איך מוצאים את הסכום של סדרה חשבונית וסדרה הנדסית?

אני רוצה להקדיש פוסט ייעודי לדברים שכבר הופיעו בבלוג שלל פעמים, בתור הערות אגב בפוסטים אחרים: הסכומים של סדרות חשבוניות והנדסיות. אם אתם לא יודעים מהן הסדרות הללו, עד סוף הפוסט תדעו; אבל אם אתם כבר יודעים, אז אפשר לגשת לעניין - המטרה של הפוסט הזה היא להסביר למה הנוסחאות הבאות הן נכונות:

• \( S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2} \) עבור טור חשבוני.
• \( S_{n}=a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1} \) עבור טור הנדסי.

נתחיל עם אגדה ידועה על המתמטיקאי קארל פרידריך גאוס, שתעזור לנו להבין על מה מדובר.

האגדה אומרת שכאשר גאוס היה בבית הספר היסודי, המורה שלו התעצל ונתן לתלמידים את המשימה המייגעת של חישוב הסכום \( 1+2+3+\dots+100 \) - כלומר, סכום כל המספרים עד 100. הרעיון היה שהם יבלו חצי יום בעבודה טכנית מייגעת וחסרת כל טעם, והמורה ינוח. הבעיה היא שגאוס הקטן בא אל המורה תוך כמה דקות עם הפתרון. האם זה קרה בגלל שגאוס היה מחשבון אנושי? לא! בדיוק ההפך! גאוס המחיש בצורה הטובה ביותר את גישת מתמטיקאים הם עצלנים. במקום לבצע את החישוב, הוא מצא “דרך קיצור” שנותנת לו את הסכום בלי שיצטרך לחשב את כולו במפורש.

הטריק של גאוס היה פשוט: הוא שם לב לכך שאם לוקחים את האיבר הראשון בסכום (שהוא 1) ומחברים אותו לאיבר האחרון בסכום (שהוא 100), מקבלים 101. זה בפני עצמו לא מרגש במיוחד, אבל העניין הוא שאותו מספר בדיוק מתקבל אם מחברים את האיבר השני בסכום (שהוא 2) עם האיבר הלפני אחרון בסכום (שהוא 99), וכן הלאה. בעצם, אומר גאוס, אפשר לחלק את כל המספרים בין 1 ל-100 לחמישים זוגות בדיוק, כך שהסכום של כל זוג הוא בדיוק 101:

\( \left(1,100\right),\left(2,99\right),\left(3,98\right),\dots \)

אם יש לנו בדיוק 50 זוגות, והסכום של כל אחד מהם הוא בדיוק 101, אז עברנו מביצוע 99 תרגילי חיבור לביצוע תרגיל כפל יחיד: \( 50\times101=5050 \). זה תרגיל שאפילו אני מסוגל לבצע בראש; לא צריך להיות “מחשבון אנושי”.

אז הנה השיטה של גאוס בצורה יותר כללית: נניח שאני רוצה לחבר את כל המספרים מ-1 ועד \( n \), כאשר \( n \) הוא מספר טבעי כלשהו (במקרה של גאוס \( n=100 \)). אני יכול לחלק את המספרים ל-\( \frac{n}{2} \) זוגות כך שבכל זוג הסכום של שני האיברים הוא \( n+1 \), ולכן אני מקבל את הנוסחה

\( 1+2+\dots+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2} \)

אבל רגע אחד, יש כאן משהו מוזר: מה קורה אם \( n \) הוא אי זוגי? נאמר, \( n=9 \), כדי לעבוד עם דוגמא קונקרטית פשוטה. במקרה הזה אני אמור לכאורה לחלק את המספרים ל-\( 4.5 \) זוגות, וזה… חסר משמעות. אז בואו נראה מה קורה אם מחלקים את המספרים מ-1 עד 9 ל”זוגות”:

\( \left(1,9\right),\left(2,8\right),\left(3,7\right),\left(4,6\right),\left(5\right) \)

מה קרה פה? ראשית, קיבלנו ארבעה זוגות שסכום כל אחד מהם הוא 10. שנית, קיבלנו את האיבר 5 לבדו. אפשר לחשוב על זה בתור “חצי זוג”; כאילו לקחתי את הזוג \( \left(5,5\right) \) אבל במקום לספור את הסכום שלו, 10, ספרתי רק חצי מהסכום שלו, כלומר 5. זה אומר שהנוסחה שלנו עובדת יפה גם במקרה הזה.

עכשיו אפשר לקחת את הנוסחה הזו ולהכליל אותה טיפה. הסכום \( 1+2+3+\dots+n \) הוא דוגמא פשוטה למשהו שנקרא טור חשבוני: זה סכום של סדרת מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים סמוכים הוא קבוע. סדרות של מספרים לרוב נכתבות בעזרת אות שמסמנת את הסדרה, ועוד מספר קטן למטה - האינדקס - שבא לומר על איזה מקום בסדרה מדברים כרגע. למשל \( a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n} \). את הסכום של סדרה כזו נהוג לסמן ב-\( S_{n}=a_{1}+\dots+a_{n} \).

שימו לב לעניין טרמינולוגי קטן: המילה סדרה (באנגלית Sequence) מתארת את סדרת האיברים - מה שסימנתי בתור \( a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n} \). המילה טור (באנגלית Series) מתארת את הסכום שלהם, מה שסימנתי בתור \( a_{1}+\dots+a_{n} \).

בסדרה חשבונית, התכונה שמגדירה את הסדרה היא ש-\( a_{k+1}-a_{k}=d \) לכל \( 1\le k<n \). המספר \( d \) נקרא ההפרש של הסדרה. מה שנחמד הוא שמספיק להכיר את האיבר הראשון בסדרה ואת \( d \) כדי לדעת מה יהיה ערכו של כל איבר אחר: \( a_{2}=a_{1}+d \) ו-\( a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+2d \) וכן הלאה - קל לראות שבאופן כללי אפשר לכתוב \( a_{n}=a_{1}+\left(n-1\right)d \).

גם בסדרה חשבונית כללית משתמר הכלל שגאוס ראה - שסכום האיבר הראשון והאחרון זהה לסכום האיבר השני והלפני-אחרון וכן הלאה. למה? ובכן, בכל זוג כזה אנחנו הולכים “צעד אחד קדימה” עבור אחד מהאיברים (מהאיבר הראשון אל השני, למשל). בצעד הזה מתווסף \( d \) לסכום; אבל באיבר השני אנחנו הולכים “צעד אחורה” (מהאיבר האחרון אל הלפני אחרון, למשל) ובצעד הזה מורידים \( d \) מהסכום הכללי. לכן, אומר גאוס, בסדרה חשבונית של \( n \) איברים שהאיבר הראשון שלה הוא \( a_{1} \) והאחרון הוא \( a_{n} \), אפשר לחלק את הסדרה ל-\( \frac{n}{2} \) זוגות שסכום כל אחד מהם הוא \( a_{1}+a_{n} \), מה שנותן לנו את הנוסחה:

\( S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2} \)

מכיוון שאנחנו יודעים לבטא את \( a_{n} \) בעזרת \( a_{1} \) ו-\( d \) אפשר גם לכתוב

\( S_{n}=\frac{n\left(2a_{1}+\left(n-1\right)d\right)}{2}=na_{1}+\frac{n\left(n-1\right)d}{2} \)

זה מסיים את הסיפור עבור טור חשבוני. בואו נעבור לסוג הנפוץ השני של טור, שעבורו אין לי אנקדוטה גאוסית: טור הנדסי. בסדרה הנדסית, המנה של כל שני איברים סמוכים קבועה: \( \frac{a_{k+1}}{a_{k}}=q \) כאשר \( q\ne0 \) הוא מספר שונה מאפס כלשהו ו-\( a_{1} \) גם הוא צריך להיות שונה מאפס. למשל, אם ניקח את \( a_{1}=2 \) ואת \( q=3 \) נקבל את הסדרה \( 2,6,18,54,\dots \). בסדרה הנדסית כזו, האיבר במקום ה-\( n \) נתון על ידי \( a_{n}=a_{1}q^{n-1} \), באופן די דומה למה שקרה בסדרה חשבונית.

אם \( q=1 \) הסדרה שלנו היא “משעממת”: הסדרה הקבועה \( a_{1},a_{1},a_{1},\dots \). הסכום של סדרה כזו הוא \( na_{1} \) ולכן אפשר לראות את המקרה הזה כסגור ולעבור למקרים המעניינים האחרים, שבהם \( q\ne1 \).

בואו נתחיל עם המקרה הפשוט שבו \( a_{1}=1 \) ולכן הסדרה שלנו היא \( 1,q,q^{2},q^{3},\dots,q^{n} \) שימו לב ש-\( q^{n} \) הוא האיבר ה-\( n+1 \)-י בסדרה. עכשיו, מהו הסכום \( 1+q+q^{2}+\dots+q^{n} \)? על פניו זה תרגיל לא קל, אבל שוב בא לעזרתנו תעלול מז’אנר “מתמטיקאים הם עצלנים”. אני לא זוכר בעל פה את הנוסחה לטור הנדסי; אני כן זוכר בעל פה את התעלול הזה, שהוא פשוט “להכפיל הכל ב-\( q-1 \)”.

כי מה קורה כשכופלים ב-\( q-1 \)? לכאורה מקבלים משהו הרבה יותר מסובך, אבל למעשה רוב האיברים בסכום שנקבל יבטלו זה את זה. נקבל מה שנקרא “טור טלסקופי” (כי הרעיון בו הוא שהוא נראה ארוך אבל אפשר “לכווץ” אותו לממדים זעירים, כמו שטלסקופ יכול להיות ארוך ואפשר לכווץ אותו). כדי לראות את זה, אני אכתוב את כל אברי המכפלה \( \left(q-1\right)\left(1+q+\dots+q^{n}\right) \) בשתי שורות: בשורה הראשונה התוצאה של הכפלת \( q \) בסוגריים הימניים, ובשורה השניה התוצאה של הכפלת \( -1 \) בסוגריים הללו:

\( \begin{array}{cccccc} & q & +q^{2} & +\dots & +q^{n} & +q^{n+1}\\ -1 & -q & -q^{2} & -\dots & -q^{n} \end{array} \)

האיברים היחידים שלא מבטלים אלו את אלו הם \( q^{n+1} \) (שהתקבל מהכפלה של \( q \) עם האיבר הגדול בסוגריים, \( q^{n} \)) ו-\( -1 \) (שהתקבל מהכפלה של \( -1 \) עם האיבר הקטן בסוגריים, \( 1 \)). לכן התוצאה שנקבל היא \( q^{n+1}-1 \), כלומר

\( \left(q-1\right)\left(1+q+\dots+q^{n}\right)=q^{n+1}-1 \)

נחלק ב-\( q-1 \) את שני האגפים, תוך הסתמכות על ההנחה שלנו ש-\( q\ne1 \), ונקבל את נוסחת הסכום:

\( 1+q+\dots+q^{n}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \)

עכשיו בואו נדבר על טור הנדסי כללי. שני דברים משתנים: ראשית, האיבר הראשון אינו בהכרח 1 אלא הוא \( a_{1} \); ושנית, אני שואל את עצמי מה קורה כשיש בדיוק \( n \) איברים בטור. כלומר, אני רוצה לדעת מהו הסכום

\( a_{1}+a_{1}q+\dots+a_{1}q^{n-1} \)

קל לטפל בעניין ה-\( a_{1} \) הזה: בואו נוציא אותו כגורם משותף, ונקבל

\( a_{1}\left(1+q+\dots+q^{n-1}\right) \)

עכשיו, הביטוי שבסוגריים מאוד קרוב למה שכבר קיבלנו:

\( 1+q+\dots+q^{n}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \)

אם נחליף בנוסחה שלעיל את \( n \) ב-\( n-1 \) בשני האגפים, נקבל

\( 1+q+\dots+q^{n-1}=\frac{q^{n}-1}{q-1} \)

ומכאן הנוסחה הכללית לסכום סדרה הנדסית:

\( S_{n}=a_{1}\frac{q^{n}-1}{q-1} \)

מה באשר לסכומים של סדרות כלליות ומתוחכמות יותר? למשל, ידעתם שהסכום של \( n \) האיברים הראשונים בסדרת פיבונאצ’י שווה למספר פיבונאצ’י ה-\( n+2 \), כל זה פחות 1? כלומר, אם \( F_{1}=F_{2}=1 \) ו-\( F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} \) אז \( F_{1}+F_{2}+\dots+F_{n}=F_{n+2}-1 \). האם יש לי דרך פשוטה להסביר את זה? ובכן… לא. אפשר להוכיח את זה בקלות באינדוקציה ואפשר לגלות את זה בקלות בעזרת כלי בקומבינטוריקה שנקרא פונקציות יוצרות, אבל אני לא מכיר הסבר טריוויאלי פשוט שנותן את האינטואיציה לכך (אולי אקבל כזה בתגובות). באופן כללי, זו הבעיה עם סדרות מתוחכמות יותר - יש לנו כלים לטפל גם בהן, אבל הסיפור כבר לא עד כדי כך פשוט. לכן אני חושב שאעצור כאן.