ארבע פעולות החשבון - חילוק

בפוסטים הקודמים דיברתי על פעולות החיבור, החיסור והכפל של מספרים טבעיים ועכשיו הגענו אל השלב האחרון - פעולת החילוק. זו פעולה מורכבת משמעותית יותר מאלו שראינו עד כה, ואני לא אנסה לכסות את כל ההיבטים שלה - המטרה שלי בפוסט הזה היא להציג את שיטת החילוק הארוך שמאפשרת לבצע חילוק בעזרת נייר ועיפרון וסבלנות. מכל ענייני האריתמטיקה, זו כנראה השיטה שאנחנו מדחיקים הכי מהר ולא מבינים מה בעצם הלך בה - אני מקווה שהפוסט יוכל לסייע קצת בנקודה הזו.

קודם כל, מה זה חילוק? זו מעין פעולה הפוכה לפעולת הכפל: אם \( a=b\times c \), אז \( a\div b=c \). האינטואיציה היא זאת: נניח שיש לי \( a \) עצמים זהים כלשהם, ואני רוצה לחלק אותם ל-\( b \) קבוצות כך שבכל קבוצה יש בדיוק אותו מספר של עצמים - מה המספר הזה הולך להיות?

אם יש לי \( 8 \) עצמים שאני רוצה לחלק ל-2 קבוצות, אז בכל קבוצה יהיו \( 8\div2=4 \) עצמים. אבל מה אם אני רוצה לחלק אותם ל-3 קבוצות? אין לי דרך ליצור שלוש קבוצות עם מספר שלם של עצמים בכל אחת מהן כך שמספר העצמים הכולל הוא 8. לכן יש לי שתי אפשרויות:

1. להשתמש בשברים: לומר ש-\( 8\div3=2\frac{2}{3} \), כלומר בכל אחת משלוש הקבוצות יהיו לנו שני עצמים ועוד שני שליש עצם. זה עובד לא רע אם העצמים הם עוגות, למשל; אפשר לחתוך עוגה לשלוש פרוסות, כך שאם יש לנו שמונה עוגות לחלק לשלושה אנשים כל אדם יכול לקבל שתי עוגות ועוד שני שליש עוגה. אבל מה אם רוצים לחלק כלבלבים?
2. להשתמש בחילוק עם שארית: לחלק כמה שאפשר, ואז להישאר עם מספר קטן כל כך שאין דרך לחלק. בחלוקה של 8 כלבלבים ל-3 אנשים, אחרי שחילקנו 2 כלבלבים לכל אחד נשארה לנו שארית של עוד 2 כלבלבים, ופה אנחנו עוצרים. אנחנו אומרים במקרה כזה שהמספר שחילקנו לכל אחד הוא המנה ואילו מה שנשאר בסוף הוא השארית. למשל, אם אני מחלק את 13 ל-3 אני נשאר עם מנה 4 ושארית 1, כי \( 13=4\times3+1 \). ה"חוק" שקובע מתי אנחנו מזהים שנשארה לנו רק השארית היא - כשיש לנו ביד מספר קטן ממה שמחלקים בו.

איזה משתי הדרכים היא “הנכונה”? אין כזו. שתיהן נכונות בהקשרים שונים במתמטיקה ושתיהן שימושיות מאוד, אבל האמת היא שאין גם הבדל של ממש בינן מבחינת החישוב שאנחנו צריכים לעשות. קודם כל אנחנו מחלקים עד שמוצאים את השארית, ואז לוקחים את השארית עצמה ושמים אותה במונה של שבר כשהמכנה הוא המספר שבו אנחנו מחלקים.

אני אכתוב לרגע את הסיפור עם אותיות כדי להבהיר את הרעיון הכללי: אם אני מחלק את המספר הטבעי \( a \) במספר הטבעי החיובי \( b \), זה הולך לתת לי מנה \( q \) ושארית \( r \). הרעיון הוא ש-\( a=qb+r \), כשהשארית \( r \) מקיימת \( 0\le r<b \). אם אני ארצה לקבל שבר, אז השבר הוא \( q\frac{r}{b} \). אנחנו נראה איך חילוק ארוך מאפשר לנו לחשב גם את השארית וגם את השבר הזה.

לפני שנגיע לחילוק ארוך, הנה עוד כמה הערות על מוסכמות. ראשית, הסימן הידוע לשמצה \( \div \). מה זה? איפה משתמשים בזה? אפשר למצוא את זה בספרי לימוד לבית ספר, ו… זהו? אולי בפקולטות שאני פשוט לא מכיר משתמשים בו? אני לא נתקלתי כמעט בכלל בסימן הזה במתמטיקה - במקום לכתוב \( a\div b \) אנחנו מעדיפים לכתוב \( \frac{a}{b} \) לרוב (מה זה הסימן \( \div \), בעצם? זה הקו הזה עם שתי נקודות מעליו ומתחתיו שמסמנות שהאיברים \( a,b \) בעצם אמורים להיות שם). אני לא חושב שיש עם \( \div \) בעיה כלשהי, ואני אמשיך להשתמש בו בחופשיות גם בהמשך הפוסט.

שנית, ואת זה תמיד שואלים וגם אני שאלתי - מה הקטע הזה ש”אסור” לחלק באפס? אם תגידו למחשב לחלק באפס הוא ייעלב ויפסיק את ריצת התוכנה. אם תגידו את זה לאדם, לעומת זאת, אתם עלולים לקבל מגוון תשובות, החל מ”חילוק באפס הוא טעות כיוון שאין לו משמעות” וכלה ב”לחלק משהו באפס יוצא אינסוף”. הרב-משמעות הזו של התשובה היא בעצם לב העניין - זה לא שאי אפשר לתת לחלוקה באפס משמעות, זה שאפשר לתת לה הרבה משמעויות. כשמחלקים \( 6 \) ב-\( 3 \) ברור לנו מה אמור לקרות פה - אמורים לקבל 2. אבל כשמחלקים 6 ב-0, מה אמורים לקבל? חילקתי 6 עוגות לאפס אנשים, כמה קיבל כל איש? לא ברור, הרי אין אנשים. אז האם כל איש קיבל 0 עוגות? 6 עוגות? אינסוף?

כשבאתי בפוסט הזה להגיד חילוק עשיתי את זה בצורה מתחכמת שעוקפת חלקית את הבעיה. אמרתי: “אם \( a=b\times c \), אז \( a\div b=c \)”. כלומר, חלוקה הוגדרה מלכתחילה רק במקרה שבו אפשר לקבל את \( a \) מתוך כפל של משהו ב-\( 0 \). עכשיו, אחד מהדברים הבסיסיים שאפשר להוכיח על 0 הוא שכפל מספר כלשהו ב-0 מחזיר 0: \( 0\times c=0 \) לכל מספר \( c \). לכן אין שום דרך לקבל משוואה כמו \( 6=0\times c \), כך שאין לנו מספר \( c \) שנכון לכתוב עבורו \( 6\div0=c \). זו התחכמות יפה אבל היא קורסת לרסיסים אם \( a=0 \) וכאן הבעיה היא הפוכה - יש לנו יותר מדי אפשרויות. הרי \( 0=0\times3 \) וגם \( 0=0\times6343 \). אז מה אני אמור לכתוב? \( 0\div0=3 \)? אולי \( 0\div0=6343 \)?

אפשר לכתוב פוסט שלם (ואני צריך לכתוב פוסט שלם) על הדרכים שבהן בכל זאת אפשר להגדיר סוג של חלוקה באפס. לפעמים לומר משהו כמו \( \frac{6}{0}=\infty \) (כאשר \( \infty \) הוא סימן ל”אינסוף”) זה בעל משמעות. העניין הוא שהמשמעות הזו גוררת גם ויתור על משהו - על כך שאפס “ישחק יפה” עם כללי החשבון הרגילים, וכדומה. לא אכנס לזה בפוסט הזה, אבל השורה התחתונה היא שהתשובה לשאלה “למה אסור לחלק באפס” היא “דווקא מותר אבל נצטרך הסבר מדויק מה אנחנו מקבלים ועל מה אנחנו מוותרים”.

נעבור עכשיו לחילוק ארוך. הרעיון בחילוק ארוך הוא לקבל מתוך \( a,b \) את המנה \( q \) ואת השארית \( r \), כאשר \( a,b \) נתונים בייצוג עשרוני וגם המנה והשארית יתקבלו בצורה הזו. זה זהה לשיטות החיבור-חיסור-כפל ארוך שראינו עד כה, שגם כן השתמשו בייצוג עשרוני. בשיטות הללו הרעיון היה לבצע פעולות “ספרה-ספרה” בדרך כלשהי. בחילוק ארוך אנחנו גם כן עוברים “ספרה-ספרה” על המספר \( a \) שבו מחלקים, אבל עושים את זה בצורה הפוכה ממה שראינו עד כה - מהספרה השמאלית ביותר אל הספרה הימנית ביותר. מה הרעיון פה? בואו נראה דוגמא.

נניח שאנחנו רוצים לחלק את \( 317 \) ב-7. אני אומר - זה נראה די קשה, בואו נפתור תרגיל קל יותר קודם. התרגיל הקל יותר יהיה \( 31\div7 \). זה תרגיל קל כי אני יודע לפתור אותו בעזרת בדיקה יחסית פשוטה: אני יודע מלוח הכפל ש-\( 7\times4=28 \) שזה עדיין קטן יותר מ-31 אבל \( 7\times5=35 \) שזה כבר יותר גדול מ-31 ולכן התשובה היא ש-\( 31=4\times7+3 \). קיבלנו מנה 4 ושארית 3, ועוד אחזור בעתיד ל”בדיקה יחסית פשוטה” הזו ואתאר אותה יותר בפירוט.

הרעיון עכשיו הוא להשתמש במה שכבר מצאתי כבר להקל על חלוקת 317 ב-7. ראשית, מה משתנה כשמספר הופך מ-31 ל-317? אנחנו עושים שתי פעולות: ראשית, אנחנו כופלים אותו ב-10 ומקבלים 310 - זו המשמעות של “הזזה שמאלה” של שתי הספרות 31 כשאנחנו עובדים בבסיס עשרוני - ואז אנחנו מוסיפים 7. כלומר, \( 317=31\times10+7 \).

עכשיו, מה שראינו קודם היה ש-\( 31=4\times7+3 \). אם “נשתול” את זה בתוך המשוואה החדשה, נקבל:

\( 317=\left(4\times7+3\right)\times10+7 \)

כלומר, קיבלנו:

\( 317=40\times7+\left(30+7\right) \)

זה כבר צעד חשוב בדרך לפתרון! בעצם, מה שיש לנו הוא תרגיל חלוקה ב-7 שהוא חצי גמור - קיבלנו משהו מהצורה \( 317=q\times7+r \). הבעיה היחידה עם ה-\( r \) הזה היא שהוא “קצת גדול מדי” - הוא שווה 37, וזה גדול מ-7 ואמרנו שאנחנו רוצים שהשארית תמיד תהיה קטנה מ-7. אז מה שנעשה הוא שנחלק את 37 עצמו ב-7. בעזרת עוד שימוש בלוח הכפל אנחנו מקבלים \( 37=7\times5+2 \), ולכן קיבלנו:

\( 317=40\times7+5\times7+2 \)

עכשיו אפשר להשתמש בחוק הפילוג על ה-\( 40\times7+5\times7 \) - מה שנקרא, “להוציא גורם משותף”. אנחנו מקבלים

\( 317=\left(40+5\right)\times7+2 \)

זה מסיים את תרגיל החלוקה - המנה היא \( 45=40+5 \), השארית היא 2.

בואו נשים לב בזהירות למה שקרה פה. בעצם פתרנו שני תרגילי חילוק קלים יותר: הראשון היה \( 31\div7 \) שהניב לנו מנה 4; כלומר, את הספרה השמאלית יותר במנה הסופית. התרגיל השני היה \( 37\div7 \) שהניב לנו מנה 5, כלומר את הספרה הימנית יותר במנה הסופית. עכשיו, ברור לנו מאיפה התרגיל \( 31\div7 \) הגיע - פשוט מהספרות הראשונות של \( 317 \). אבל התרגיל \( 37\div7 \) צץ בצורה יותר מתוחכמת, עם שילוב של השארית שנותרה מהשלב הקודם, יחד עם הספרה שטרם הגענו אליה במספר \( 317 \). ואיך עשינו את זה? בקלות: כפלנו את השארית של התרגיל הקודם ב-10, וחיברנו לה את הספרה הבאה מתוך \( 317 \).

השיטה הזו עבדה כאן יפה על מספר בן 3 ספרות, והיא עובדת באותה מידה בדיוק על מספר בן 1,000,000 ספרות - רק צריך יותר שלבים.

אני רוצה לחדד למה במהלך כל שלבי החישוב, לא משנה כמה הוא ארוך, החישוב שאנחנו מבצעים יישאר פשוט יחסית. בכל שלב, מה שיש לנו ביד הוא שני דברים: את השארית \( r \) שנשארה מהסיבוב הקודם, ואת הספרה \( d \) שמכניסים למשחק עכשיו (בדוגמא שלנו מה שהיה הוא \( r=3 \) ו-\( d=7 \)). עכשיו אנחנו מסתכלים על המספר \( 10\times r+d \). בגלל שאנחנו יודעים ש-\( r<7 \) (כי היא שארית, זה מה ששארית עושה - היא תמיד קטנה ממה שמחלקים בו) ו-\( d\le9 \) (כי \( d \) היא ספרה, ובבסיס עשרוני הספרות קטנות מ-10), אז \( 10\times r+d \) הוא מספר קטן - לכל היותר \( 69 \). בגלל שהוא קטן, “קל לחלק אותו”, פשוט מתוך היכרות עם לוח הכפל של 7.

זה מה שחילוק ארוך דורש מאיתנו - הוא מציע לנו שיטה לחלק את \( a \) ב-\( b \), בתנאי שאנחנו יודעים לחלק ב-\( b \) מספרים קטנים מספיק. אבל צריך להיזהר ולא להטעות - ה”קטנים מספיק” הזה תלוי ב-\( b \) עצמו. בדוגמא שלי \( b=7 \) ולכן המספר המקסימלי שצריך לחלק אותו יצא 69, אבל אם למשל הייתי מחלק במספר גדול יותר כמו \( b=17 \), אז המספר המקסימלי שצריך לחלק אותו היה יכול לצאת 169 - זה כבר לא מספר דו-ספרתי ולוח הכפל לא ממש עוזר לנו כאן. אז איך כן עושים את זה?

ובכן, התשובה היא שבמקרה הכי גרוע אפשר בתחילת התרגיל לכתוב לנו בצד את כל הכפולות של \( b \) במספרים מ-1 עד 9. זאת מכיוון שהדבר הכי גדול שאנו עלולים לחלק בו עדיין קטן מ-\( 10\times b \). עבור 17 אני יכול לכתוב לעצמי את הטבלה הבאה:

\( \begin{array}{ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ 17 & 34 & 51 & 68 & 85 & 102 & 119 & 136 & 153 \end{array} \)

ואם למשל אני צריך לחלק את 115 ב-17, אני פשוט מוצא את המקום בטבלה שבו מופיע המספר הכי קטן מ-115 (כלומר 102), לוקח בתור מנה את המספר שכתוב מעליו (כלומר 6) ובתור שארית את ההפרש ביניהם (כלומר \( 115-102=13 \)). אני אישית לא משתמש בטבלה כזו כי בפעמים הנדירות שבהן אני צריך לבצע חילוק ארוך, אני מחלק במספר קטן כל כך עד שאני מסוגל לעשות את תרגילי החילוק ה”קטנים” בראש, אבל שימוש בטבלה כזו בהחלט יכול להקל על העניינים (איך מחשבים אותה? ובכן, סדרה של תרגילי חיבור - כל פעם מחברים 17 למספר הקודם בטבלה. גם כן לא כיף גדול, אני מודה).

עכשיו כדאי להתייחס לקיצור דרך שעשיתי לעצמי קודם. בדרך שבה הצגתי את השיטה, היא עובדת “ספרה-ספרה” - כל פעם אני לוקח ספרה אחת של \( a \) ומבצע איזה תרגיל חילוק שקשור אליה. אבל בדוגמא של 317 אני התחלתי עם שתי ספרות, 31! ובכן, מה שעשיתי פה היה לדלג על השלב הראשון. בואו נעשה אותו במפורש.

כשמתחילים חילוק ארוך, השארית \( r \) שיש לנו כרגע היא 0. אז תרגיל החילוק הקטן שאנחנו מתחילים ממנו כולל את הספרה הראשונה ותו לא. כלומר, התרגיל הראשון שהייתי צריך לבצע היה \( 3\div7 \). אבל מכיוון ש-\( 3 \) קטן מ-7, אין כאן ממש תרגיל - המספר שבו אני מחלק הוא עצמו השארית. כלומר, \( 3=0\times7+3 \). לכן יכלתי לכתוב “0” בתור הספרה השמאלית ביותר של התוצאה (ולקבל את התוצאה \( 0\times100+4\times10+5\times1=45 \)) ולהישאר עם שארית 3. עכשיו, אחרי כפל ב-10 וחיבור הספרה הבאה, אני מגיע אל 31 שממנו התחלתי. את “קיצור הדרך” הזה אפשר לעשות תמיד - כל עוד השארית קטנה ממה שמחלקים בו, אפשר לקחת יותר ספרות של \( a \) “בבת אחת”, כל עוד מקפידים להכניס אפסים במקום הנכון.

אם כן, זו השיטה. אבל לבצע את השיטה הזו בפועל זה כאב ראש בלי דרך טובה לבצע מעקב אחרי הספרות שצריך לקחת כרגע ואיפה צריך להכניס את התוצאה וכדומה. בדיוק בשביל זה הומצא הייצוג הגרפי של שיטת החילוק הארוך שהופך אותה לפשוטה יחסית.

בואו נראה איך זה עובד. ראשית, מתחילים עם לכתוב את המספר \( a \) שבו רוצים לחלק, כשמותחים מעליו קו; בקו למעלה הזו הולכת להופיע המנה, כשנסיים את החלוקה. אחר כך כותבים את המספר \( b \) שבו מחלקים מימין ל-\( a \), כשהם מופרדים בקו. בערך ככה:

\( \begin{array}{ccc} \\ \hline 3 & 1 & 7 \end{array}\begin{array}{c} \\ |7 \end{array} \)

בדרך כלל הקו האופקי מחובר לקו האנכי. אצלי בגלל בעיות טכניות הוא לא. מקווה שאפשר יהיה לסלוח לי על הזוועה הגרפית הזו.

בואו נראה איך התהליך שתיארתי למעלה נראה בשיטה הזו. התחלנו בלחלק את 31 ב-7. עשינו את זה על ידי כך שראינו שהמספר הגדול ביותר שבו אפשר לכפול את 7 ועדיין לא לעבור את 31 הוא 4, ואז מקבלים 28. אז מה שאנחנו עושים הוא לכתוב את ה-4 מעל ה-31 (מעל ספרת האחדות של ה-31) ולכתוב את ה-28 הזה מתחת ל-31:

\( \begin{array}{ccc} & 4\\ \hline 3 & 1 & 7\\ 2 & 8 \end{array}\begin{array}{c} \\ |7\\ \\ \end{array} \)

המטרה שלנו, כזכור, היא למצוא את השארית בחלוקה של 31 ב-7. את זה עושים על ידי שלב של חיסור: מחסרים מה-31 את ה-28 שמצאנו. בגלל זה שיטת הכתיב שמה אותם בצורה נוחה אחד מעל השני - עכשיו אפשר להשתמש בחיסור ארוך כדי לבצע את החיסור הזה. נקבל:

\( \begin{array}{cccc} & & 4\\ \hline - & 3 & 1 & 7\\ & 2 & 8\\ & & 3 \end{array}\begin{array}{c} \\ |7\\ \\ \\ \end{array} \)

עכשיו מגיע השלב שבו אנחנו כופלים את השארית שקיבלנו ב-10 ומוסיפים לה את הספרה הבאה מהמספר שמחלקים. האפקט הזה מושג בצורה גרפית פשוטה מאוד: אנחנו מעתיקים את הספרה 7 מהמספר 317 למטה, אל ליד השארית 3 שמצאנו:

\( \begin{array}{cccc} & & 4\\ \hline - & 3 & 1 & 7\\ & 2 & 8\\ & & 3 & 7 \end{array}\begin{array}{c} \\ |7\\ \\ \\ \end{array} \)

עכשיו כתוב למטה המספר 37, ואנחנו ממשיכים את ביצוע החילוק עליו, באותה שיטה כמו קודם: אנחנו רואים שאם נכפול את ה-7 שבו אנחנו מחלקים ב-5 אנחנו נקבל 35, שזו הכפולה הגדולה ביותר של 7 שעדיין קטנה מ-37, ואז כותבים את הספרה 5 הזו למעלה מעבר לקו, באותו טור ספרת האחדות של ה-\( 37 \) שלמטה; ואנחנו כותבים 35 מתחת ל-37:

\( \begin{array}{cccc} & & 4 & 5\\ \hline - & 3 & 1 & 7\\ & 2 & 8\\ & & 3 & 7\\ & & 3 & 5 \end{array}\begin{array}{c} \\ |7\\ \\ \\ \\ \end{array} \)

עכשיו יש לנו תרגיל חיסור נוסף, שהפתרון שלו הוא 2:

\( \begin{array}{cccc} & & 4 & 5\\ \hline - & 3 & 1 & 7\\ & 2 & 8\\ & - & 3 & 7\\ & & 3 & 5\\ & & & 2 \end{array}\begin{array}{c} \\ |7\\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \)

וזה מסיים את החלוקה, כי אין יותר ספרות “להביא מלמעלה” - נשארנו עם מנה 45 שכתובה למעלה מעל הקו, ושארית 2 שכתובה הכי למטה.

שימו לב שבדוגמא הזו השתמשתי ב”קיצור דרך” שבו חילקתי בהתחלה ב-31. היה אפשר לוותר על זה, לעשות ספרה-ספרה ואז השלב הראשון היה נראה ככה:

\( \begin{array}{cccc} & 0\\ \hline - & 3 & 1 & 7\\ & 0\\ & 3 & 1 \end{array}\begin{array}{c} \\ |7\\ \\ \\ \end{array} \)

מכיוון שזה סתם מיותר, דילגתי על השלב הזה.

בואו נראה עוד דוגמא, קצת יותר ארוכה ומורכבת: \( 6858\div17 \). כזכור, עבור 17 כבר טרחתי לכתוב טבלה של כפולות שלו:

\( \begin{array}{ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ 17 & 34 & 51 & 68 & 85 & 102 & 119 & 136 & 153 \end{array} \)

ועכשיו, נתחיל עם לכתוב

\( \begin{array}{cccc} \\ \hline 6 & 8 & 5 & 8 \end{array}\begin{array}{c} \\ |17 \end{array} \)

השלב הראשון הוא לנסות לחלק את 6 ב-17 אבל כבר הבנו שזה מניב 0 ואין טעם, אז נתחיל עם לחלק את 68 ב-17. כאן קורה (בכוונה!) משהו מפתיע! אנחנו רואים ש-68 מופיע בכבודו ובעצמו בטבלה, מה שאומר שתרגיל החיסור שלנו הולך להניב 0:

\( \begin{array}{ccccc} & & 4\\ \hline - & 6 & 8 & 5 & 8\\ & 6 & 8\\ & & 0 \end{array}\begin{array}{c} \\ |17\\ \\ \\ \end{array} \)

זו לא בעיה בפני עצמה, אבל עכשיו כשאנחנו מורידים את ה-5 למטה, מה שאנחנו מקבלים הוא את המספר 5, ובעצם נמצאים בסיטואציה דומה לזו של ה-6 הבודד בהתחלה.

\( \begin{array}{ccccc} & & 4\\ \hline - & 6 & 8 & 5 & 8\\ & 6 & 8\\ & & 0 & 5 \end{array}\begin{array}{c} \\ |17\\ \\ \\ \end{array} \)

אז אפשר להוריד את ה-58 ביחד, אבל אני אעבוד זהיר ואבצע “חלוקה” שבה כופלים את 17 ב-0, כמו שהדגמתי קודם:

\( \begin{array}{ccccc} & & 4 & 0\\ \hline - & 6 & 8 & 5 & 8\\ & 6 & 8\\ & - & 0 & 5\\ & & & 0\\ & & & 5 \end{array}\begin{array}{c} \\ |17\\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \)

עכשיו אפשר להוריד את ה-8 למטה, ובמבט בטבלה רואים שהכי קרוב ל-58 זה 51 שמתקבל מכפל ב-3:

\( \begin{array}{ccccc} & & 4 & 0 & 3\\ \hline - & 6 & 8 & 5 & 8\\ & 6 & 8\\ & - & 0 & 5\\ & & & 0\\ & & - & 5 & 8\\ & & & 5 & 1\\ & & & & 7 \end{array}\begin{array}{c} \\ |17\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \)

קיבלנו מנה 403 ושארית 7, כלומר \( 6858=403\times17+7 \).

זה בעצם מסיים את הסיפור של חלוקה עם שארית. אנחנו רואים שזה מתבצע על ידי מעבר “ספרה-ספרה” על המספר שמחלקים אותו, משמאל לימין, כשבכל שלב אנחנו מבצעים חלוקה-עם-שארית קטנה (שאפשר לתרגם לחישוב של הכפולות של המספר שמחלקים בו לפני שמתחילים, כתיב שלהם בטבלה, ואז שימוש בטבלה הזו וביצוע פעולת חיסור בכל שלב). אבל אני לא רוצה לסיים כאן אלא לעבור לדבר על מה קורה כשרוצים לקבל שבר עשרוני בתוצאה. השורה התחתונה היא שאותה שיטה בדיוק עובדת גם במקרה הזה, אבל הפרטים טיפה יותר מורכבים מזה.

הנה לנו מטרה קונקרטית: אני יודע ש-\( \frac{1}{7}=0.14285714285714\dots \) כי יש לי מחשבון ואני לא מהסס להשתמש בו; אבל אני רוצה להבין איך מגיעים למספר הזה באמצעות חילוק ארוך, ולא סתם אני מדבר על עצמי - אני לא חושב שאי פעם טרחתי לבצע את החלוקה הזו במפורש בעצמי. הנה יש לי הזדמנות לתקן את המעוות.

כמקודם, אני לא סתם רוצה לשלוף את הייצוג הגרפי של חילוק ארוך ולתאר איזה אלגוריתם שמערב אותו אלא רוצה להבין מה בעצם הולך פה מבחינה מתמטית. לשם כך בואו נתחיל עם דוגמא יותר פשוטה: \( \frac{1}{4}=0.25 \). איך מגיעים לדבר הזה?

קודם כל צריך להיזכר מה המשמעות של נקודה עשרונית כשכותבים מספר. במספר כמו 123, כל ספרה מוכפלת בחזקה של 10: 1 מוכפל ב-100, שהוא \( 10^{2} \); 2 מוכפל ב-10 שהוא \( 10^{1} \), ואילו \( 3 \) מוכפל ב-\( 1 \) שהוא \( 10^{0} \). הרעיון בנקודה עשרונית הוא שספרות מימין לה מוכפלות בחזקות שליליות של 10. כלומר, \( 0.25 \) אומר “0 כפול \( 10^{0} \), ועוד 2 כפול \( 10^{-1} \), ועוד \( 5 \) כפול \( 10^{-2} \)”, או במתמטית: \( \frac{2}{10}+\frac{5}{100} \).

עכשיו, מה קורה אם אני לוקח מספר כמו 123 וכופל אותו ב-10? התוצאה היא דחיפה של 0 בצד ימין, ולכן “הזזה” של כל הספרות שמאלה - מקבלים 1230. אבל מה אם אני לוקח מספר כמו \( 53.42 \) וכופל אותו ב-10? המשמעות פה היא פשוט הזזה של הנקודה העשרונית צעד אחד ימינה: מקבלים \( 534.2 \). למה? כי אם כפלתי ב-10, אז עכשיו כל ספרה מוכפלת בחזקה של 10 שהיא גדולה יותר (מי שקודם הוכפל ב-\( 10^{1} \) עכשיו מוכפל ב-\( 10^{2} \); מי שקודם הוכפל ב-\( 10^{-2} \) עכשיו מוכפל ב-\( 10^{-1} \) וכדומה). את ה-123 אפשר לראות בצורה דומה: \( 123=123.0 \), אז פשוט הזזתי את הספרה העשרונית ימינה.

עכשיו, אם אני מחלק את \( a \) ב-\( b \), אני יכול לעשות תעלול פשוט מאוד: לכפול את \( a \) בחזקה כלשהי של 10 - כלומר, להזיז את הנקודה העשרונית כמה צעדים ימינה שנוח לי - לבצע חלוקה “רגילה” ואז עבור המנה שאקבל להזיז את הנקודה העשרונית חזקה שמאלה באותו מספר צעדים. למשל, כשאני רוצה לחשב את \( 1\div4 \), אני חושב על \( 1 \) בתור \( 1.00 \), מזיז את הנקודה העשרונית שני צעדים ימינה, מקבל 100, מחלק ב-4 ומקבל 25, ואז מזיז את הנקודה שני צעדים שמאלה ומקבל \( 0.25 \). בפועל זה עוד יותר פשוט מזה - אין צורך להזיז את הנקודה במפורש ימינה/שמאלה - אם ממשיכים עם שיטת החילוק ארוך שכבר ראינו אל מעבר לנקודה העשרונית, נראה שזה אכן עובד כפי שאנו רוצים.

איך זה משתלב עם חילוק ארוך? כזכור, סיימנו את תיאור החילוק הארוך שלנו כש”נגמרו לנו הספרות” של \( a \) - אבל זה דיבר רק על ספרות משמאל לנקודה העשרונית. מימין לנקודה העשרונית יש לנו אינסוף ספרות (שיכולות אולי להיות גם אפס, למשל \( 5 \) זה בעצם \( 5.000\ldots \)). אז אפשר להמשיך את החילוק הארוך כמה שרק נרצה. אז נניח שיש לנו מספר \( a \) עם \( k \) ספרות מימין לנקודה העשרונית וכבר חילקנו אותו ב-\( b \) - זה אומר שיש לנו ייצוג מהצורה \( 10^{k}a=qb+r \) שבו \( q,r \) הם מספרים טבעיים (לא שברים!) ו-\( 0\le r<b \).

עכשיו, נניח שאנחנו רוצים להוסיף עוד ספרה מימין לנקודה העשרונית של \( a \), את הספרה \( d \) שנכניס למקום ה-\( k+1 \) מימין לנקודה. אז נכפיל את המספר הקיים ב-10 ונוסיף את \( d \) - נקבל את המספר הטבעי \( 10^{k+1}a+d \). אחרי שנציב בזה את המשוואה \( 10^{k}a=qb+r \), נקבל:

\( \left(10^{k+1}a+d\right)=10qb+\left(10r+d\right) \)

ואז מחלקים את \( 10r+d \) ב-\( b \), בדיוק כמו שראינו קודם, והמשמעות היא הוספת ספרה חדשה אל \( q \). אחרי שכל זה נגמר אנחנו מחלקים ב-\( 10^{k+1} \); זה מחזיר את הנקודה בתוך המנה אל אותו מקום שבו היא הייתה גם בחלוקה של \( a \) ב-\( b \), כי אמנם הוספנו ספרה חדשה לפני \( q \) אבל גם הזזנו את הנקודה ב-\( q \) עוד מקום אחד שמאלה.

מה זה אומר בפועל? זה אומר שאנחנו יכולים פשוט לעשות חילוק ארוך כרגיל גם אחרי שעברנו את הנקודה העשרונית. רק צריך להקפיד להכניס ל-\( q \) נקודה עשרונית כאשר אנו מגיעים אל הנקודה העשרונית של \( a \). בואו נראה דוגמא פשוטה יחסית:

\( \begin{array}{c} \\ \hline 6 \end{array}\begin{array}{c} \\ |4 \end{array} \)

מה קורה כאן? השלב הראשון הוא כרגיל - 4 נכנס פעם אחת ב-6, ואז מקבלים שארית 2:

\( \begin{array}{cc} & 1\\ \hline - & 6\\ & 4\\ & 2 \end{array}\begin{array}{c} \\ |4\\ \\ \\ \end{array} \)

עכשיו נגמרו לנו הספרות של \( a \) - הגענו אל הנקודה העשרונית. אינטואיטיבית, אנחנו יכולים להגיד עכשיו “אוקיי, בואו נכתוב את הנקודה העשרונית ב-\( a \) ועוד 0 אחריה ונשים נקודה עשרונית גם ב-\( q \)”:

\( \begin{array}{ccc} & 1.\\ \hline - & 6. & 0\\ & 4\\ & 2 \end{array}\begin{array}{c} \\ |4\\ \\ \\ \end{array} \)

עכשיו אפשר להוריד את ה-0 הזה אל השארית ולהמשיך את החלוקה:

\( \begin{array}{ccc} & 1. & 5\\ \hline - & 6. & 0\\ & 4\\ & 2 & 0\\ & 2 & 0\\ & & 0 \end{array}\begin{array}{c} \\ |4\\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \)

וזה אכן הפתרון הנכון - \( 6=4\times1.5 \) (ושארית אפס).

עכשיו, קצת רימיתי למעלה - הוספתי עמודה חדשה פתאום. כשעובדים עם נייר ועט אי אפשר לדחוף עמודה חדשה ככה, אבל האמת הוא שזה מיותר - לא באמת היה צריך להוסיף את ה-0 ליד ה-6, כי אנחנו כבר יודעים שזה מה שיש שם. לכן מספיק לכתוב

\( \begin{array}{cc} & 1.\\ \hline - & 6.\\ & 4\\ & 2\\ & 2\\ \\ \end{array}\begin{array}{c} 5\\ |4\\ \\ 0\\ 0\\ 0 \end{array} \)

כלומר, הספרות שמעבר לנקודה העשרונית של המנה כבר נכתבות מעל המספר שבו מחלקים וממשיכות מימין לכך. אין פה בעיה כל עוד מוודאים שיש על הנייר מקום.

בואו ננסה עכשיו לעשות את זה עם ה-\( \frac{1}{7} \) שהבטחתי:

\( \begin{array}{c} \\ \hline 1 \end{array}\begin{array}{c} \\ |7 \end{array} \)

ראשית, מכיוון ש-1 קטן מ-7, הספרה הראשונה של המנה תהיה 0, ואז נגיע אל הנקודה העשרונית והכיף יתחיל:

\( \begin{array}{c} 0.\\ \hline 1.\\ 0\\ 1 \end{array}\begin{array}{c} \\ |7\\ \\ \\ \end{array} \)

נוריד עכשיו את ה-0 שמימין ל-1 (כאמור, אני לא כותב אותו במפורש שם, הקיום שלו מובלע ועכשיו נקבל שארית 10 שמחלקים ב-7:

\( \begin{array}{c} \\ \\ \\ -\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c} 0.\\ \hline 1.\\ 0\\ 1\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c} 1\\ |7\\ \\ 0\\ 7\\ 3 \end{array} \)

השלב הבא יהיה לחלק את 30 ב-7 - מקבלים 4 עם שארית 2:

\( \begin{array}{c} \\ \\ \\ -\\ \\ \\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{c} 0.\\ \hline 1.\\ 0\\ 1\\ \\ -\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{cc} 1 & 4\\ |7\\ \\ 0\\ 7\\ 3 & 0\\ 2 & 8\\ & 2 \end{array} \)

ועכשיו כבר נהיה לי מעייף לכתוב את החילוק הארוך כל פעם מחדש ונראה לי שהבנו מה קורה שם. ה-2 הופך ל-\( 20 \) שמחלקים ב-7 ומקבלים מנה 2 ושארית 6, כלומר כרגע המנה שלנו היא \( 0.142 \). ה-6 הופך ל-60, שמניב לנו למנה את הספרה 8 ואת השארית 4, כלומר המנה כרגע היא \( 0.1428 \). השארית 4 הופכת ל-40 שמניבה לנו 5 למנה ושארית 5, והשארית 5 מניבה לנו 7 למנה ושארית 1, והגענו כבר אל \( 0.142857 \).

ועכשיו קורה משהו מעניין.

הגענו אל שארית 1. כבר הייתה לנו שארית 1. בהתחלה! עכשיו, מה זה אומר על המשך החישוב? בחילוק ארוך, השלב הבא תלוי בשני דברים: בשארית הנוכחית, ובספרה החדשה של \( a \) שמכניסים למשחק. במקרה שלנו, כל הספרות של \( a \) שמכניסים למשחק (למעט זו שאיתה התחלנו) הן 0. כלומר, סדרת הספרות שנקבל עכשיו, משהגענו אל השארית 1, תהיה זהה לסדרת הספרות שקיבלנו קודם כשהתחלנו מהשארית הזו. אנחנו פשוט נחזור על \( 142857 \) ושוב ושוב, עד אינסוף. זו גם הצורה שבה המספר הזה נכתב - \( \frac{1}{7}=0.142857\ldots \).

אפשר לשאול, ובצדק, מה המשמעות של לחזור על הספרות “עד אינסוף”. זה נושא לפוסט נפרד, כי זה כבר נכנס להגדרה המדויקת של ייצוג עשרוני בתור סכום אינסופי מתכנס. מבחינת שיטת החילוק הארוך זה לא משנה - אנחנו יודעים שאפשר לעצור את החילוק הארוך אחרי מספר צעדים סופי, כשצצה לנו שארית שכבר ראינו קודם. מכיוון שהשאריות חסומות על ידי הגודל של \( b \), אנחנו גם יודעים שזה חייב לקרות מתישהו כי לא ייתכן שיופיעו אינסוף שאריות שונות זו מזו כשהן נלקחות מקבוצה סופית של אפשרויות (זו בעצם הוכחה של הטענה “הייצוג העשרוני של כל מספר רציונלי הוא מחזורי).

שאלה אחרונה שאפשר אולי לשאול היא מה קורה אם \( b \) הוא עצמו שבר עשרוני. הפתרון פה פשוט - כופלים את \( b \) בחזקה גדולה מספיק של 10 כדי להעלים את הנקודה העשרונית, וכופלים את \( a \) בדיוק באותו מספר, וחסל. זאת מכיוון ש-\( \frac{a}{b}=\frac{10^{k}a}{10^{k}b} \). כך למשל \( 3\div0.5=30\div5=6 \). מה שיכול להסתבך הוא השארית, אם אנחנו רוצים לכתוב אותה - נצטרך לחלק אותה באותה חזקה של 10 שבה השתמשנו. למשל, אם אנחנו רוצים לבצע את החלוקה \( 3\div1.2 \) ולקבל שארית (שלא תהיה מספר שלם), נכפול ב-10, נקבל \( 30\div12 \) שנותן לנו מנה 2 ושארית 6. המנה היא בסדר גמור אבל את השארית צריך לחלק ב-10. נקבל מנה 2 ושארית \( 0.6 \).

זה מסיים את סדרת הפוסטים שלי על שיטות החשבון ה”ארוכות” - חיבור ארוך, חיסור ארוך, כפל ארוך וחילוק ארוך. אני מקווה שהשד לא נראה כל כך נורא, וקצת יותר ברור מאיפה השיטות הללו מגיעות.