גבולות של פונקציות ופונקציות רציפות

בפוסט הקודם שלי על חדו”א תיכונית הצגתי מושג שלא נלמד בתיכון, אבל הוא בסיסי ביותר בחדו”א - מושג הגבול. ליתר דיוק, הצגתי את המושג עבור סדרות של מספרים ממשיים; כעת אני רוצה להציג את ההגדרה עבור פונקציות של מספרים ממשיים - בסימון שהצגתי בפוסט על פונקציות, פונקציות מהצורה $latex f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. ההגדרה תהיה מעט יותר מסובכת מזו שעבור סדרות (ולכן חיכיתי איתה), אבל אחרי שתבינו אותה, לא יהיה קשה בהרבה גם להבין הגדרות כלליות עוד יותר לגבול (שלא אתן, בשלב זה, כי אז כבר לא נעסוק בחדו”א אלא במתמטיקה מתקדמת יותר).

גבול של סדרה בא לתאר את התנהגות הסדרה “באינסוף”. גבול של פונקציה הוא מושג מסובך יותר כי אנחנו צריכים גם להגיד איפה אנחנו מסתכלים על התנהגות הפונקציה. בואו נקפוץ למים ונציג את הסימון: $latex \lim_{x\to x_{0}}f\left(x\right)=L$ פירושו “כאשר $latex x$ שואף ל-$latex x_{0}$, ערך הפונקציה $latex f$ שואף ל-$latex L$”. עבור סדרות אפשר היה לחשוב על הגבול כ”משחק” - נותנים לנו $latex \varepsilon$ ומטרתנו הייתה למצוא איזה $latex N_{\varepsilon}$ כך שהתנהגות אברי הסדרה שאחרי האיבר ה-$latex N_{\varepsilon}$ היא כזו, שאף אחד מהם לא נמצא במרחק גדול מ-$latex \varepsilon$ מהגבול. כעת עלינו להחליף את $latex N_{\varepsilon}$ במשהו אחר - הטענה תהיה שקיים מספר ממשי $latex \delta>0$ כך שאם $latex x$ קרוב ל-$latex x_{0}$ עד כדי $latex \delta$, אז $latex f\left(x\right)$ קרוב ל-$latex L$ עד כדי $latex \varepsilon$. אומרים ש-$latex \delta$ מגדיר “סביבה” של $latex x_{0}$: אוסף כל הנקודות שסביבו, במרחק לכל היותר $latex \delta$. נעבור לפורמליסטיקה של ממש: $latex \lim_{x\to x_{0}}f\left(x\right)=L$ אם ורק אם לכל $latex \varepsilon>0$ קיים $latex \delta>0$ כך ש-$latex 0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon$ (כאן חץ כפול פירושו “גורר”). זהו, זו ההגדרה המסובכת והמפחידה ביותר שאציג בכל סדרת הפוסטים הזו. נגזרות ואינטגרלים, למרות שהגדרתם אינה מובנת מאליה, הם לדעתי קלים יותר להבנה (טוב, אולי אינטגרל לא…)

שימו לב לאי השוויון $latex 0<\left|x-x_{0}\right|$. הוא אומר שאם $latex x=x_{0}$, לא חייב להתקיים $latex \left|f\left(x\right)-L\right|<\varepsilon$. במילים אחרות, דווקא בנקודה $latex x_{0}$ עצמה, הפונקציה יכולה “להשתולל”ולא חייבת להיות בסביבת הגבול. כלומר, הגבול בנקודה $latex x_{0}$ מתאר את התנהגות הפונקציה סביב הנקודה הזו, אך לא בנקודה עצמה. רוצים דוגמה? אין בעיה! נגדיר $latex f\left(x\right)$ באופן האידיוטי הבא: אם $latex x\ne0$ אז $latex f\left(x\right)=2$, וכמו כן $latex f\left(0\right)=42$. אם נצייר גרף של הפונקציה הוא יהיה קו אופקי בגובה 2 מעל ציר $latex x$, פרט ל”חור” בנקודה $latex x=0$ שבמקומו יש נקודה בודדת בגובה 42 מעל ציר $latex x$. קל לראות שהפונקציה שואפת ל-2 בנקודה 0, ועם זאת ערכה שם הוא מרוחק למדי מ-2. הפונקציה הזו נראית מלאכותית משהו כי לקחנו פונקציה פשוטה ו”קרענו” אותה; זה מוביל אותי מייד למושג הבא שעליו אני רוצה לדבר כאן ושמושג הגבול של פונקציה מאפשר לי לדבר עליו - רציפות. פונקציה $latex f$ היא רציפה בנקודה $latex x_{0}$ אם $latex \lim_{x\to x_{0}}f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right)$. אני אוהב לומר שפונקציה רציפה היא ההפך מפוליטיקאי - היא גם מבטיחה וגם מקיימת. מבטיחה, זה הגבול $latex \lim_{x\to x_{0}}f\left(x\right)$, שנותן לנו את התחושה, ככל שאנו מתקרבים לנקודה $latex x_{0}$, שערך הפונקציה מתקרב למשהו ספציפי; ומקיימת זה ש-$latex f\left(x_{0}\right)$ הוא אכן אותו משהו ספציפי.

מה שתיארתי כאן הוא רציפות בנקודה מסויימת; בדרך כלל נהוג לדבר על רציפות של פונקציה בקטע כלשהו. קטע הוא פשוט קבוצת כל הנקודות שבין שני מספרים; כך למשל $latex \left[3,4\right]$ הוא אוסף כל המספרים שקטנים או שווים ל-4 וגדולים או שווים ל-3. זו דוגמה לקטע סגור; אפשר גם לדבר על הקטע הפתוח $latex \left(3,4\right)$ שמכיל את כל המספרים בין 3 ו-4 לא כולל 3 ו-4 עצמם; והקטע ה”חצי פתוח” $latex (3,4]$ שאינו מכיל את 3 אבל כן מכיל את 4, והקטע $latex \left(2,\infty\right)$ שמכיל את כל המספרים הממשיים שגדולים מ-2, וכדומה. אם כן, להגיד “$latex f$ רציפה בקטע $latex \left[3,4\right]$” זו דרך להגיד “לכל $latex 3\le x_{0}\le4$, מתקיים ש-$latex f$ רציפה ב-$latex x_{0}$”. מעתה ואילך כשאדבר על “פונקציה רציפה”תמיד יהיה ברור שאני מתכוון ל”רציפה בקטע כלשהו” (שיכול להיות גם $latex \left(-\infty,\infty\right)$ - ציר המספרים הממשיים כולו).

אוהבים לומר שפונקציות רציפות הן פונקציות ש”ניתן לצייר מבלי להרים את העט מהדף”. זה תיאור טיפה פשטני כי הוא עובד רק לפונקציות שקל לצייר בקו אחד - למשל, פונקציות $latex f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ (להבדיל מפונקציות מרוכבות, למשל). למרבה המזל, אלו בדיוק הפונקציות שעליהן אנו מדברים בחדו”א בסיסית ועבורן התיאור הזה הוא הולם למדי, למעט העובדה שעדיין יש פונקציות, ואפילו רציפות, שקשה לנו לצייר באופן כללי. לכן אני מציע להשתמש בזה בתור אינטואיציה, לא בתור הגדרה.

אני רוצה להציע דרך התבוננות נוספות על פונקציות רציפות, שאולי תהיה קשה למדי להבנה בשלב הזה אבל היא הפתח להכללה חזקה ביותר של המושג הזה. חשבו על פונקציה ממשית באופן גאומטרי יותר, בתור משהו ש”תופס בידיים” את ציר המספרים $latex \mathbb{R}$, ומתחיל לעקם ולפתל אותו בתוך המרחב הדו-ממדי שבו אפשר לדמיין ש-$latex \mathbb{R}$ חי בתור קו ישר. למשל, הפונקציה $latex f\left(x\right)=x^{2}$ תופסת את $latex \mathbb{R}$ ב”קצוות” שלו (אין לו באמת כאלו - הם באינסוף!) ומושכת אותם בחוזקה כלפי “מעלה”. הפונקציה $latex f\left(x\right)=\sin x$ תופסת את הישר, מעקמת אותו ויוצרת ממנו מעין גל שחוזר על עצמו. הפונקציה $latex f\left(x\right)=e^{x}$ מרימה את הישר טיפה אל מעבר לציר $latex x$, את הקצה הימני היא מושכת מעלה בצורה חזקה מאוד, בעוד שהקצה השמאלי ממשיך להישאר “נמוך” וקרוב לציר, וכן הלאה. לכל הדוגמאות הללו תכונה משותפת - ההתעללות שביצענו ב-$latex \mathbb{R}$ לא קרעה אותו. עשינו עיוות כלשהו של $latex \mathbb{R}$ שכלל מתיחות והזזות שלו, אבל בלי קריעה. “לקרוע” בהקשר הזה פירושו לגרום לכך שנקודות שקודם היו קרובות אחת לשנייה על הציר פתאום יהיו מרוחקות זו מזו באופן משמעותי (ושוב - זה לא מוגדר היטב - מה מבדיל בין “קריעה”ובין מתיחה חזקה במיוחד? לכן לא צריך לחפש את הצדק המתמטי במה שאני אומר אלא את האינטואיציה; הצדק המתמטי מצוי בהגדרה שכבר נתתי).

למעשה - וזה כבר באמת למתקדמים מביניכם - אפילו תיאור של פונקציה רציפה כפונקציה ש”לא קורעת” אינו מדויק מספיק, למרות שבמקרה של $latex \mathbb{R}$ הוא מספיק טוב. בעולם האמיתי פונקציה רציפה יכולה גם לקרוע, בתנאי שאחר כך היא “תופרת” בחזרה את הקרעים. כך למשל כשמדברים על פונקציות על אובייקטים תלת ממדיים אפשר לדבר על פונקציה שלוקחת כדור והופכת אותו “פנימה והחוצה”. אם תנסו לעשות זאת לכדור אמיתי בלי לקרוע אותו לא תצליחו; אבל אפשר לעשות זאת אם מבצעים בו קרע קטן, הופכים אותו ואז תופרים בחזרה את הקרע. אבל כאמור - דיה לצרה בשעתה, ולא על זה אני רוצה לדבר כאן.

למה בעצם טרחתי לדבר על פונקציות רציפות? כי מבין כל הפונקציות הן הפונקציות ה”נחמדות” ביותר. אפשר להראות שפונקציה רציפה בקטע סגור (למשל $latex \left[3,4\right]$) היא חסומה ומקבלת בו את המינימום והמקסימום שלה - תכונות מועילות מאוד, שעוזרות לנו לראות שלכל פונקציה רציפה קיים אינטגרל (ועל כך נדבר בהמשך). בדומה אפשר להראות שכל פונקציה שאפשר לגזור (וגם על זה נדבר בהמשך) חייבת להיות רציפה. כמו כן, הפונקציות העיקריות שאנחנו מכירים - הפולינומים, הפונקציות הטריגונומטריות, האקספוננט, הלוגריתם - כולן רציפות. זה לא מדויק במאה אחוזים - למשל, $latex \tan x$ לא מוגדר עבור ערכי $latex x$ שהן כפולה שלמה אי זוגית של $latex \frac{\pi}{2}$; אבל בין כל שתי נקודות כאלו זו פונקציה רציפה גם כן.

סיבה אחרת לכך שפונקציות רציפות הן כל כך אהובות - ושוב, אני קצת גולש - היא שאם מסתכלים על תוצאה ההפעלה שלהן על כל הנקודות בקבוצה מסויימת ולא רק על הפעולה ה”נקודתית” שלהן, יש מספר תכונות מעניינות של הקבוצה שפונקציות רציפות ישמרו. כך למשל התמונה של קטע סגור תהיה בעצמה קטע סגור (ובאופן כללי, התמונה של קטע תמיד תהיה קטע - לא ייתכן שפונקציה רציפה תעביר קטע לשני קטעים מבודדים).

הנה עוד תכונה מעניינת של פונקציות רציפות. נניח שיש לנו סדרת מספרים ממשיים $latex a_{n}$ שמתכנסת לערך כלשהו $latex a$, כלומר $latex \lim_{n\to\infty}a_{n}=a$ על פי ההגדרה של הפוסט הקודם. אז אם $latex f$ היא פונקציה רציפה, מתקיים ש-$latex \lim_{n\to\infty}f\left(a_{n}\right)=f\left(a\right)$. במילים אחרות, מספיק שנדע את ערכה של $latex f$ על סדרת נקודות שמתכנסת ל-$latex a$ כדי שנדע את ערכה ב-$latex a$. למה זה מעניין? כי סדרה היא קבוצה יחסית קטנה של מספרים; השוו זאת להגדרה של $latex \lim_{x\to x_{0}}f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right)$ שבה אנחנו מדברים על אוסף כל הנקודות בסביבה כלשהי של $latex x_{0}$.

כדי להבין עד כמה זה חזק, הנה משפט: אם ידועים לנו ערכיה של פונקציה $latex f$ על המספרים הרציונליים, וידוע לנו ש-$latex f$ רציפה, אז הערכים של $latex f$ על כל המספרים הממשיים נקבעים בצורה יחידה - יש “הרחבה יחידה לממשיים” של $latex f$. כמו כל דבר בחדו”א גם המשפט הזה ניתן להכללה רחבת היקף שעליה לא אומר כלום.

דוגמה אחת לשימוש של המשפט היא במה שמכונה המשוואה הפונקציונלית של קושי. המשוואה הפונקציונלית היא זו: $latex f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$, ואנו שואלים את עצמנו (או לפחות קושי שאל את עצמו) אילו פונקציות מקיימות זאת בכלל. המפתח לפתרון הוא זה: ראשית, אם $latex n$ טבעי אז $latex f(nx)=f(x)+f\left(\left(n-1\right)x\right)=f\left(x\right)+f\left(x\right)+f\left(\left(n-2\right)x\right)=\dots=nf(x)$. כעת, מהמשוואה הזו מקבלים על ידי חלוקה ב-$latex n$ של שני האגפים ש-$latex \frac{1}{n}f\left(nx\right)=f\left(x\right)$ ועל ידי החלפת משתנה מקבלים $latex \frac{1}{n}f\left(y\right)=f\left(\frac{y}{n}\right)$. מכאן כבר לא קשה לראות (נדרש תעלול כלשהו גם עבור מספרים שליליים) שלכל מספר רציונלי $latex q$ מתקיים $latex f\left(q\right)=q\cdot f\left(1\right)$. כלומר, הערך של $latex f$ על כל המספרים הרציונליים נקבע על פי ערכה ב-$latex 1$, שהוא מספר קבוע כלשהו, ולכן הצורה הכללית של $latex f$ היא $latex f\left(x\right)=c\cdot x$ לכל מספר רציונלי (כאשר $latex c$ הוא קבוע ממשי שמאפיין את $latex f$).

מה שעשינו כאן היה תעלולים אלגבריים פשוטים. הם מסוגלים להביא אותנו רק עד הרציונליים - אי אפשר לטפל בממשיים בעזרת תעלולים דומים. אלא מה? אם דורשים גם ש-$latex f$ תהיה רציפה, אז ערכיה על הרציונליים קובעים את ערכה בכל מספר ממשי. אם $latex a$ הוא מספר ממשי ו-$latex a_{n}$ סדרת נקודות רציונליות שמתכנסת אליו (תמיד יש כזו) אז $latex f\left(a_{n}\right)=c\cdot a_{n}$, ולכן $latex f\left(a\right)=\lim f\left(a_{n}\right)=\lim c\cdot a_{n}=c\cdot a$. בקיצור, הראינו ש-$latex f\left(x\right)=c\cdot x$ לכל מספר ממשי. במילים: אם דורשים ש-$latex f$ רציפה, אז הפתרון היחיד למשוואה הפונקציונלית של קושי הוא פונקציות מהצורה $latex f\left(x\right)=c\cdot x$.

אם כן, אלו היו פונקציות רציפות על קצה המזלג. בפוסט הבא בנושא אחזור לדבר על נושא שנלמד במפורש גם בתיכון - נגזרות.


נהניתם? התעניינתם? אם תרצו, אתם מוזמנים לתת טיפ:

Buy Me a Coffee at ko-fi.com