( \left[0,\frac{1}{3}\right] \) ושורדת את הסיבוב הראשון. מה קורה בסיבוב השני? ובכן, חייבים לעשות כאן חשבונות קטנוניים. אנחנו רוצים להשוות את \( \frac{1}{4} \) לנקודות מהצורה \( \frac{k}{9} \), והדרך לעשות זאת היא עם מכנה משותף - \( \frac{1}{4}=\frac{9}{36} \), ואילו \( \frac{k}{9}=\frac{4k}{36} \), ולכן קל לראות ש-\( \frac{2}{9}<\frac{1}{4}<\frac{3}{9} \), כלומר הוא שורד גם את הסיבוב השני - הוא נמצא בחלק הימני של \( \left[0,\frac{1}{3}\right] \). בסיבוב הבא \( \frac{1}{4} \) שורד כי הוא בקטע \( \left[\frac{6}{27},\frac{7}{27}\right] \), שהוא החלק השמאלי של \( \left[\frac{2}{9},\frac{3}{9}\right] \). אתם אולי כבר יכולים לנחש מה יקרה מכאן ואילך - \( \frac{1}{4} \) יתפספס פעם אחת כי הוא יימצא בחלק הימני ובפעם הבאה כי הוא יהיה בחלק השמאלי של הקטע שחותכים; הסיבה שהוא שורד היא שהוא אף פעם לא נמצא בקטע האמצעי. כיצד ניתן לתאר זאת בצורה מדוייקת? לצורך כך אנו מכניסים לתמונה מושג חדש - הפיתוח הטרינרי של איברי \( \left[0,1\right] \).

כזכור, פיתוח עשרוני של מספר הוא פשוט סדרת ספרות בין 0 ל-9. לצורך העניין אנחנו מדברים רק על מספרים בתחום \( \left[0,1\right] \), כך שלכולם יש פיתוח מהצורה \( 0.a_{1}a_{2}a_{3},\dots \); הפיתוח הזה מסמל שהמספר הוא בדיוק \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{10^{n}} \). באופן דומה, פיתוח טרינרי של מספר ישתמש בספרות 0,1,2 בלבד, ואז הסכום המתאים יהיה \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{3^{n}} \).

בואו ונחזור ל-\( \frac{1}{4} \). איך מגלים מה הפיתוח שלו בבסיס טרינרי? ובכן, ספרה-ספרה. האם הספרה הראשונה היא 0, 1 או 2? אם היא הייתה \( 1 \), אז \( \frac{1}{4} \) היה מהצורה \( \frac{1}{3} \) ועוד משהו; ואם היא הייתה \( 2 \) הוא היה מהצורה \( \frac{2}{3} \) ועוד משהו. מכיוון שהוא קטן משניהם, אז הספרה הראשונה חייבת להיות \( 0 \). באופן כללי, אם אנחנו מחפשים את הפיתוח של \( a \), אז הספרה הראשונה נקבעת לפי השאלה האם \( a\in\left[0,\frac{1}{3}\right] \) (ואז היא 0) או ש-\( a\in\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right] \) (ואז היא 1) או ש-\( a\in\left[\frac{2}{3},1\right] \) (ואז היא 2). בוודאי שמתם לב למשהו מוזר בטיעון שלי - אם \( a=\frac{1}{3} \), אז מהי הספרה הראשונה שלו? 0 או 1? התשובה היא ששתי הספרות אפשריות, אבל המשך הפיתוח יהיה תלוי בכך - אם היא תהיה 1, אז המשך הפיתוח יהיה כולו אפסים, ולכן הפיתוח יהיה סופי. אני מעוניין לדבר כאן על פיתוחים אינסופיים בלבד, ולכן לא ארשה את הסיטואציה הזו. במילים אחרות, תמיד אקח את הספרה הקטנה יותר מבין אלו האפשריות.

נניח שהסכמנו שהספרה הראשונה היא \( a_{1} \), מה שאומר ש-\( a\in\left[\frac{a_{1}}{3},\frac{a_{1}+1}{3}\right] \). מה תהיה הספרה השניה, \( a_{2} \)? לצורך כך נחלק את הקטע \( \left[\frac{a_{1}}{3},\frac{a_{1}+1}{3}\right] \) שוב לשלושה חלקים, ו-\( a_{2} \) תיקבע לפי המיקום של \( a \) בחלוקה הזו - \( a_{2}=0 \) אם הוא בחלק השמאלי, \( a_{2}=1 \) אם הוא באמצעי, ו-\( a_{2}=2 \) אם הוא בימני.

כל זה מבלבל למדי, ולכן מומלץ למי שלא הצליח לעקוב לחשוב על דוגמה פשוטה יותר במספרים טבעיים. נניח, המספר \( 153 \) בבסיס עשרוני. היכן הוא נמצא? ראשית, אם נחלק את התחום \( \left[0,1000\right] \) לעשרה חלקים שווים, נגלה שהוא נמצא בשני מביניהם - החלק \( \left[100,200\right] \); לאחר מכן נחלק תחום זה לעשרה חלקים שווים ונקבל שהמספר נמצא בחלק השישי - \( \left[150,160\right] \); ואז נחלק תחום זה לעשרה חלקים שווים ונקבל שהוא ברביעי מביניהם, \( \left[153,153\right] \). במילים אחרות, כל ספרה נוספת של המספר “משפרת את הדיוק” שלנו בנוגע לתחום שבו המספר עשוי להימצא, כשבכל פעם התחום הזה קטן פי עשרה (או במקרה של פיתוח טרינרי, פי שלושה).

כעת קל לאפיין את כל הנקודות שנמצאות בקבוצת קנטור - אלו בדיוק הנקודות שאף פעם לא נופלות באמצע קטע, בשום שלב בפיתוח שלהן. לכאורה “ליפול באמצע קטע” פירושו שמופיע 1 בפיתוח הטרינרי של הנקודה, אבל זה לא בהכרח אומר שהנקודה אכן נופלת באמצע; אם אחרי ה-1 מופיעים רק 0-ים או 2-ים, אז הנקודה לא נמצאת באמת באמצע קטע אלא “בקצה של קטע אמצעי” כלשהו (חשבו על הנקודה 2/3; אפשר לחשוב עליה כנמצאת בקצה הימני של הקטע האמצעי מבין השלושה שמתקבלים בתחילת הבניה של קבוצת קנטור; וכמובן, אפשר לחשוב עליה גם כנמצאת בקצה השמאלי של הקטע הימני מבין השלושה). אם בפיתוח של נקודה מופיע 1 אבל לאחר מכן רק סדרה אינסופית של 0 או סדרה אינסופית של 2, אז אפשר להחליף את הפיתוח הזה בפיתוח אחר שבו לא מופיע 1 (כי 1 ואז אינסוף אפסים אפשר להחליף באפס ואז אינסוף 2-ים; ו-1 ואז אינסוף 2-ים אפשר להחליף ב-2 ואז אינסוף אפסים). לכן הקריטריון לשייכות לקבוצת קנטור הוא זה: כל נקודה שיש לה פיתוח טרינרי שבו לא מופיע 1, שייכת לקבוצת קנטור.

כעת קל לראות כי קבוצת קנטור איננה בת מניה - פשוט שמים לב לכך שמספר הסדרות האינסופיות שאבריהן הן \( 0,2 \) איננו בן מניה, וחסל. זוהי תוצאה מפתיעה מאוד, אך בסופו של דבר אני סבור שהאינטואיציה יכולה להסתדר איתה.

כעת נעבור לדבר על המימד של קבוצת קנטור, ולצורך כך יש להסביר את ההגדרה שבה אני עומד להשתמש - מימד פרקטלי. מימד פרקטלי הוא מקרה פרטי של מושג כללי וחזק יותר, שנקרא מימד האוסדורף; מכיוון שהגדרתו מסובכת למדי לא אציג אותו כאן בשלב זה.

הגדרות למימד מנסות בדרך כלל להזדהות עם ההגדרה הנאיבית שלנו למימד של קבוצות “רגילות”. במימד 1, היא קו; בשני מימדים, ריבוע הוא הקבוצה הרגילה הפשוטה ביותר שהיא ממימד 2, ובשלושה מימדים - קובייה, וכן הלאה. מה מבדיל בין היצורים הללו? הנה דרך יפה לחשוב על כך: אם ניקח קו ישר ונחתוך אותו באמצע, נקבל שני קווים ישרים שאורך כל אחד מהם הוא חצי מאורך הקו המקורי. כלומר, אפשר לחשוב על הקו כאילו הוא מורכב משני עותקים של עצמו, שגודל כל אחד מהם הוא חצי מגודל הקו המקורי. לעומת זאת, אם ניקח ריבוע ונחתוך אותו באמצע, נקבל שני מלבנים, שאינם דומים לריבוע; אבל אם נחתוך גם אותם באמצע, מה שנקבל הוא ארבעה ריבועים שנראים כמו הריבוע המקורי, פרט לכך שהם כווצו “פי 2” הן מבחינת אורכם והן מבחינת רוחבם. ואם ניקח קוביה וננסה לבנות אותה מקוביית קטנות יותר שכווצו “פי 2”נראה שאנו נזקקים לשמונה קוביות. אפשר גם לחשוב על כך בכיוון ההפוך - נניח שניקח קוביה (או ריבוע, או קו) ונכפיל את גודלו “פי 2”- כמה עותקים של היצור המקורי נקבל? לא קשה להוכיח כי נקבל \( 2^{d} \) עותקים, כש-\( d \) הוא המימד של הקבוצה המדוברת (זכרו, אנחנו עדיין עוסקים בקבוצות פשוטות - קוביות \( d \) מימדיות).

המספר 2 נכנס לסיפור הזה בצורה שרירותית לגמרי. מה היה קורה אם היינו מנפחים את הריבוע פי 3 ולא פי 2? אז היינו מקבלים 9 עותקים של הריבוע המקורי, במקום 4. במילים אחרות , אם מנפחים פי 3, מקבלים \( 3^{d} \) עותקים. ואם מנפחים פי \( k \) באופן כללי, מקבלים \( k^{d} \) עותקים.

מכאן הדרך להגדרה כללית אינה קשה. אם אנו לוקחים אובייקט ומנפחים אותו פי \( a \), ומקבלים \( b \) עותקים של האובייקט המקורי, איך ניתן להגדיר את המימד באמצעות \( a,b \)? ובכן, אנו מצפים שיתקיים הקשר \( b=a^{d} \), כלומר \( d=\log_{a}\left(b\right) \). מכיוון שבמתמטיקה קל לבטא לוגריתם בבסיס כלשהו באמצעות הלוגריתם הטבעי \( \ln \) (למעשה, אפשר לבטא בקלות לוגריתם בבסיס כלשהו באמצעות לוגריתם בבסיס אחר) כותבים הגדרה זו בתור \( d=\frac{\ln b}{\ln a} \). כמובן שמתעוררת השאלה האם לכל ניפוח ב-\( a \) אכן נקבל \( b \) שהוא \( a^{d} \), או שעבור ערכים שונים של \( a \) נקבל ערכים של \( b \) ש”מתנהגים מוזר” ואינם בהכרח \( a^{d} \) עבור אותו \( d \) כל הזמן; אבל לקבוצות שעליהן אדבר, התכונה הזו כן מתקיימת. למרות שדיברתי על ניפוח, אפשר לחשוב על כך גם באופן ההפוך - \( a \) מתאר פי כמה אנחנו מקטינים את הקבוצה, ו-\( b \) מתאר כמה עותקים של הקבוצה המוקטנת מרכיבים את הקבוצה המקורית.

המימד הזה נקרא “מימד פרקטלי” שכן הגדרתו מדברת על יצורים שהם פרקטלים - יצורים שאפשר לחשוב עליהם כאילו הם מורכבים מעותקים קטנים יותר של עצמם. בדרך כלל כשמדברים על פרקטלים לא חושבים על יצורים משעממים כמו קו או ריבוע, ואני מקווה לכתוב מתישהו פוסט שיציג פרקטלים יותר ברצינות.

כעת הבה ונחיל את ההגדרה הזו על קבוצת קנטור. גם על קבוצת קנטור אפשר לחשוב כאילו היא מורכבת מעותקים קטנים יותר של עצמה, כלומר שהיא פרקטל - מדוע? כי הבה ונסתכל במה שקורה לקבוצת קנטור אחרי האיטרציה הראשונה, כלומר בקבוצה \( C_{1} \); היא מורכבת משני קטעים, כל אחד מהם באורך \( \frac{1}{3} \), שמעתה והלאה מה שעומדים לעשות איתם הוא לסלק להם את האמצע, ולשאריות יסלקו את האמצע, וכו’ וכו’ - כלומר, יופעל עליהם אותו תהליך שהופעל על קבוצת קנטור המקורית. במילים אחרות, אפשר לחשוב על קבוצת קנטור כאילו היא מתקבלת מאיחוד של שתי קבוצות קנטור קטנות יותר. כמה קטנות יותר? פי 3, שהרי אורך הקטע שממנו הבניה מתחילה עבור הקבוצות הקטנות יותר הוא קטן פי 3 מאורך הקטע שבו התחילה הבניה המקורית. במילים אחרות, במקרה שלנו \( a \) הוא 3, ואילו \( b \) הוא 2. מכאן שהמימד הוא \( d=\frac{\ln2}{\ln3} \). אבל מספר זה לא רק שאינו שלם, הוא אף אינו רציונלי. אם ניקח את הספרות הראשונות שלו נקבל \( 0.6309297\dots \), וזה המספר שהבטחתי בהתחלה.

כלומר, קבוצת קנטור היא לא אפס ממדית - היא “גדולה יותר”מיצור אפס-ממדי, כלומר מנקודה. זה משתלב טוב עם האינטואיציה שלנו שהקבוצה היא “גדולה” כי יש בה מספר לא בן מניה של נקודות. מצד שני, קבוצת קנטור היא גם לא 1-ממדית - היא “קטנה יותר” מיצור חד-ממדי, כלומר מקו. זה משתלב טוב עם האינטואיציה שלנו שהקבוצה היא “קטנה” כי המידה שלה היא 0 והוצאנו ממנה את כל ה”אורך”. במילים אחרות, המימד הפרקטלי שהצגתי כאן מאפשר לנו יכולת הבחנה חדה יותר בין קבוצות “קטנות” ו”גדולות”.

אני מקווה שזה משכנע אתכם שיש טעם לדבר על מימדים מסוג זה, ושיש הגיון רב בדיבור על מימדים לא שלמים. אותי, לפחות, זה משכנע.