חוקי החזקות

מבוא

אני רוצה לדבר בפוסט הזה על נושא בסיסי למדי שנלמד בבית הספר, ולמרות שהוא טכני למדי יש לו את היופי שלו והוא גם נחוץ בצורה בלתי רגילה למתמטיקה “אמיתית” כי זה אחד מאותם דברים שעושים פה ושם בלי כמעט לחשוב: חוקי החזקות. המטרה שלי היא שבסוף הפוסט הזה נוכל להסתכל על תרגילים מהצורה “פשטו את המפלצת הזו” ולפתור אותם בלי להיבהל, כשהמפלצות הן יצורים כמו אלו:

\( \left(\frac{a}{b}\right)^{4}\cdot\sqrt{\frac{b}{a}}\cdot\frac{a^{5}b\cdot b^{3}}{\left(ab\right)^{6}} \), \( \frac{a^{4}a^{-2}\sqrt[7]{a^{3}}}{a^{3}\left(\sqrt{a}\right)^{5}} \)

אם זה נראה מפחיד עכשיו, מצוין! אני מקווה שבסוף הפוסט זה כבר לא יהיה מפחיד (אבל למען הסר ספק, זה לא מה שבדרך כלל נתקלים בו במתמטיקה אלא סתם מפלצות שהונדסו כדי לתת תרגיל אימון טוב).

בואו נתחיל מההתחלה - מה זו “חזקה” בכלל? אני מניח שאנחנו מכירים את ארבע פעולות החשבון הבסיסיות: חיבור, חיסור כפל וחילוק. אם מכירים אותן, קל יחסית להסביר מה זו חזקה: חזקה ביחס לכפל זה כמו כפל ביחס לחיבור. למה אני מתכוון? כשאני אומר \( 3\times5 \) (“שלוש כפול חמש”) אני מתכוון ל-\( 3+3+3+3+3 \), כלומר לקחתי חמישה עותקים של 3 והפעלתי עליהם את פעולת החיבור שוב ושוב. עכשיו, בואו נניח שאני לוקח חמישה עותקים של 3 ומפעיל עליהם את פעולת הכפל שוב ושוב, כלומר מסתכל על הביטוי \( 3\times3\times3\times3\times3 \), גם לדבר הזה משתלם לי לתת שם וסימן מקוצר: אני קורא לזה “שלוש בחזקת חמש” וכותב \( 3^{5} \) - מספר גדול כלשהו שמעליו למעלה נכתב מספר אחר יותר בקטן. המספר הגדול שלמטה נקרא בסיס החזקה והמספר הקטן שלמעלה נקרא מעריך החזקה.

בואו נראה את זה באופן כללי: \( a^{n} \) בא לתאר את “לוקחים \( n \) עותקים של \( a \) וכופלים אותם בעצמם”. כאן בסיס החזקה הוא \( a \) ומעריך החזקה הוא \( n \). שימו לב שכדי שתהיה משמעות להגדרה המילולית הזו, \( n \) צריך להיות מספר טבעי. לא ממש ברור מה זה אומר לקחת \( -3 \) עותקים של \( a \), או \( \frac{2}{3} \) עותקים של \( a \) וכדומה. אפילו לא ברור מה \( a^{0} \) אמור להיות, אז אנחנו מניחים ש-\( n \) הוא מספר טבעי חיובי. זה לא אומר שאנחנו לא הולכים להגדיר חזקות שהן לא מספרים טבעיים חיוביים, אלא שנגיע להגדרה ה”מתבקשת” של חזקות כאלו בעזרת שיקולים אחרים. ספציפית, אנחנו הולכים לראות שחזקות כפי שכבר הגדרתי אותן מקיימות כללים מסוימים, ואחר כך נרחיב את ההגדרה של חזקה למעריכים שליליים/שבריים וכדומה בצורה ששומרת על הכללים שכבר גילינו. ליתר דיוק - אנחנו נראה שאם אנחנו רוצים לשמור על הכללים הללו, פשוט אין לנו ברירה אלא ללכת על הגדרה מורחבת מאוד ספציפית.

קדימה לעבודה.

חוקי חזקות בסיסיים

בדוגמא שהתחלתי ממנה, היה לנו את \( 3^{5}=3\times3\times3\times3\times3 \). בואו נסתכל על עוד שתי דוגמאות, פשוטות יותר:

\( 3^{2}=3\times3 \)

\( 3^{3}=3\times3\times3 \)

עכשיו בואו נעשה תעלול: נכפול את שתי החזקות הללו של 3:

\( 3^{2}\times3^{3}=\left(3\times3\right)\times\left(3\times3\times3\right)=3\times3\times3\times3\times3=3^{5} \)

מה למדנו מזה? שני דברים חשובים. ראשית, שאם אני אראה עוד פעם אחת את הסימן \( \times \) אצא מדעתי ולכן מעכשיו אשתמש בסימן נקודה קטנטן כדי לתאר כפל, למשל \( 3^{2}\cdot3^{3} \) במקום \( 3^{2}\times3^{3} \). שנית, ראינו שהתקיים \( 3^{2}\cdot3^{3}=3^{5} \), או במילים אחרות \( 3^{2}\cdot3^{3}=3^{2+3} \). שימו לב לסימן החיבור במעריך. אני טוען שהאפקט הזה מתקיים גם באופן כללי, וזה יהיה כלל החזקות הראשון שלנו:

• \( a^{n}\cdot a^{k}=a^{n+k} \)

כלומר, כפל של שתי חזקות עם אותו בסיס נותן לנו חזקה עם הבסיס הזה ועם מעריך שהוא סכום המעריכים של החזקות שכפלנו. כפל ברמת החזקה הופך להיות חיבור ברמת המעריך.

למה זה נכון באופן כללי? ובכן, \( a^{n}\cdot a^{k} \) זה “קחו \( n \) עותקים של \( a \) וכפלו אותם אחד בשני, וקחו \( k \) עותקים של \( a \) וכפלו אותם אחד בשני ואז כפלו את הכל יחד”. בגלל שכפל הוא פעולה נחמדה שלא אכפת לה באיזה סדר היא מופעלת, התיאור למעלה הוא אותו הדבר כמו “קחו \( n+k \) עותקים של \( a \) וכפלו אותם אחד בשני”.

אפשר כמובן לטעון, ובצדק, שמה שעשיתי פה הוא נפנוף ידיים פרוע ובכלל לא הוכחה. זו בדיוק המטרה שלי. לנפנף בידיים עוזר יותר טוב לקבל אינטואיציה לגבי השאלה למה זה נכון. הוכחה פורמלית, נאמר באמצעות מערכת אקסיומות פיאנו היא אמנם משהו שלא קשה מדי לעשות אבל לא יעזור לנו כאן בכלל ולכן אני מוותר עליו לגמרי. וככה זה יהיה גם בהמשך. יש סיבה למה קראתי לבלוג “לא מדויק”.

עכשיו, בואו נראה מה ההשלכות של הכלל הזה, כי הן לא מעטות. ראשית, בואו ניקח את המשוואה \( a^{n}\cdot a^{k}=a^{n+k} \) ונחלק את שני האגפים ב-\( a^{k} \). כדי שאוכל לעשות את זה אני צריך להניח ש-\( a^{k}\ne0 \) (כי חלוקה באפס היא פעולה לא מוגדרת שיכולה “לשבש” את המשוואה). כשכופלים משהו בעצמו, אם הוא שונה מאפס לא נוכל לקבל ככה אפס, כלומר אם \( a^{k}=0 \) זה אומר ש-\( a=0 \) בעצמו, לכן בשביל לבצע את החלוקה אני צריך להניח רק ש-\( a\ne0 \) והתוצאה שאקבל תהיה נכונה לכל חזקה אחרת עם בסיס שאינו אפס. אחרי החלוקה אני אקבל

\( a^{n}=\frac{a^{n+k}}{a^{k}} \)

בואו ננקוט כעת בטריק: אני אסמן \( m=n+k \). בביטוי הזה שמגדיר את \( m \) אני אעביר את \( k \) אגף ואקבל \( n=m-k \), ואז אני אציב את שתי המשוואות הללו במקום \( n+k \) ו-\( n \) במשוואה שכתבתי קודם. אני אקבל:

\( a^{m-k}=\frac{a^{m}}{a^{k}} \)

קיבלתי משהו שנראה כמו חוק כללי: אם חיבור של מעריכים התאים למכפלה של החזקות, אז חיסור של מעריכים מתאים לחילוק של החזקות. זה עוד אחד מהחוקים, למרות שאני עוד רגע אראה דרך אחרת להסתכל עליו שלטעמי היא נוחה יותר.

שימו לב שבגלל שהגדרתי \( m=n+k \) ובגלל שגם \( n \) וגם \( k \) הם שניהם מספרים טבעיים חיוביים, אז \( m \) גדול יותר מ-\( k \). אני לא יכול להשתמש במשוואה \( a^{m-k}=\frac{a^{m}}{a^{k}} \) שקיבלתי כדי להוכיח תכונה כלשהי של חזקות שאינן מספרים טבעיים חיוביים, אבל אני יכול להשתמש במשוואה הזו בתור הבסיס להגדרה כללית יותר. נניח שאני רוצה שהמשוואה הזו תתקיים גם במקרים נוספים, מה חייב לקרות?

ראשית, מה קורה אם \( m=k \)? במקרה הזה אנחנו רוצים שעדיין יתקיים \( a^{m-k}=\frac{a^{m}}{a^{k}} \). אם נציב \( k \) במקום \( m \) בשני האגפים, נקבל מצד אחד \( a^{m-k}=a^{0} \) ומצד שני נקבל \( \frac{a^{k}}{a^{k}}=1 \). משני אלו אנחנו מגיעים למסקנה

• \( a^{0}=1 \) (לכל \( a\ne0 \))

זו מסקנה כל כך מעניינת וכל כך שנויה במחלוקת בפוטנציה שהקדשתי פוסט שלם לנסיון לתת לה הצדקות. בפוסט הזה גם התייחסתי לשאלה מה כן קורה כאשר \( a=0 \): במקרה הזה עדיין יש נימוקים מצויינים למה כדאי להגדיר \( 0^{0}=1 \), אבל גם יש נימוקים מצויינים למה זו לא הגדרה רצויה - הכל תלוי בהקשר המתמטי שבו אנחנו עובדים. אני אסתפק בלהשאיר את זה לא מוגדר (אבל באופן כללי בחיי היומיום אני במחנה \( 0^{0}=1 \)).

עכשיו, כשיש לנו את החוק עם 0, אפשר לעשות משהו נוסף: נסתכל שוב על \( a^{m-k}=\frac{a^{m}}{a^{k}} \) ונציב \( m=0 \). נקבל

• \( a^{-k}=\frac{1}{a^{k}} \)

זה נותן לנו את ההגדרה של חזקות שליליות: לוקחים את החזקה החיובית המתאימה, ומחלקים בה את 1. למשל, \( 3^{-5}=\frac{1}{3^{5}} \). קשה להפריז בחשיבות של החוק הזה מהטעם הפשוט שהרבה יותר קל לכתוב \( 3^{-5} \) מאשר לכתוב \( \frac{1}{3^{5}} \) כל פעם, אז זה ממש עוזר לפשט כתיב של ביטויים.

עוד חוקי חזקות, קצת יותר טריקיים

ראינו איך עובדת פעולת הכפל בין שתי חזקות בעלות אותו בסיס. אבל מה אם אנחנו מנסים להפעיל פעולת חזקה על חזקה קיימת? למשל, מהו \( \left(3^{2}\right)^{5} \)? כאן שוב כדאי לחזור להגדרות הבסיס: \( 3^{2}=3\cdot3 \) ולכן

\( \left(3^{2}\right)^{5}=\left(3\cdot3\right)\cdot\left(3\cdot3\right)\cdot\left(3\cdot3\right)\cdot\left(3\cdot3\right)\cdot\left(3\cdot3\right)=3^{10} \)

למה קיבלנו \( 3^{10} \)? כי כשסופרים כמה 3-ים יש לנו בסך בביטוי הזה , אנחנו רואים שיש לנו 5 איברים שכל אחד מהם מורכב ממכפלה של 2 מופעים של שלוש. אז המספר הכולל של 3-ים שווה למספר המופעים (5) של החזקה של 3 כפול מספר הפעמים ש-3 מופיע באותה חזקה (2). זה מוביל אותנו לחוק הכללי:

• \( \left(a^{n}\right)^{k}=a^{n\cdot k} \)

כמו שכפל של חזקות “הורד בדרגה” לדרגת חיבור כשהסתכלנו על המעריכים, כך גם פה - העלאה בחזקה של חזקה “מורדת בדרגה” לדרגת כפל כשאנחנו מסתכלים על המעריכים.

תכונה נחמדה ושימושית מאוד שנובעת מייד מהדבר הזה היא שאפשר “להחליף סדר” של חזקות, במובן הבא: \( \left(a^{n}\right)^{k}=\left(a^{k}\right)^{n} \) (כי שניהם שווים אל \( a^{n\cdot k} \) ששווה ל-\( a^{k\cdot n} \) - העובדה שאפשר להחליף סדר בכפל “מפעפעת” אל החזקות כאן). מה שאני רוצה להדגיש הוא שאי אפשר להחליף סדר של חזקות במובן של להחליף את הסדר בין הבסיס והמעריך, כלומר באופן כללי \( a^{b}\ne b^{a} \). למשל, \( 2^{5}=32 \) אבל \( 5^{2}=25 \). אמנם, לפעמים זה כן עובד, למשל \( 2^{4}=4^{2}=16 \) אבל רק במספרים קטנים מאוד מסוימים.

עוד תכונה מועילה שאני רוצה להראות היא מה שקורה כשכופלים חזקות שבהן הבסיס שונה. באופן כללי אין יותר מדי מה לעשות עם זה, אבל אם החזקה זהה כן יש מה לעשות. הנה דוגמא פשוטה: נניח שאנחנו מסתכלים על \( 3^{2}\cdot4^{2} \). מה זה הביטוי הזה? זה \( \left(3\cdot3\right)\cdot\left(4\cdot4\right) \). כלומר פעמיים 3 שמוכפלים זה בזה וכל זה מוכפל בפעמיים 4 שמוכפלים זה בזה. עכשיו, בגלל שאפשר להחליף סדר בכפל איך שנוח לנו, אפשר לצוות כל 3 עם 4, ולקבל \( \left(3\cdot4\right)\cdot\left(3\cdot4\right) \) - זו אותה מכפלה בדיוק רק עם סדר שונה של האיברים, ומכיוון שיש בה את הגוש \( 3\cdot4 \) שמוכפל בעצמו פעמיים, אנחנו מקבלים פה \( \left(3\cdot4\right)^{2} \). זה מוביל אותנו לחוק הכללי:

• \( a^{n}\cdot b^{n}=\left(ab\right)^{n} \)

החוק הזה יהיה מאוד שימושי גם במקרה שבו אנחנו רוצים לחלק שתי חזקות ולא לכפול אותן. הנקודה הרלוונטית כאן היא ש”לחלק ב-\( b \)” זה אותו דבר בדיוק כמו “לכפול ב-\( \frac{1}{b} \)” (או בסימון שכבר ראינו, לכפול ב-\( b^{-1} \)) ולכן \( \frac{a^{n}}{b^{n}}=a^{n}\cdot b^{-n}=a^{n}\cdot\left(b^{-1}\right)^{n}=\left(ab^{-1}\right)^{n} \), ואפשר לכתוב את זה יפה כך:

• \( \frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n} \)

זה אותו חוק בדיוק כמו מה שכבר כתבתי, אבל זה עוזר לראות אותו כך במפורש גם במקרה של חילוק.

בעזרת החוקים שכבר ראינו, אפשר להשתמש בחוק הזה באופן חלקי גם בסיטואציות שבהן דברים לא מסתדרים כל כך יפה. למשל, בואו נסתכל על \( 3^{5}\cdot5^{4} \). אנחנו לא יכולים להשתמש בחוק כמות שהוא כי המעריכים של 3 ושל 5 שונים, אבל אפשר להתחיל לדפוק על הביטוי הזה עם פטיש עד שיצא מתאים לצורה שאנחנו רוצים: \( 3^{5}=3^{1+4}=3^{1}\cdot3^{4} \) על פי חוק החזקות הראשון שראינו, ולכן \( 3^{5}\cdot5^{4}=3\cdot3^{4}\cdot5^{4}=3\left(3\cdot5\right)^{4} \).

עוד דוגמא ל”דפיקה בפטיש” כזו משתמשת בחוק החזקה-של-חזקה שראינו. אם יש לנו את \( 3^{6}\cdot5^{3} \) אפשר להשתמש בתעלול הבא: \( 6=2\cdot3 \) ולכן \( 3^{6}=\left(3^{2}\right)^{3}=9^{3} \) ולכן \( 3^{6}\cdot5^{3}=9^{3}\cdot5^{3}=\left(9\cdot5\right)^{3}=45^{3} \).

אפשר וצריך לשאול בשביל מה בכלל צריכים את כל התעלולים הללו, והתשובה היא מתמטיקאים הם עצלנים. הרבה פעמים במתמטיקה אנחנו נמצאים בסיטואציה שבה אנחנו מנסים להבין תכונה של אובייקט כלשהי ומצליחים לנסח את התשובה הזו בצורה די נאיבית בתור ביטוי מסובך, וזה מעצבן כי אנחנו רוצים ביטוי פשוט שמתאים לתשובה. אז אם אנחנו מסוגלים לפשט את הביטוי עם מניפולציות כאלו, יאללה בואו נלך על זה. עכשיו, עם חוק כמו \( a^{n}\cdot b^{n}=\left(ab\right)^{n} \), מה בעצם נחשב “פשוט יותר”, אגף ימין או שמאל? התשובה היא שאף אחד מהם. זה תמיד תלוי בביטוי הכללי שאנחנו עובדים איתו שהוא לרוב יותר גדול ומסובך, וכשבאים לפשט ביטוי כזה גם המעבר מימין לשמאל וגם המעבר משמאל לימין יכולים להיות מועילים. נראה דוגמאות לזה כשאטפל ב”מפלצות” בסוף הפוסט.

השורשים נכנסים לסיפור

עד עכשיו הראיתי איך מגדירים חזקות שהן מספר שלם כלשהו - טבעי חיובי, אפס, ומספר שלילי. אבל מה עם דברים יותר מתוחכמים, למשל \( a^{\frac{1}{2}} \)? האם אפשר להגדיר גם דבר כזה? התשובה היא כן, וזה מתקשר ליצור מתמטי אחר שנקרא שורש.

עבור \( 4 \) השורש הריבועי שלו שמסומן \( \sqrt{4} \), הוא 2, כי \( 2^{2}=4 \). עבור \( 9 \), \( \sqrt{9}=3 \) כי \( 3^{2}=9 \). באופן דומה בגלל ש-\( 5^{2}=25 \) אז \( \sqrt{25}=5 \) וכן הלאה. באופן כללי - השורש הריבועי של \( a \) הוא מספר \( b \) כך ש-\( b^{2}=a \). זה מושג שנראה תמים במבט ראשון אבל למרבה הצער יש לו כמה סיבוכים.

ראשית, יש את הקטע הזה שמספר שלילי כפול מספר שלילי יוצא מספר חיובי (דיברתי על זה כאן בבלוג). למשל, \( \left(-2\right)\cdot\left(-2\right)=4 \). אז למה שלא נגיד ש-\( \sqrt{4}=-2 \)? בתיאוריה היינו יכולים לעשות דבר כזה, אבל אנחנו רוצים שכשאנחנו כותבים \( \sqrt{a} \) זה יהיה ביטוי חד משמעי (מה שמכונה במתמטיקה “מוגדר היטב”) ולכן המוסכמה השרירותית שלנו היא ש-\( \sqrt{a} \) תמיד מייצג את השורש הריבועי האי שלילי של המספר (תמיד קיים רק שורש ריבועי אי שלילי יחיד ולכן זה אכן מוגדר היטב).

שנית, אם כפל של שני מספרים חיוביים תמיד יוצא חיובי, וכפל של שני מספרים שליליים תמיד יוצא חיובי, האם בכלל ייתכן שיהיה \( b \) כלשהו כך ש-\( b^{2}=-1 \)? האם \( \sqrt{-1} \) זה ביטוי בעל משמעות? ובכן, התשובה הקצרה היא לא והתשובה הארוכה יותר היא כן. קיים סוג מיוחד של מספרים שנקרא מספרים מרוכבים שבהם יש גם שורשים למשהו כמו \( -1 \), אבל המתמטיקה של המספרים הללו מסובכת יותר ממה שאנחנו מדברים עליו בפוסט הזה (בפרט, מושגים כמו “חיוביים”/”שליליים” כבר לא ממש תקפים לגביהם) ובהתאם גם כללי החזקות שלהם מסובכים יותר, ולכן אני לא אדבר עליהם בכלל בפוסט הזה. המחיר הוא שאת כללי החזקות שאציג עוד מעט אני יכול לנסח רק למקרה שבו הבסיס \( a>0 \).

לבסוף, בעיה שלישית שאני רוצה לדבר עליה היא המספר \( \sqrt{2} \). מי זה? מה זה? אין מספר טבעי שכשמעלים אותו בריבוע מקבלים 2, אז זה לא מספר טבעי. אם נבקש ממחשבון לומר לנו מה המספר הזה, הוא יגיד משהו כמו \( 1.41421356 \), אבל אם נחשב ידנית ונעלה את המספר הזה בריבוע נקבל \( 1.9999999932878738 \) (אל תעשו את זה במחשבון! אולי המחשבון לא מסוגל להציג מספר בכזו רמת דיוק ואז תקבלו משהו שונה!). הבעיה פה היא שהמחשבון מציג רק מספר סופי של ספרות של \( \sqrt{2} \) אבל צריך אינסוף ספרות כדי לתאר את \( \sqrt{2} \) בייצוג עשרוני - זה מה שמכונה מספר אי רציונלי (באופן שקול זה אומר שאי אפשר לכתוב את \( \sqrt{2} \) בתור שבר, כלומר אין \( a,b \) שלמים כך ש-\( \sqrt{2}=\frac{a}{b} \); יש לי הוכחה לטענה הזו כאן). אפשר להעלות את השאלה איך אנחנו יודעים שמספרים אי רציונליים כאלו קיימים בכלל (אם כי לדעתי השאלה הזו לא מטרידה את רוב התלמידים; התחושה היא שאם אפשר לכתוב ייצוג עשרוני עבור משהו, הוא קיים) והאמת שזה סיפור מעניין בפני עצמו אבל הוא יסופר בפעם אחרת (כבר סיפרתי אותו בראשית ימי הבלוג אבל אולי כדאי לספר אותו שוב).

כל המהומה עד כה עסקה במה שנקא שורש ריבועי, אבל אפשר לדבר על שורשים בצורה כללית יותר: \( \sqrt[n]{a} \), עבור \( a>0 \) ו-\( n \) טבעי חיובי, הוא המספר החיובי היחיד \( b \) שמקיים \( b^{n}=a \). שימו לב שאני משתמש פה באותן הגבלות שבהן השתמשתי עבור שורש ריבועי, למרות שלפעמים אולי אפשר קצת להקל (למשל, אפשר לומר ש-\( \sqrt[3]{-1}=-1 \) כי \( \left(-1\right)^{3}=-1 \)) פשוט כי כדי שחוקי החזקות שאציג “יתנהגו יפה” אני חייב גם במקרה הזה לשמור על אותן מגבלות.

עכשיו כשאנחנו יודעים מה אלו שורשים אפשר להתקדם אל חוקי החזקות עצמם.

חוקי חזקות של שורשים

בואו נתחיל עם דוגמא פשוטה. מה זה \( 4^{\frac{1}{2}} \)? ובכן, אני עדיין לא יודע, אבל בואו נניח שחוקי החזקות שראינו מתקיימים גם כשהחזקה היא שבר. אני יודע שבאופן כללי, \( \left(a^{n}\right)^{k}=a^{n\cdot k} \) ולכן אם אני אקח את \( 4^{\frac{1}{2}} \) ואעלה אותו בריבוע, אני אקבל:

\( \left(4^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=4^{\frac{1}{2}\cdot2}=4^{1}=4 \)

כלומר, \( 4 \) בחזקת חצי הוא מספר שכשמעלים אותו בריבוע מקבלים 4. מי זה המספר הזה? כמובן, 2, ובסימון אחר שזה עתה ראינו: \( \sqrt{4} \).

כך מתקיים גם באופן כללי: \( \left(a^{\frac{1}{2}}\right)^{2}=a \) ולכן \( a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a} \). זו ההגדרה שאנחנו נדחפים אליה אם אנחנו רוצים להשתמש בחזקות שהן שבר, ושחוקי החזקות הקיימים יעבדו גם במקרה הזה (וכרגיל - צריך גם להוכיח שזה באמת עובד, ואני אתחמק מזה באלגנטיות כאן).

טוב ויפה, אבל שבר כללי הוא מספר מהצורה \( \frac{k}{n} \) כאשר \( k,n \) הם שלמים, ובינתיים טיפלתי רק ב-\( \frac{1}{2} \). למרבה השמחה, אין כאן כמעט שום רמת סיבוך נוספת, הכל מתאים למה שכבר ראינו. ראשית, \( \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{n}=a \) ולכן \( a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \); ושנית, על פי חוקי החזקות שכבר ראינו,

• \( a^{\frac{k}{n}}=a^{\frac{1}{n}\cdot k}=\left(a^{k}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a^{k}} \)

זה מטפל לנו בהגדרה של חזקה לכל מקרה של שבר חיובי. מה עם שבר שלילי, כלומר סיטואציה מהצורה \( a^{-\frac{k}{n}} \) כאשר \( k,n \) טבעיים חיוביים? ובכן, אותו דבר שקרה עם מינוסים קודם: \( a^{-1}=\frac{1}{a} \), ולכן

\( a^{-\frac{k}{n}}=\left(a^{\frac{k}{n}}\right)^{-1}=\left(\sqrt[n]{a^{k}}\right)^{-1}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{k}}} \)

עכשיו, כשחושבים על שורשים בתור חזקות, ולכן בתור משהו שמקיים את כללי החזקות הרגילים, אפשר לנסח את החוקים הללו גם בסימון של שורשים. למשל:

• \( \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab} \)
• \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} \)

אין כאן משהו שלא ראינו קודם; פשוט טוב לראות את זה גם בצורה הזו.

זמן לטפל במפלצות!

עכשיו שיש לנו את חוקי החזקות, בואו נתאמן עליהם קצת, כדי להתרגל. אני אתן כמה תרגילים של פישוט מפלצות, ושווה מאוד לנסות לעשות את התרגילים הללו עצמאית, גם אם נתקעים - תרגול הוא הדרך הטובה ביותר (ויש שיאמרו, היחידה) לא סתם להכיר דברים במתמטיקה אלא גם להבין אותם. לפני שנתחיל, הנה ריכוז חוקי החזקות שנזדקק להם (אני מניח, כזכור, ש-\( a>0 \) וש-\( n,k \) הם מספרים טבעיים חיוביים):

• \( a^{n}\cdot a^{k}=a^{n+k} \)
• \( a^{n-k}=\frac{a^{n}}{a^{k}} \)
• \( \left(a^{n}\right)^{k}=\left(a^{k}\right)^{n}=a^{n\cdot k} \)
• \( a^{n}\cdot b^{n}=\left(ab\right)^{n} \)
• \( \frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n} \)
• \( a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^{k}} \)
• \( a^{0}=1 \)
• \( a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} \)

נעבור אל המפלצת הראשונה שלנו! הביטוי

\( \frac{a^{4}a^{-2}\sqrt[7]{a^{3}}}{a^{3}\left(\sqrt{a}\right)^{5}} \)

במבט ראשון, דבר מזוויע לחלוטין. במבט שני, לפשט את זה הוא בסך הכל תרגיל חשבון ברמת כיתה ד’, כי כל מה שיש לנו פה הן חזקות עם הבסיס \( a \) וכולן מוכפלות אחת בשניה (גם חלוקה היא כזכור סוג של כפל). יש כמה דרכי קיצור שאני יכול לנקוט בהן אבל לא אשתמש בהן אלא אפתור את התרגיל “לפי הספר”. ראשית כל, ניפטר מסימני השורש על ידי שימוש בכלל \( a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^{k}} \) (ובמכנה של המפלצת גם בכלל \( \left(a^{n}\right)^{k}=a^{nk} \)) ונקבל

\( \frac{a^{4}a^{-2}\sqrt[7]{a^{3}}}{a^{3}\left(\sqrt{a}\right)^{5}}=\frac{a^{4}a^{-2}a^{\frac{3}{7}}}{a^{3}a^{\frac{5}{2}}} \)

עכשיו אפשר להפוך גם את מה שבמונה וגם את מה שבמכנה לתרגיל חיבור של המעריכים בעזרת הכלל \( a^{n}\cdot a^{k}=a^{n+k} \):

\( \frac{a^{4}a^{-2}a^{\frac{3}{7}}}{a^{3}a^{\frac{5}{2}}}=\frac{a^{4-2+\frac{3}{7}}}{a^{3+\frac{5}{2}}} \)

ועכשיו אפשר להשתמש בכלל \( a^{n-k}=\frac{a^{n}}{a^{k}} \) כדי להיפטר מסימן השבר ולכתוב את הכל ביחד:

\( \frac{a^{4-2+\frac{3}{7}}}{a^{3+\frac{5}{2}}}=a^{4-2+\frac{3}{7}-\left(3+\frac{5}{2}\right)} \)

עכשיו לא נשאר לנו כלום מלבד התרגיל של כיתה ד’ המובטח, \( 4-2+\frac{3}{7}-\left(3+\frac{5}{2}\right)=\frac{6-35-14}{14}=-\frac{43}{14} \), לכן הפתרון לתרגיל כולו הוא \( a^{-\frac{43}{14}}=\frac{1}{\sqrt[14]{a^{43}}} \). זה כמובן לא מספר נחמד בשום צורה, אבל הוא לא מפלצת כמו \( \frac{a^{4}a^{-2}\sqrt[7]{a^{3}}}{a^{3}\left(\sqrt{a}\right)^{5}} \); העלמנו הרבה מידע עודף מיותר.

בואו נטפל עכשיו במפלצת שניה, שבה יופיע גם נעלם \( a \) וגם נעלם \( b \) ואיכשהו נצטרך לטפל בשניהם ביחד:

\( \left(\frac{a}{b}\right)^{4}\cdot\sqrt{\frac{b}{a}}\cdot\frac{a^{5}b\cdot b^{3}}{\left(ab\right)^{6}} \)

כאן הקושי הראשוני מגיע מכך שיש לנו פעולת חזקה על כמה איברים בבת אחת. בואו ניזכר בכללים שמפשטים את זה:

• \( a^{n}\cdot b^{n}=\left(ab\right)^{n} \)
• \( \frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n} \)

הכלל השני גם נותן לנו \( \sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=\frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} \). לכן אנחנו מקבלים מהמפלצת:

\( \left(\frac{a}{b}\right)^{4}\cdot\sqrt{\frac{b}{a}}\cdot\frac{a^{5}b\cdot b^{3}}{\left(ab\right)^{6}}=\frac{a^{4}}{b^{4}}\cdot\frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{a^{5}b\cdot b^{3}}{a^{6}b^{6}} \)

זה עדיין לא ביטוי פשוט כל כך - חלק מהבעיה היא ש-\( a,b \) מעורבבים ביחד. בואו נזכור שכשיש לנו רק פעולות כפל אפשר להזיז את המוכפלים איך שמתחשק (כאן יש לנו גם פעולת חילוק, אבל עדיין אפשר להזיז דברים חופשים גם בתוך המונה וגם בתוך המכנה, כשכל מה שיש שם הוא פעולות כפל):

\( \frac{a^{4}}{b^{4}}\cdot\frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{a^{5}b\cdot b^{3}}{a^{6}b^{6}}=\frac{a^{4}a^{5}}{a^{\frac{1}{2}}a^{6}}\cdot\frac{b^{\frac{1}{2}}b\cdot b^{3}}{b^{4}b^{6}} \)

ועכשיו זה דומה למה שכבר ראינו: על בסיס הכלל \( a^{n}\cdot a^{k}=a^{n+k} \) את החזקות שבמונה מחברים זו לזו; את החזקות שבמכנה מחברים זו לזו; ומחסרים מהחזקות שבמונה את החזקות שבמכנה, על בסיס הכלל \( a^{n-k}=\frac{a^{n}}{a^{k}} \). מקבלים:

\( \frac{a^{4}a^{5}}{a^{\frac{1}{2}}a^{6}}\cdot\frac{b^{\frac{1}{2}}b\cdot b^{3}}{b^{4}b^{6}}=a^{9-\frac{13}{2}}\cdot b^{\frac{9}{2}-10}=a^{\frac{5}{2}}\cdot b^{-\frac{11}{2}} \)

ואם רוצים לכתוב את זה טיפה יותר נחמד, אפשר:

\( a^{\frac{5}{2}}\cdot b^{-\frac{11}{2}}=\frac{a^{\frac{5}{2}}}{b^{\frac{11}{2}}}=\sqrt{\frac{a^{5}}{b^{11}}} \)

זה מסיים גם עם המפלצת הזו.

והנה מפלצת חמודה לסיום:

\( \frac{49^{20}25^{42}}{35^{40}125^{14}} \)

זו אמנם מפלצת קטנה יותר, אבל במבט ראשון לא ברור מה אפשר לעשות כאן בכלל. במקום \( a,b \) הנחמדים מקודם יש מספרים שלא קשורים אחד לשני… האמנם?! המספרים דווקא כן קשורים אחד לשני וכפי שתכף נראה, יש לנו פה את \( a,b \) “בתחפושת”.

הרעיון הוא שכשיש לנו מספרים, אפשר לפרק אותם לגורמים: להציג אותם בתור מכפלה של מספרים פשוטים, שנקראים ראשוניים, שאותם ספציפית אי אפשר לפרק יותר כי הם מתחלקים רק בעצמם וב-1. היתרון בפירוק לגורמים (והתרגיל הזה ממחיש את זה היטב) הוא שמספרים שנראים “לא קשורים” זה לזה עשויים להתגלות כקשורים מאוד כשמסתכלים על הפירוק שלהם לראשוניים. כמובן שיש לשיטה הזו גם מגבלות - פירוק לגורמים לרוב לא מועיל כל כך כדי לפשט פעולות חיבור/חיסור, אבל זה עוד כלי שצריך להיות לנו בראש כשאנחנו באים להתמודד עם בעיות פישוט.

ובכן, בואו נציג כל אחד מהמספרים הללו בתור מכפלה של ראשוניים (איך אני מוצא את המכפלה הזו? חוץ מלנסות לחלק במספרים קטנים אני לא מכיר שיטה טובה שאפשר לעשות ידנית; פירוק לגורמים זו בעיה קשה, אבל כאן המספרים פשוטים מספיק כדי שזה יעבוד):

\( 49=7^{2} \)

\( 25=5^{2} \)

\( 35=5\cdot7 \)

\( 125=5^{3} \)

אפשר לחשוב על זה כאילו אנחנו בתרגיל עם \( a,b \) כאשר \( a=7,b=5 \), אבל אני פשוט אפתור ישירות בלי להכניס \( a,b \) לעניין:

\( \frac{49^{20}25^{42}}{35^{40}125^{14}}=\frac{\left(7^{2}\right)^{20}\left(5^{2}\right)^{42}}{\left(5\cdot7\right)^{40}\left(5^{3}\right)^{14}} \)

הכלל \( \left(a^{n}\right)^{k}=a^{n\cdot k} \) הולך להיות מאוד שימושי כעת, וגם \( a^{n}\cdot b^{n}=\left(ab\right)^{n} \) מופיע כאן, בטיפול ב-\( 35=5\cdot7 \):

\( \frac{\left(7^{2}\right)^{20}\left(5^{2}\right)^{42}}{\left(5\cdot7\right)^{40}\left(5^{3}\right)^{14}}=\frac{7^{40}5^{84}}{5^{40}7^{40}5^{42}}=\frac{7^{40}}{7^{40}}\cdot\frac{5^{84}}{5^{82}}=5^{2}=25 \)

וסיימנו! אפשר היה לנסות לקבל את אותה תוצאה פשוט על ידי הזנת \( \frac{49^{20}25^{42}}{35^{40}125^{14}} \) למחשבון, אבל מחשבון לא היה מצליח להתמודד עם המספרים הגדולים שמתקבלים כ”תוצאת ביניים” בחישוב ישיר (כן אפשר להתמודד איתם אם עובדים במחשב, למשל עם שפת תכנות כמו פייתון, אבל עדיין יותר קל פשוט לפשט בצורה שהראיתי).

לסיום, אני רוצה לחזור על מילת האזהרה שנתתי מוקדם יותר בפוסט: כל החישובים והכללים הללו? זו לא בדיוק מתמטיקה, ובטח לא מה שאני מתלהב ממנו כשאני מדבר על מתמטיקה; אבל כשרוצים לטפס על הר כדי לראות את הנוף הכרחי גם לדעת להשתמש ביתדות טיפוס ולהתקדם בצורה איטית וזהירה - והטכניקה של חוקי החזקות היא כלי עבודה בסיסי בטיפוס ההרים המתמטי שלנו.